Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B3

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = {0,75}^{x - 4} + 1$ $(x, y \in ℝ)$ und die Funktion $f_{2}$ mit der Gleichung $y = {0,75}^{x - 2} - 3$ $(x, y \in ℝ)$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geben Sie die Wertemenge von $f_{1}$ an und zeichnen Sie die Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ für
$x \in [- 3; 8]$ in ein Koordinatensystem. (4 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 3 \leq x \leq 8; - 4 \leq y \leq 9$
Wertebereich von $f_{1}$
Dafür betrachten wir das Grenzwertverhalten:
$f_{1}$ geht für $x \to - \infty$ gegen unendlich
$x = 1$ ist die waagrechte Asymptote, deshalb geht $f_{1}$ für $x \to \infty$ gegen $1$
Weil $f_{1}$ monoton fällt, ergibt sich damit der Wertebereich $W =] 1; \infty [$
Wertetabelle für die einzelnen Funktionen
$f_{1} P u n k t e w e r t e$ :
$f_{2} P u n k t e w e r t e$
Mithilfe der erhaltenen Werte zeichnen wir die beiden Graphen
Zeichnung $f_{1}$ und $f_{2}$
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Betrachte das Grenzwertverhalten von $f_{1}$ und ermittle so die Wertemenge.
Erstelle eine Wertetabelle für die beiden Funktionen $f_{1}$ und $f_{2}$ .
Zeichne mithilfe der Wertetabelle die beiden Graphen $G_{f_{1}}$ und $G_{f_{2}}$ .
Der Graph der Funktion $f_{1}$ kann durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x_{v} \\ y_{v} \end{array})$
auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet werden $(x_{v}, y_{v} \in ℝ)$ .
Geben Sie die Koordinaten des Vektors $\vec{v}$ an. (1 P)

Parallelverschiebung der Funktion $f_{1}$ auf $f_{2}$ mit $\vec{v}$
$\Rightarrow$ Vektoraddition mit Ortsvektoren und Verschiebungsvektor $\vec{v}$
${\vec{O P^{'}}}_{f_{1}} = {\vec{O P}}_{f_{2}} \oplus︎ (\begin{array}{c} x_{v} \\ y_{v} \end{array})$
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ \underset{y^{'}}{\underset{⏟}{{0,75}^{(x^{'} - 2)} - 3}} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ {0,75}^{(x - 4)} + 1 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} x_{v} \\ y_{v} \end{array})$
Daraus ergeben sich diese zwei Gleichungen:
$x^{'} = x + x_{v}$
${0,75}^{(x^{'} - 2)} - 3 = {0,75}^{(x - 4)} + 1 + y_{v}$
$x^{'}$ in die zweite Gleichung einsetzen
${0,75}^{(x + x_{v} - 2)} - 3 = {0,75}^{(x - 4)} + 1 + y_{v}$
Für die Berechnung von $x_{v}$ vergleichen wir die $Exponenten$ :
$\to x + x_{v} - 2 = x - 4 | - x$
$\to x_{v} - 2 = - 4 | + 2$
$\Rightarrow x_{v} = - 2$
Für die Berechnung von $y_{v}$ vergleichen wir die $Konstanten$ der Gleichung:
$\Rightarrow - 3 = 1 + y_{v} | - 1$
$\to y_{v} = - 4$
$\Rightarrow \vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \end{array})$
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Führe eine Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x_{v} \\ y_{v} \end{array})$ durch.
Punkte $A_{n} (x | {0,75}^{x - 4} + 1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $B_{n} (x | {0,75}^{x - 2} - 3)$ auf
dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit Punkten $C_{n}$
Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ .
Es gilt: $| A_{n} C_{n} | = 5 LE$ ; $∢ B_{n} A_{n} C_{n} = 60^{\circ}$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 2$ und das Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein.
Berechnen Sie sodann die x-Koordinate des Punktes $C_{1}$ . (4 P)
$△ A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 2$ bestimmen
Zunächst bestimmen wir die Koordinaten von $A_{1}$ und $B_{1}$ , indem wir $x = - 2$ in die allgemeine Form einsetzen:
$A_{1} (- 2 | {0,75}^{- 2 - 4} + 1) \Rightarrow A_{1} (- 2 | 6,619)$
$B_{1} (- 2 | {0,75}^{- 2 - 2} - 3) \Rightarrow B_{1} (2 | 0,16)$
$∢ B_{1} A_{1} C_{1} = 60 °$ an die Strecke $A_{1} B_{1}$ antragen und $5 LE$ zu $C_{1}$ abmessen
$△ A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$ bestimmen
Zunächst bestimmen wir die Koordinaten von $A_{2}$ und $B_{2}$ , indem wir $x = 3,5$ in die allgemeine Form einsetzen:
$A_{1} (3,5 | {0,75}^{3,5 - 4} + 1) \Rightarrow A_{1} (3,5 | 2,155)$
$B_{1} (3,5 | {0,75}^{3,5 - 2} - 3) \Rightarrow B_{1} (3,5 | - 2,35)$
$∢ B_{2} A_{2} C_{2} = 60 °$ an die Strecke $A_{2} B_{2}$ antragen und $5 LE$ zu $C_{2}$ abmessen
Einzeichnen $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ und $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ mit berechneten Punktewerten und Winkel:
Berechnung der $x -$ Koordinate von Punkt $C_{1}$
$\sin (60 °)$ $=$ $\frac{G K}{H Y}$
$\sin (60 °)$ $=$ $\frac{x_{C_{1}} - x_{A_{1}}}{A_{1} C_{1}}$
$\sin (60 °)$ $=$ $\frac{x_{C_{1}} - (- 2)}{5}$ $\cdot 5$
$5 \cdot \sin (60 °)$ $=$ $x_{C_{1}} + 2$ $- 2$
$x_{C_{1}}$ $=$ $5 \cdot \sin (60 °) - 2$
$\approx$ $2,33 LE$
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Setze $x = - 2$ und $x = 3,5$ in die allgemeine Form von $A_{n}$ und $B_{n}$ ein
Trage die Punkte in dein Koordinatensystem ein, füge den Winkel $∢ B_{n} A_{n} C_{n}$ . hinzu und miss $5 cm$ ab.
Verbinde nun die zusammengehörenden Punkte und du erhältst die gesuchten Dreiecke.
Teile das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ so ein, dass du einen rechten Winkel erhältst. Berechne damit die x-Koordinate von $C_{1}$ mithilfe der Sinusformel indem du bekannte Werte nutzt.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $A_{n} B_{n}$ in Abhängigkeit von
der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt:
$| A_{n} B_{n} | (x) = (0,78 \cdot {0,75}^{x - 2} + 4) LE$ .
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks $A_{1} B_{1} C_{1}$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenformeln ebener Figuren
Berechnung der Strecke $| A_{n} B_{n} |$
Uns fällt auf, dass die Strecke $A_{n} B_{n}$ (unabhängig vom eingesetzten x-Wert) immer senkrecht im Koordinatensystem steht.
Also berechnen wir die Länger der Strecke mit der $D i f f e r e n z$ der beiden y-Werte von $A_{n}$ und $B_{n}$ :
$| A_{n} B_{n} | (x) = [{0,75}^{x - 4} + 1 - ({0,75}^{x - 2} - 3)] L E$ $x \in ℝ$
$= {0,75}^{x - 4} + 1 - {0,75}^{x - 2} + 3$
$= {0,75}^{x - 4} - {0,75}^{x - 2} + 4$
$= {0,75}^{x - 2 - 2} - {0,75}^{x - 2} + 4$ $| {0,75}^{x - 2}$ ausklammern
$= {0,75}^{x - 2} \cdot ({0,75}^{- 2} - 1) + 4 |$ Klammer ausrechnen
$\approx {0,75}^{x - 2} \cdot (1,78 - 1) + 4$
$= {0,75}^{x - 2} \cdot (0,78) + 4$
$| A_{n} B_{n} | (x) = (0,78 \cdot {0,75}^{x - 2} + 4) LE$
Fläche $A_{△ A_{1} B_{1} C_{1}}$ berechnen mit der Flächenformel:
$A_{△ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot | A_{1} B_{1} | \cdot | A_{1} C_{1} | \cdot \sin ∢ B_{1} A_{1} C_{1}$
Wir berechnen zunächst die einzelnen Bestandteile:
Zur Berechnung von $| A_{1} B_{1} |$ nutzen wir die gerade berechnete Formel für $| A_{n} B_{n} |$ und setzen $x = - 2$ ein
$\begin{array}{l} | A_{1} B_{1} | = (0,78 \cdot {0,75}^{(- 2 - 2)} + 4) \\ = 0,78 \cdot {0,75}^{- 4} + 4 \end{array}$
$\begin{array}{l} = 0,78 \cdot \frac{1}{{0,75}^{4}} + 4 \\ = 0,78 \cdot \frac{1}{0,316} + 4 \\ = 6,47 LE \end{array}$ ;
$| A_{1} C_{1} | = 5 LE$
und mit $\sin ∢ B_{1} A_{1} C_{1} = \sin 60 ° ≙ 0,866$
$\Rightarrow A_{△ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 6,47 \cdot 5 \cdot 0,866 \approx 14,01 FE$
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Vergleiche die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ sowie $A_{2}$ und $B_{2}$ in deiner Zeichnung. Was fällt dir auf?
Berechne die Länge der Strecke über die Differenz der y-Koordinaten von $A_{n}$ und $B_{n}$ .
Nutze für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $A_{1} B_{1} C_{1}$ die Flächenformel mit dem Sinus.
Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ ist gleichschenklig mit der Basis $B_{3} C_{3}$ .
Berechnen Sie die zugehörige x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (2 P)
Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ ist gleichschenklig mit der Basis $B_{3} C_{3}$ .
Daraus folgt, dass Die Seiten $| A_{3} B_{3} |$ und $| A_{3} C_{3} |$ die gleiche Länge besitzen.
Da $| A_{3} C_{3} |$ immer 5 LE besitzt, muss also gelten: $| A_{3} B_{3} | = 5$ LE
Setze 5 LE mit der allgemeinen Formel für $| A_{n} B_{n} |$ gleich:
$| A_{n} B_{n} | (x)$ $=$ $5$
$0,78 \cdot {0,75}^{x - 2} + 4$ $=$ $5$ $- 4$
$0,78 \cdot {0,75}^{x - 2}$ $=$ $1$ $: 0,78$
${0,75}^{x - 2}$ $\approx$ $1,28$ $\log_{0,75}$
$x - 2$ $=$ $\log_{0,75} (1,28)$ $+ 2$
$x$ $\approx$ $- 0,86 + 2$
$x$ $=$ $1,14$
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Überlege dir, welche Auswirkung ein gleichschenkliges Dreieck auf die Seitenlängen eines Dreiecks hat.
Schließe nun auf die Seitenlänge der unbekannten Seite $| A_{3} B_{3} |$ .
Berechne $x_{A_{3}}$ mit $| A_{n} B_{n} | (x)$ und dem Wert von $| A_{3} B_{3} | (x) = 5 LE$ .
Begründen Sie, weshalb das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ gleichseitig ist. (1,5 P)
Bei einem Gleichschenkligen Dreieck haben die beiden Basiswinkel dasselbe Winkelmaß. Es gilt also:
$∢ C B A = ∢ A C B$
Wir kennen bereits einen Winkel im Dreieck: $∢ B A C = 60^{\circ}$
Durch die Innenwinkelsumme eines Dreiecks folgt deshalb:
$\begin{array}{l} ∢ B A C + ∢ C B A + ∢ A C B = 180 ° \\ 60 ° + 2 \cdot ∢ C B A = 180 ° \\ 2 \cdot ∢ C B A = 120 ° \\ ∢ C B A = 60 ° \end{array}$
Skizze gleichschenkliges Dreieck
Also gilt: $∢ B A C = ∢ C B A = ∢ A C B = 60 °$ und somit müssen alle Seiten die gleiche Länge besitzen und des handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck.
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Überlege dir, welche Konsequenzen ein gleichschenkliges Dreieck für die Winkelmaße in dem Dreieck hat.
Berechne alle Winkel des Dreiecks $A_{3} B_{3} C_{3}$ . Nutze hierfür bekannte Maße und die Innenwinkelsumme eines Dreiecks
Folgere daraus, dass es sich bei $A_{3} B_{3} C_{3}$ um ein gleichseitiges Dreieck handeln muss.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\sin (60 °)$	$=$	$\frac{G K}{H Y}$
$\sin (60 °)$	$=$	$\frac{x_{C_{1}} - x_{A_{1}}}{A_{1} C_{1}}$
$\sin (60 °)$	$=$	$\frac{x_{C_{1}} - (- 2)}{5}$	$\cdot 5$
$5 \cdot \sin (60 °)$	$=$	$x_{C_{1}} + 2$	$- 2$
$x_{C_{1}}$	$=$	$5 \cdot \sin (60 °) - 2$
	$\approx$	$2,33 LE$

