Wertebereich von $f_1$

Dafür betrachten wir das Grenzwertverhalten:

• $f_1$ geht für $x\to-\infty$ gegen unendlich

• $x=1$ ist die waagrechte Asymptote, deshalb geht $f_1$ für $x\to\infty$ gegen $1$

Weil $f_1$ monoton fällt, ergibt sich damit der Wertebereich $W=]1;\infty[$

Wertetabelle für die einzelnen Funktionen

$\textcolor{blue}{f_1\: Punktewerte}$ :

$\textcolor{red}{f_2 \:Punktewerte}$

Mithilfe der erhaltenen Werte zeichnen wir die beiden Graphen

Parallelverschiebung der Funktion $f_1$ auf $f_2$ mit $\vec{v}$

$\Rightarrow$ Vektoraddition mit Ortsvektoren und Verschiebungsvektor $\vec{v}$

$\overrightarrow {OP'}_{f_1}=\overrightarrow {OP}_{f_2}⊕\begin{pmatrix} x_v\\y_v \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\\underbrace{0{,}75^{(x'-2)}-3}_{y'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\0{,}75^{(x-4)}+1 \end{pmatrix}⊕\begin{pmatrix} x_v\\y_v \end{pmatrix}$

Daraus ergeben sich diese zwei Gleichungen:

$\qquad\quad\quad~~~ \color{blue}x'\color{black}=x+x_v$

$0{,}75^{(\color{blue}x'\color{black}-2)}-3= 0{,}75^{(x-4)}+1+y_v$$$

$\color{blue}x'$ in die zweite Gleichung einsetzen

$0{,}75^{\color{red}(x+x_v-2)}\color{green}-3\color{black}= 0{,}75^{\color{red}(x-4)}+\color{green}1+y_v$

Für die Berechnung von ${x_v}$ vergleichen wir die $\color{red}\text{Exponenten}$:

$\rightarrow \quad x+x_v-2=x-4\qquad|-x$

$\rightarrow \quad x_v-2=-4\qquad\qquad |+2$

$\Rightarrow \quad x_v=-2$

Für die Berechnung von $y_v$ vergleichen wir die $\color{green}\text{Konstanten}$ der Gleichung:

$\Rightarrow \quad -3=1+y_v\qquad\quad |-1$

$\rightarrow \quad y_v=-4$

${\Rightarrow \quad \vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\-4 \end{pmatrix}}$

$\bigtriangleup {A_1B_1C_1}$ für $x=−2$ bestimmen

• Zunächst bestimmen wir die Koordinaten von $A_1$ und $B_1$, indem wir $x=-2$ in die allgemeine Form einsetzen:

  • $A_1(-2|0{,}75^{-2−4}+1)\Rightarrow A_1(-2|6{,}619)$

  • $B_1(-2|0{,}75^{-2−2}−3)\Rightarrow B_1(2| 0{,}16)$

• $∢B_1A_1C_1=60°$ an die Strecke $\overline{A_1B_1}$ antragen und $5\;\text{LE}$ zu $C_1$ abmessen

$\bigtriangleup {A_2B_2C_2}$ für $x=3{,}5$ bestimmen

• Zunächst bestimmen wir die Koordinaten von $A_2$ und $B_2$, indem wir $x=3{,}5$ in die allgemeine Form einsetzen:

  • $A_1(3{,}5|0{,}75^{3{,}5−4}+1)\Rightarrow A_1(3{,}5|2{,}155)$

  • $B_1(3{,}5|0{,}75^{3{,}5−2}−3)\Rightarrow B_1(3{,}5|-2{,}35)$

• $∢B_2 A_2 C_2=60°$ an die Strecke $A_2B_2$ antragen und $5\;\text{LE}$ zu $C_2$ abmessen

Einzeichnen $\bigtriangleup {A_1B_1C_1}$ und $\bigtriangleup {A_2B_2C_2}$ mit berechneten Punktewerten und Winkel:

Berechnung der $x−$Koordinate von Punkt $C_1$

Berechnung der Strecke $| \overline{A_nB_n}|$

• Uns fällt auf, dass die Strecke $\overline{A_nB_n}$ (unabhängig vom eingesetzten x-Wert) immer senkrecht im Koordinatensystem steht.

• Also berechnen wir die Länger der Strecke mit der $\text{\color{green}Differenz}$ der beiden y-Werte von $\color{blue}A_n$ und $\color{red}B_n$:

$| \overline{A_nB_n}|(x)=[\textcolor{blue}{0{,}75^{x-4}+1}\color{green}- \textcolor{red}{(0{,}75^{x-2}-3)}\color{black}]LE\qquad$$x\in\mathbb{R}$

$\qquad\qquad={0{,}75^{x-4}+1}- {0{,}75^{x-2}+3}$

$\qquad\qquad={0{,}75^{x-4}}- {0{,}75^{x-2}+4}$

$\qquad\qquad={0{,}75^{x-2-2}}- {0{,}75^{x-2}+4}$ $\qquad\qquad |0{,}75^{x-2}$ ausklammern

$\qquad\qquad={0{,}75^{x-2}}\cdot ({0{,}75^{-2}-1)+4}\qquad\quad |$Klammer ausrechnen

$\qquad\qquad\approx{0{,}75^{x-2}\cdot(1{,}78-1)+4}$

$\qquad\qquad={0{,}75^{x-2}\cdot(0{,}78)+4}$

$| \overline{A_nB_n}|(x)=({0{,}78\cdot0{,}75^{x-2}+4})\;\text{LE}$

Fläche $A_{\triangle A_1B_1C_1}$ berechnen mit der Flächenformel:

${A_{\triangle A_1B_1C_1}}=\frac{1}{2}\cdot\color{green}|\overline{A_1B_1}|\color{black}\cdot\color{red}| \overline{A_1C_1}|\color{black}\cdot\color{blue}\sin ∢B_1 A_1 C_1$

Wir berechnen zunächst die einzelnen Bestandteile:

• Zur Berechnung von $\color{green}\overline{|A_1B_1|}$ nutzen wir die gerade berechnete Formel für $\overline{|A_nB_n|}$ und setzen $x = -2$ ein

$\color{green}\overline{|A_1B_1|}\color{black}=(0{,}78\cdot0{,}75^{(-2-2)}+4)\\\qquad~~~~~~~~~~~~~~~~\qquad =0{,}78\cdot0{,}75^{-4}+4$

$\qquad ~~~~~~~~\qquad\qquad=0{,}78\cdot\frac{1}{0{,}75^4} +4\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=0{,}78\cdot\frac{1}{0{,}316}+4\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\color{green}{6{,}47}\;\text{LE}$;

• $\color{red}| \overline{A_1C_1}|=5\;\text{LE}$

• und mit $\color{blue}\sin ∢B_1 A_1 C_1=\sin 60°≙ 0{,}866$

$\Rightarrow{A_{\triangle A_1B_1C_1}}=\frac{1}{2}\cdot \color{green}6{,}47\color{black}\cdot\color{red}5\color{black}\cdot\color{blue}0{,}866\color{black}\approx14{,}01 \;\text{FE}$

• Das Dreieck $A_3B_3C_3$ ist gleichschenklig mit der Basis $\overline {B_3C_3}$.

• Daraus folgt, dass Die Seiten $|{\overline{A_3B_3}}|$ und $|{\overline{A_3C_3}}|$ die gleiche Länge besitzen.

• Da $|{\overline{A_3C_3}}|$ immer 5 LE besitzt, muss also gelten: $|{\overline{A_3B_3}}|=5$ LE

Setze 5 LE mit der allgemeinen Formel für $|{\overline{A_nB_n}}|$ gleich:

• Also gilt: $\sphericalangle BAC=\sphericalangle CBA=\sphericalangle ACB=60°$ und somit müssen alle Seiten die gleiche Länge besitzen und des handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck.