Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B1

Der Punkt $A(3|3)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von gleichschenkligen Dreiecken $AB_nC_n$ mit den Basen $\overline{B_nC_n}$ . Die Eckpunkte $B_n(x|-x+3)$ der Dreiecke $AB_nC_n$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=-x+3$ $(x, y \in\mathbb{R})$ .

Es gilt: $\sphericalangle B_nAC_n=45^\circ$ .

In das Koordinatensystem sind die Gerade $g$ und das Dreieck $AB_1C_1$ für $x=3$ bereits eingezeichnet.
Ergänzen Sie das Dreieck $AB_2C_2$ für $x=-1$ . (1 P)
Bestimmung von $B_2$ mithilfe von $B_n$
Hierfür setzen wir $x=-1$ in die allgemeine Form von $B_n$ ein und erhalten so $B_2$
$B_2(-1|-(-1)+3)$ $\Rightarrow$ $B_2(-1|4)$
Wir zeichnen nun $B_2$ in unser Koordinatensystem ein.
Berechnung der fehlenden Winkel
Der Winkel $\sphericalangle B_nAC_n$ beträgt $\color{red}45°$
Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks $\color{blue}180°$ beträgt.
Da es sich um ein Gleichschenkliges Dreieck handelt, gilt: $\color{green}\sphericalangle C_nB_nA=\sphericalangle AC_nB_n$
Wir rechnen: $\sphericalangle C_nB_nA=\sphericalangle AC_nB_n=\dfrac{\color{blue}180\color{black}-\color{red}45}{\color{green}2}=67{,}5°$
Vervollständigung der Zeichnung
Schenkel mit $\sphericalangle AB_2C_2=67{,}5°$ in $B_2$ an $\overline{AB_2}$ antragen
Schenkel mit $\sphericalangle C_2AB_2=45°$ in $A$ an $\overline{AB_2}$ antragen
Schenkel schneiden sich in Punkt $C_2$
Verbinde die Strecken $\overline{B_2C_2}$ und $\overline{AC_2}$
Gerade $g$ mit Dreiecke $AB_1C_1$ und $AB_2C_2$
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Bestimme zunächst $B_2$ mithilfe von $B_n$ , indem du $x=-1$ einsetzt.
Berechne die Innenwinkel des Dreiecks.
Bestimme $C_2$ zeichnerisch mithilfe der berechneten Winkelwerte.

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ . (4 P)

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung mittels Matrizen

Wir überlegen uns, woraus sich $C_n$ zusammensetzt:

Wenn wir die Koordinaten eines Vektors ablesen wollen, brauchen wir als Fußpunkt den Ursprung O.
Mithilfe von skalarer Addition setzt sich $\overrightarrow{OC_n}$ zusammen aus...

$\overrightarrow{OC_n}=\overrightarrow{OA}\oplus\overrightarrow{AC_n}$

$\overrightarrow{OA}$ kennen wir bereits. Dahinter stecken einfach die Koordinaten von A:

$A(3|3)\Longrightarrow\:\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 3\\3 \end{pmatrix}$

Gleichung für $\overrightarrow{AC_n}$ mit Drehmatrix und Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ aufstellen:

Die Drehmatrix für eine Drehung um $α$ entgegen den Uhrzeigersinn lautet:

$R_α=\begin{pmatrix} \cosα & -\sinα \\ \sinα & \cosα \end{pmatrix}$

$\displaystyle \overrightarrow{AC_n}(x)$	$=$	$\displaystyle \underbrace{R_α\odot\overrightarrow{AB_n}}_{\text{Beschreibt die Drehung von }\overrightarrow{AB_n}}$
	↓	Die Matrix und den Vektor einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} \cosα & -\sinα \\ \sinα & \cosα \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x-3\\-x+3-3 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} \cos(45) & -\sin(45) \\ \sin(45) & \cos(45) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x-3\\-x+3-3 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\color{blue} 0{,}71 & \color{blue}-0{,}71 \\ \color{blue}0{,}71 & \color{blue}0{,}71 \end{pmatrix}\color{black}\odot\begin{pmatrix} \color{green}x-3\\\color{red}-x \end{pmatrix}$
	↓	${ \text{Multiplikationsregel:}\begin{pmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \color{blue}a & \color{blue}b \\ \color{blue}c & \color{blue}d \end{pmatrix}\color{black}\odot\begin{pmatrix} \color{green}x\\\color{red}y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \color{blue}a\color{black}\cdot \color{green} x\color{black}+\color{blue}b\color{black}\cdot\color{red} y\\\color{blue}c\color{black}\cdot \color{green}x\color{black}+\color{blue}d\color{black}\cdot \color{red}y \end{pmatrix}}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\color{blue}0{,}71\color{black}\cdot\color{green}(x-3)\color{black}+\color{blue}(-0{,}71)\color{black}\cdot\color{red}(-x) \\\color{blue}0{,}71\color{black}\cdot\color{green}(x-3)\color{black}+\color{blue}0{,}71\color{black}\cdot\color{red}(-x) \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 0{,}71x-3\cdot 0{,}71+(-0{,}71)\cdot(-x)\\0{,}71x-3\cdot0{,}17-0{,}71x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1{,}42x-2{,}13\\-2{,}13 \end{pmatrix}$

Berechnung $\overrightarrow{OC_n}$

$\overrightarrow{OC_n}(x)=\begin{pmatrix} 3\\3 \end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} 1{,}42x-2{,}13\\-2{,}13 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3+1{,}42x-2{,}13\\3+(-2{,}13) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1{,}42x+0{,}87\\0{,}87 \end{pmatrix}\\$

$\Longrightarrow\: C_n=(1{,}42x+0{,}87 \quad|\quad 0{,}87)$

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Aufgabe B1

Bestimmung von B2B_2B2​ mithilfe von BnB_nBn​

Berechnung der fehlenden Winkel

Vervollständigung der Zeichnung

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Wir überlegen uns, woraus sich CnC_nCn​ zusammensetzt:

Gleichung für ACn→\overrightarrow{AC_n}ACn​​ mit Drehmatrix und Vektor ABn→\overrightarrow{AB_n}ABn​​ aufstellen:

Berechnung OCn→\overrightarrow{OC_n}OCn​​

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Bestimmung von $B_2$ mithilfe von $B_n$

Wir überlegen uns, woraus sich $C_n$ zusammensetzt:

Gleichung für $\overrightarrow{AC_n}$ mit Drehmatrix und Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ aufstellen:

Berechnung $\overrightarrow{OC_n}$