$\| A_{n} B_{n} \| (x)$	$=$	$5$
$0,78 \cdot {0,75}^{x - 2} + 4$	$=$	$5$	$- 4$
$0,78 \cdot {0,75}^{x - 2}$	$=$	$1$	$: 0,78$
${0,75}^{x - 2}$	$\approx$	$1,28$	$\log_{0,75}$
$x - 2$	$=$	$\log_{0,75} (1,28)$	$+ 2$
$x$	$\approx$	$- 0,86 + 2$
$x$	$=$	$1,14$

Aufgabe B3

Wertebereich von f1

Wertetabelle für die einzelnen Funktionen

Mithilfe der erhaltenen Werte zeichnen wir die beiden Graphen

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Parallelverschiebung der Funktion f1 auf f2 mit v→

x′ in die zweite Gleichung einsetzen

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△A1B1C1 für x=−2 bestimmen

△A2B2C2 für x=3,5 bestimmen

Einzeichnen △A1B1C1 und △A2B2C2 mit berechneten Punktewerten und Winkel:

Berechnung der x−Koordinate von Punkt C1

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Berechnung der Strecke |AnBn|

Fläche A△A1B1C1 berechnen mit der Flächenformel:

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Setze 5 LE mit der allgemeinen Formel für |AnBn| gleich:

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Wertebereich von $f_{1}$

Parallelverschiebung der Funktion $f_{1}$ auf $f_{2}$ mit $\vec{v}$

$x^{'}$ in die zweite Gleichung einsetzen

$△ A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 2$ bestimmen

$△ A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$ bestimmen

Einzeichnen $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ und $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ mit berechneten Punktewerten und Winkel:

Berechnung der $x -$ Koordinate von Punkt $C_{1}$

Berechnung der Strecke $| A_{n} B_{n} |$

Fläche $A_{△ A_{1} B_{1} C_{1}}$ berechnen mit der Flächenformel:

Setze 5 LE mit der allgemeinen Formel für $| A_{n} B_{n} |$ gleich: