Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B1

Der Punkt $A (3 | 3)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von gleichschenkligen Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ mit den Basen $B_{n} C_{n}$ . Die Eckpunkte $B_{n} (x | - x + 3)$ der Dreiecke $A B_{n} C_{n}$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - x + 3$ $(x, y \in ℝ)$ .

Es gilt: $∢ B_{n} A C_{n} = 45^{\circ}$ .

In das Koordinatensystem sind die Gerade $g$ und das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ für $x = 3$ bereits eingezeichnet.
Ergänzen Sie das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ für $x = - 1$ . (1 P)
Bestimmung von $B_{2}$ mithilfe von $B_{n}$
Hierfür setzen wir $x = - 1$ in die allgemeine Form von $B_{n}$ ein und erhalten so $B_{2}$
$B_{2} (- 1 | - (- 1) + 3)$ $\Rightarrow$ $B_{2} (- 1 | 4)$
Wir zeichnen nun $B_{2}$ in unser Koordinatensystem ein.
Berechnung der fehlenden Winkel
Der Winkel $∢ B_{n} A C_{n}$ beträgt $45 °$
Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks $180 °$ beträgt.
Da es sich um ein Gleichschenkliges Dreieck handelt, gilt: $∢ C_{n} B_{n} A = ∢ A C_{n} B_{n}$
Wir rechnen: $∢ C_{n} B_{n} A = ∢ A C_{n} B_{n} = \frac{180 - 45}{2} = 67,5 °$
Vervollständigung der Zeichnung
Schenkel mit $∢ A B_{2} C_{2} = 67,5 °$ in $B_{2}$ an $A B_{2}$ antragen
Schenkel mit $∢ C_{2} A B_{2} = 45 °$ in $A$ an $A B_{2}$ antragen
Schenkel schneiden sich in Punkt $C_{2}$
Verbinde die Strecken $B_{2} C_{2}$ und $A C_{2}$
Gerade $g$ mit Dreiecke $A B_{1} C_{1}$ und $A B_{2} C_{2}$
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Bestimme zunächst $B_{2}$ mithilfe von $B_{n}$ , indem du $x = - 1$ einsetzt.
Berechne die Innenwinkel des Dreiecks.
Bestimme $C_{2}$ zeichnerisch mithilfe der berechneten Winkelwerte.

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ . (4 P)

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\vec{A C_{n}} (x)$	$=$	$\underset{Beschreibt die Drehung von \vec{A B_{n}}}{\underset{⏟}{R_{α} ⊙ \vec{A B_{n}}}}$
	↓	Die Matrix und den Vektor einsetzen.
	$=$	$(\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x - 3 \\ - x + 3 - 3 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{cc} \cos (45) & - \sin (45) \\ \sin (45) & \cos (45) \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x - 3 \\ - x + 3 - 3 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{cc} 0,71 & - 0,71 \\ 0,71 & 0,71 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x - 3 \\ - x \end{array})$
	↓	$Multiplikationsregel: (\begin{array}{c} x^{^{'}} \\ y^{^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 0,71 \cdot (x - 3) + (- 0,71) \cdot (- x) \\ 0,71 \cdot (x - 3) + 0,71 \cdot (- x) \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 0,71 x - 3 \cdot 0,71 + (- 0,71) \cdot (- x) \\ 0,71 x - 3 \cdot 0,17 - 0,71 x \end{array}) = (\begin{array}{c} 1,42 x - 2,13 \\ - 2,13 \end{array})$

Aufgabe B1

Bestimmung von $B_{2}$ mithilfe von $B_{n}$

Berechnung der fehlenden Winkel

Vervollständigung der Zeichnung

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Wir überlegen uns, woraus sich $C_{n}$ zusammensetzt:

Gleichung für $\vec{A C_{n}}$ mit Drehmatrix und Vektor $\vec{A B_{n}}$ aufstellen:

Berechnung $\vec{O C_{n}}$

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Aufgabe B1

Bestimmung von B2 mithilfe von Bn

Berechnung der fehlenden Winkel

Vervollständigung der Zeichnung

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Wir überlegen uns, woraus sich Cn zusammensetzt:

Gleichung für ACn→ mit Drehmatrix und Vektor ABn→ aufstellen:

Berechnung OCn→

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Bestimmung von $B_{2}$ mithilfe von $B_{n}$

Wir überlegen uns, woraus sich $C_{n}$ zusammensetzt:

Gleichung für $\vec{A C_{n}}$ mit Drehmatrix und Vektor $\vec{A B_{n}}$ aufstellen:

Berechnung $\vec{O C_{n}}$