Teil B

Bestimmung von $B_2$ mithilfe von $B_n$

Hierfür setzen wir $x=-1$ in die allgemeine Form von $B_n$ ein und erhalten so $B_2$

$B_2(-1|-(-1)+3)$ $\Rightarrow$ $B_2(-1|4)$

Wir zeichnen nun $B_2$ in unser Koordinatensystem ein.

Berechnung der fehlenden Winkel

• Der Winkel $\sphericalangle B_nAC_n$ beträgt $\color{red}45°$

• Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks $\color{blue}180°$ beträgt.

• Da es sich um ein Gleichschenkliges Dreieck handelt, gilt: $\color{green}\sphericalangle C_nB_nA=\sphericalangle AC_nB_n$

• Wir rechnen: $\sphericalangle C_nB_nA=\sphericalangle AC_nB_n=\dfrac{\color{blue}180\color{black}-\color{red}45}{\color{green}2}=67{,}5°$

Vervollständigung der Zeichnung

• Schenkel mit $\sphericalangle AB_2C_2=67{,}5°$ in $B_2$ an $\overline{AB_2}$ antragen

• Schenkel mit $\sphericalangle C_2AB_2=45°$ in $A$ an $\overline{AB_2}$ antragen

• Schenkel schneiden sich in Punkt $C_2$

• Verbinde die Strecken $\overline{B_2C_2}$ und $\overline{AC_2}$

Wir überlegen uns, woraus sich $C_n$ zusammensetzt:

• Wenn wir die Koordinaten eines Vektors ablesen wollen, brauchen wir als Fußpunkt den Ursprung O.

• Mithilfe von skalarer Addition setzt sich $\overrightarrow{OC_n}$ zusammen aus...

$\overrightarrow{OC_n}=\overrightarrow{OA}\oplus\overrightarrow{AC_n}$

• $\overrightarrow{OA}$ kennen wir bereits. Dahinter stecken einfach die Koordinaten von A:

$A(3|3)\Longrightarrow\:\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 3\\3 \end{pmatrix}$

Gleichung für $\overrightarrow{AC_n}$ mit Drehmatrix und Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ aufstellen:

Die Drehmatrix für eine Drehung um $α$ entgegen den Uhrzeigersinn lautet:

$R_α=\begin{pmatrix} \cosα & -\sinα \\ \sinα & \cosα \end{pmatrix}$

Berechnung $\overrightarrow{OC_n}$

$\overrightarrow{OC_n}(x)=\begin{pmatrix} 3\\3 \end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} 1{,}42x-2{,}13\\-2{,}13 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3+1{,}42x-2{,}13\\3+(-2{,}13) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1{,}42x+0{,}87\\0{,}87 \end{pmatrix}\\$

$\Longrightarrow\: C_n=(1{,}42x+0{,}87 \quad|\quad 0{,}87)$

Wir zeichnen das Baumdiagramm Schritt für Schritt.

Erster Ast

• Wir wissen, dass $35\%$ telefonisch (T) reservieren.

• Der Rest, also $100\%-35\%=65\%$ reserviert über die Hotmail (H).

Zweiter Ast

• Zunächst betrachten wir die telefonischen Reservierungen (T):

  • Davon sind $18\%$ fehlerhaft (F).

  • Der Rest, also $100\%-18\%=82\%$ sind ohne Fehler (oF).

• Nun betrachten wir die Reservierungen über die Hotmail (H):

  • Davon sind $p\%$ fehlerhaft (F).

  • Der Rest, also wieder $100\%-p\%$ ist ohne Fehler (oF).

Wir überlegen uns, woraus sich die Fehlerquote zusammensetzt:

• Ein Fehler kann telefonisch (T) oder über die Homepage (H) geschehen.

• Das Bedeutet, für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:$p(F)=p(T\cap F)\color{black}+p(H\cap F)$

Nun setzen wir die Wahrscheinlichkeiten aus unserem Baumdiagramm ein:

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Reservieren über die Homepage ein Fehler geschieht beträgt also ungefähr $13{,}38\%$.

