Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Gegeben sind der Punkt $O (0 ∣ 0)$ und die Pfeile $\overrightarrow{OP}_n(\varphi)=\begin{pmatrix}4\cdot\sin(\varphi)\\5\cdot\cos(\varphi)\end{pmatrix}$ mit $\varphi\in[o^\circ;90^\circ[$ .

Zeichnen Sie den Pfeil $\overrightarrow{OP_1}$ für $\varphi=60^\circ$ in das Koordinatensystem ein.

Lösung zur Teilaufgabe a
Für diese Aufgabe kannst du einen Blick auf die Sinus- und die Kosinusfunktion werfen.
Mit deinem Taschenrechner berechnet du $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\cos(60^\circ)=0{,}5$ .
Du erhältst den Vektor:
$\displaystyle\overrightarrow{0P_1}=\begin{pmatrix}4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\5\cdot0{,}5\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}3{,}46\\2{,}5\end{pmatrix}$
Diesen Vektor trägst du nun in ein Koordinatensystem ein und erhältst eine Zeichnung ähnlich zu der auf der linken Seite.
Der Vektor eingetragen in ein Koordinatensystem
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Der Pfeil $\overrightarrow{OP_2}$ schließt mit der positiven $x$ -Achse einen Winkel mit dem Maß $\alpha=20^\circ$ ein.
Berechnen Sie die Koordinaten des Pfeils $\overrightarrow{OP_2}$ .

Lösung zur Teilaufgabe b
Du bestimmst den Steigungswinkel $\alpha$ gemäß
$\displaystyle\tan(\alpha)=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$
Hier ist $\Delta x=4\cdot\sin(\varphi)-0$ und
$\Delta y=5\cdot\cos(\varphi)-0$ . Damit erhältst du
$\displaystyle\tan(\alpha)=\frac {5}{4\cdot\tan(\varphi)}$ , sodass
$\displaystyle\varphi=\arctan\left(\frac{5}{4\cdot\tan(20^\circ)}\right)\approx 73{,}77^\circ.$
Steigungswinkel eines Vektors
Du hast also insgesamt den Vektor
$\displaystyle\overrightarrow{0P_2}=\begin{pmatrix}4\cdot\sin(73{,}77^\circ)\\5\cdot\cos(73{,}77^\circ)\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}3{,}84\\1{,}39\end{pmatrix}$
berechnet.
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Der Pfeil $\overrightarrow{OP_3}$ liegt auf der Winkelhalbierenden des 1. Quadraten.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ und geben Sie die Koordinaten des Pfeils $\overrightarrow{OP_3}$ auf zwei Stellen nach dem Komma an.

Lösung zur Teilaufgabe c
Auch hier benötigst du lediglich Wissen zu der Sinus- und der Kosinusfunktion.
Für die Winkelhalbierende des ersten Quadranten gilt definitionsgemäß $\alpha=45^\circ$ . Erinnere dich an die Beziehung
$\displaystyle\varphi=\arctan\left(\frac{5}{4\cdot\tan(\alpha)}\right)$
aus Teilaufgabe (b). Setzt du nun $\alpha=45^\circ$ ein und verwendest deinen Taschenrechner, so erhältst du $\varphi\approx 51{,}34^\circ$ .
Insgesamt hast du also den Vektor
$\displaystyle\overrightarrow{0P_3}=\begin{pmatrix}4\cdot\sin(51{,}34^\circ)\\5\cdot\cos(51{,}34^\circ)\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}3{,}12\\3{,}12\end{pmatrix}$
berechnet.
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Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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