Wertebereich von $f_1$

Dafür betrachten wir das Grenzwertverhalten:

• $f_1$ geht für $x\to-\infty$ gegen unendlich

• $x=1$ ist die waagrechte Asymptote, deshalb geht $f_1$ für $x\to\infty$ gegen $1$

Weil $f_1$ monoton fällt, ergibt sich damit der Wertebereich $W=]1;\infty[$

Wertetabelle für die einzelnen Funktionen

$\textcolor{blue}{f_1\: Punktewerte}$ :

$\textcolor{red}{f_2 \:Punktewerte}$

Mithilfe der erhaltenen Werte zeichnen wir die beiden Graphen

Parallelverschiebung der Funktion $f_1$ auf $f_2$ mit $\vec{v}$

$\Rightarrow$ Vektoraddition mit Ortsvektoren und Verschiebungsvektor $\vec{v}$

$\overrightarrow {OP'}_{f_1}=\overrightarrow {OP}_{f_2}⊕\begin{pmatrix} x_v\\y_v \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\\underbrace{0{,}75^{(x'-2)}-3}_{y'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\0{,}75^{(x-4)}+1 \end{pmatrix}⊕\begin{pmatrix} x_v\\y_v \end{pmatrix}$

Daraus ergeben sich diese zwei Gleichungen:

$\qquad\quad\quad~~~ \color{blue}x'\color{black}=x+x_v$

$0{,}75^{(\color{blue}x'\color{black}-2)}-3= 0{,}75^{(x-4)}+1+y_v$$$

$\color{blue}x'$ in die zweite Gleichung einsetzen

$0{,}75^{\color{red}(x+x_v-2)}\color{green}-3\color{black}= 0{,}75^{\color{red}(x-4)}+\color{green}1+y_v$

Für die Berechnung von ${x_v}$ vergleichen wir die $\color{red}\text{Exponenten}$:

$\rightarrow \quad x+x_v-2=x-4\qquad|-x$

$\rightarrow \quad x_v-2=-4\qquad\qquad |+2$

$\Rightarrow \quad x_v=-2$

Für die Berechnung von $y_v$ vergleichen wir die $\color{green}\text{Konstanten}$ der Gleichung:

$\Rightarrow \quad -3=1+y_v\qquad\quad |-1$

$\rightarrow \quad y_v=-4$

${\Rightarrow \quad \vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\-4 \end{pmatrix}}$

$\bigtriangleup {A_1B_1C_1}$ für $x=−2$ bestimmen

• Zunächst bestimmen wir die Koordinaten von $A_1$ und $B_1$, indem wir $x=-2$ in die allgemeine Form einsetzen:

  • $A_1(-2|0{,}75^{-2−4}+1)\Rightarrow A_1(-2|6{,}619)$

  • $B_1(-2|0{,}75^{-2−2}−3)\Rightarrow B_1(2| 0{,}16)$

• $∢B_1A_1C_1=60°$ an die Strecke $\overline{A_1B_1}$ antragen und $5\;\text{LE}$ zu $C_1$ abmessen

$\bigtriangleup {A_2B_2C_2}$ für $x=3{,}5$ bestimmen

• Zunächst bestimmen wir die Koordinaten von $A_2$ und $B_2$, indem wir $x=3{,}5$ in die allgemeine Form einsetzen:

  • $A_1(3{,}5|0{,}75^{3{,}5−4}+1)\Rightarrow A_1(3{,}5|2{,}155)$

  • $B_1(3{,}5|0{,}75^{3{,}5−2}−3)\Rightarrow B_1(3{,}5|-2{,}35)$

• $∢B_2 A_2 C_2=60°$ an die Strecke $A_2B_2$ antragen und $5\;\text{LE}$ zu $C_2$ abmessen

Einzeichnen $\bigtriangleup {A_1B_1C_1}$ und $\bigtriangleup {A_2B_2C_2}$ mit berechneten Punktewerten und Winkel:

Berechnung der $x−$Koordinate von Punkt $C_1$

Berechnung der Strecke $| \overline{A_nB_n}|$

• Uns fällt auf, dass die Strecke $\overline{A_nB_n}$ (unabhängig vom eingesetzten x-Wert) immer senkrecht im Koordinatensystem steht.

• Also berechnen wir die Länger der Strecke mit der $\text{\color{green}Differenz}$ der beiden y-Werte von $\color{blue}A_n$ und $\color{red}B_n$:

$| \overline{A_nB_n}|(x)=[\textcolor{blue}{0{,}75^{x-4}+1}\color{green}- \textcolor{red}{(0{,}75^{x-2}-3)}\color{black}]LE\qquad$$x\in\mathbb{R}$

$\qquad\qquad={0{,}75^{x-4}+1}- {0{,}75^{x-2}+3}$

$\qquad\qquad={0{,}75^{x-4}}- {0{,}75^{x-2}+4}$

$\qquad\qquad={0{,}75^{x-2-2}}- {0{,}75^{x-2}+4}$ $\qquad\qquad |0{,}75^{x-2}$ ausklammern

$\qquad\qquad={0{,}75^{x-2}}\cdot ({0{,}75^{-2}-1)+4}\qquad\quad |$Klammer ausrechnen

$\qquad\qquad\approx{0{,}75^{x-2}\cdot(1{,}78-1)+4}$

$\qquad\qquad={0{,}75^{x-2}\cdot(0{,}78)+4}$

$| \overline{A_nB_n}|(x)=({0{,}78\cdot0{,}75^{x-2}+4})\;\text{LE}$

Fläche $A_{\triangle A_1B_1C_1}$ berechnen mit der Flächenformel:

${A_{\triangle A_1B_1C_1}}=\frac{1}{2}\cdot\color{green}|\overline{A_1B_1}|\color{black}\cdot\color{red}| \overline{A_1C_1}|\color{black}\cdot\color{blue}\sin ∢B_1 A_1 C_1$

Wir berechnen zunächst die einzelnen Bestandteile:

• Zur Berechnung von $\color{green}\overline{|A_1B_1|}$ nutzen wir die gerade berechnete Formel für $\overline{|A_nB_n|}$ und setzen $x = -2$ ein

$\color{green}\overline{|A_1B_1|}\color{black}=(0{,}78\cdot0{,}75^{(-2-2)}+4)\\\qquad~~~~~~~~~~~~~~~~\qquad =0{,}78\cdot0{,}75^{-4}+4$

$\qquad ~~~~~~~~\qquad\qquad=0{,}78\cdot\frac{1}{0{,}75^4} +4\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=0{,}78\cdot\frac{1}{0{,}316}+4\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\color{green}{6{,}47}\;\text{LE}$;

• $\color{red}| \overline{A_1C_1}|=5\;\text{LE}$

• und mit $\color{blue}\sin ∢B_1 A_1 C_1=\sin 60°≙ 0{,}866$

$\Rightarrow{A_{\triangle A_1B_1C_1}}=\frac{1}{2}\cdot \color{green}6{,}47\color{black}\cdot\color{red}5\color{black}\cdot\color{blue}0{,}866\color{black}\approx14{,}01 \;\text{FE}$

• Das Dreieck $A_3B_3C_3$ ist gleichschenklig mit der Basis $\overline {B_3C_3}$.

• Daraus folgt, dass Die Seiten $|{\overline{A_3B_3}}|$ und $|{\overline{A_3C_3}}|$ die gleiche Länge besitzen.

• Da $|{\overline{A_3C_3}}|$ immer 5 LE besitzt, muss also gelten: $|{\overline{A_3B_3}}|=5$ LE

Setze 5 LE mit der allgemeinen Formel für $|{\overline{A_nB_n}}|$ gleich:

• Also gilt: $\sphericalangle BAC=\sphericalangle CBA=\sphericalangle ACB=60°$ und somit müssen alle Seiten die gleiche Länge besitzen und des handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck.

Zeichnung Schrägbild Prisma:

Berechnung $∢FAE$ mithilfe des Tangens

(Im folgenden wird abgekürzt: AK: Ankathete, GK: Gegenkathete und HY: Hypotenuse)

$\tan( \sphericalangle FAE)=\left[\dfrac{GK}{AK}\right]=\frac {|\overline{EF}|}{|\overline{AE}|}=\frac {5{,}5 ~cm}{9 ~cm}= 0,\overline6$

$\Rightarrow \sphericalangle FAE=31{,}43°$

Zeichnung

• $φ=70°$ an $\overline{AE}$ antragen, schneidet $\overline{AF}$ in $S_1$;

• $S_1$ mit den Eckpunkten $A,B,C,D$ verbinden;

• Höhe durch $S_1$ $⊥$ zur Strecke $\overline{AB}$ zeichnen

Berechnung der Strecke $|\overline{AS_n}|$ mithilfe der Verhältnisgleichung der Strecken $|\overline{AS_n}|$ und $|\overline{AE}|$ und deren Sinus

• Dafür halten wir fest, dass der Winkel gegenüber $|\overline {AS_n}|$ $\color{red}φ$ beträgt.

• Den Winkel gegenüber $|\overline {AE}|$ berechnen wir mithilfe der Innenwinkelsumme eines Dreiecks: $\color{green}180-(φ+31{,}43)$

Länge der Strecke berechnen

Berechnung von $φ$ mit der allgemeinen Formel aus b