Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind der Punkt $O(0|0)$ und die Pfeile $\overrightarrow{OP}_n(\varphi)=\begin{pmatrix}4\cdot\sin(\varphi)\\5\cdot\cos(\varphi)\end{pmatrix}$ mit $\varphi\in[o^\circ;90^\circ[$ .
1. Zeichnen Sie den Pfeil $\overrightarrow{OP_1}$ für $\varphi=60^\circ$ in das Koordinatensystem ein.
  
  Lösung zur Teilaufgabe a
  Der Vektor eingetragen in ein Koordinatensystem
  Für diese Aufgabe kannst du einen Blick auf die Sinus- und die Kosinusfunktion werfen.
  Mit deinem Taschenrechner berechnet du $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\cos(60^\circ)=0{,}5$ .
  Du erhältst den Vektor:
  $\displaystyle\overrightarrow{0P_1}=\begin{pmatrix}4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\5\cdot0{,}5\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}3{,}46\\2{,}5\end{pmatrix}$
  Diesen Vektor trägst du nun in ein Koordinatensystem ein und erhältst eine Zeichnung ähnlich zu der auf der linken Seite.
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2. Der Pfeil $\overrightarrow{OP_2}$ schließt mit der positiven $x$ -Achse einen Winkel mit dem Maß $\alpha=20^\circ$ ein.
  Berechnen Sie die Koordinaten des Pfeils $\overrightarrow{OP_2}$ .
  
  Lösung zur Teilaufgabe b
  Steigungswinkel eines Vektors
  Du bestimmst den Steigungswinkel $\alpha$ gemäß
  $\displaystyle\tan(\alpha)=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$
  Hier ist $\Delta x=4\cdot\sin(\varphi)-0$ und
  $\Delta y=5\cdot\cos(\varphi)-0$ . Damit erhältst du
  $\displaystyle\tan(\alpha)=\frac {5}{4\cdot\tan(\varphi)}$ , sodass
  $\displaystyle\varphi=\arctan\left(\frac{5}{4\cdot\tan(20^\circ)}\right)\approx 73{,}77^\circ.$
  Du hast also insgesamt den Vektor
  berechnet.
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3. Der Pfeil $\overrightarrow{OP_3}$ liegt auf der Winkelhalbierenden des 1. Quadraten.
  Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ und geben Sie die Koordinaten des Pfeils $\overrightarrow{OP_3}$ auf zwei Stellen nach dem Komma an.
  
  Lösung zur Teilaufgabe c
  Auch hier benötigst du lediglich Wissen zu der Sinus- und der Kosinusfunktion.
  Für die Winkelhalbierende des ersten Quadranten gilt definitionsgemäß $\alpha=45^\circ$ . Erinnere dich an die Beziehung
  aus Teilaufgabe (b). Setzt du nun $\alpha=45^\circ$ ein und verwendest deinen Taschenrechner, so erhältst du $\varphi\approx 51{,}34^\circ$ .
  Insgesamt hast du also den Vektor
  berechnet.
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Gegeben sind die Funktionen $f_1$ mit der Gleichung $y=2\cdot(x+2{,}5)^{\frac12}-4$ und $f_2$ mit der Gleichung $y=-1{,}5\cdot (x+2{,}5)^{\frac12}+3\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Im Koordinatensystem ist der Graph zu $f_1$ eingezeichnet.

Der Graph zu $f_1$ kann durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und $k$ als Affinitätsmaßstab ( $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ) auf den Graphen zu $f_2$ abgebildet werden.
Bestimmen Sie den Affinitätsmaßstab $k$ und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f_2$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_2$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zur Teilaufgabe a
Für diese Aufgabe benötigst du ein grundlegendes Wissen über Definitions- und Wertebereich einer Funktion.
Gesucht ist ein Faktor $k\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ , sodass $f_2=k\cdot f_1$ . Durch Vergleich der Vorfaktoren des Terms $(x+2{,}5)^{\frac12}$ erkennst du, dass
Du kannst dir das Ganze auch nochmal in dem Applet unten anschauen:
Die Funktion $f_2$ kann nur dort definiert sein, wo das Argument der Quadratwurzel nicht negativ ist. Das ist genau dann der Fall, wenn
$\displaystyle x+2{,}5$ $≥$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -2{,}5$
$\displaystyle x$ $≥$ $\displaystyle -2{,}5$
Also ist der Definitionsbereich der Funktion $f_2$ gegeben durch $D_{f_2}=[-2{,}5,\infty[$ .
Für den Wertebereich der Funktion $f_2$ liest du aus dem Funktionsgraphen ab:
$W_{f_2}=]-\infty,3]$ .
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Punkte $A_n(x|-1{,}5\cdot(x+2{,}5)^{\frac12}+3)$ auf dem Graph zu $f_2$ und Punkte $C_n(x|2\cdot(x+2{,}5)^{\frac12}-4)$ auf dem Graphen $f_1$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind für $x<1{,}5$ zusammen mit Punkten $B_n$ die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken $A_nB_nC_n$ mit den Hypotenusen $[B_nC_n]$ .
Es gilt: $\overline{A_nB_n}=2~\text{LE}$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=-1$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
Dreieck in das Koordinatensystem eingezeichnet
Du startest mit den Punkten $A_1$ und $C_1$ . Beide Punkte liegen auf der Geraden $x=-1$ und die $y$ -Koordinaten sind durch $f_2(-1)\approx1{,}16$ für $A_1$ sowie durch $f_1(-1)\approx-1{,}55$ für $C_1$ gegeben. Ferner weißt du, dass $[B_1C_1]$ die Hypotenuse des Dreiecks werden wird. Daher ist der Winkel $\sphericalangle B_1A_1C_1$ rechtwinklig. Da die Eckpunkte von Dreiecken stets gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet werden, muss $B_1$ links von $A_1$ liegen. Du zeichnest also die Normale zur Strecke $[A_1C_1]$ durch den Punkt $A_1$ ein und trägst die gegebenen $\overline{A_1B_1}=2\,\mathrm{LE}$ nach links ab. Dort liegt $B_1$ .
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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:

$\overline{A_nC_n}(x)=[-3{,}5\cdot (x+2{,}5)^{\frac12}+7]~\text{LE}$

Im Dreieck $A_2B_2C_2$ gilt: $\sphericalangle A_2C_2B_2=40^\circ$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Lösung zur Teilaufgabe d

Für diese Aufgabe lohnt sich ein Blick in den Artikel über trigonometrische Beziehungen.

Skizze des Dreiecks mit dem zu bestimmenden Winkel

Der Winkel $\sphericalangle A_1C_1B_1$ wird im Folgenden mit $\alpha$ bezeichnet. Schau dir dazu auch die nicht maßstabsgetreue Skizze auf der rechten Seite an. Wir benutzen die Tangensformel

\displaystyle\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

im rechtwinkligen Dreieck $A_2B_2C_2$ . Hier ist $[A_2B_2]$ die Gegenkathete und $[A_2C_2]$ die Ankathete. Wir lösen diese Beziehung nach der Ankathete auf und erhalten

$\displaystyle \overline{A_2C_2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{A_2B_2}}{\tan\alpha}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\tan(40°)}$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}38~\text{(LE)}$

Nun löst du die in Teilaufgabe (c) bestimmte Gleichung nach $x$ auf:

$\displaystyle \overline{A_2C_2}$	$=$	$\displaystyle -3{,}5\cdot(x+2{,}5)^{\frac{1}{2}}+7$	$\displaystyle -7$
$\displaystyle \overline{A_2C_2}-7$	$=$	$\displaystyle -3{,}5\cdot(x+2{,}5)^{\frac{1}{2}}$	$\displaystyle :(-3{,}5)$
$\displaystyle \displaystyle -\frac{\overline{A_2C_2}-7}{3{,}5}$	$=$	$\displaystyle (x+2{,}5)^{\frac{1}{2}}$	$\displaystyle \;()^2$
$\displaystyle \displaystyle \left(-\frac{\overline{A_2C_2}-7}{3{,}5}\right)^2$	$=$	$\displaystyle x+2{,}5$	$\displaystyle -2{,}5\text{ und Seiten vertauschen}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \left(\frac{\overline{A_2C_2}-7}{3{,}5}\right)^2-2{,}5$

Abschließend setzt du $\overline{A_2C_2}\approx 2{,}38$ ein und erhältst $x\approx -0{,}76$ .

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Begründen Sie, dass für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $A_nB_nC_n$ gilt: $A\le7~\text{FE}$ .

Lösung zur Teilaufgabe e
Hier benutzt du Resultate über den Flächeninhalt von Dreiecken.
Da das Dreieck $A_nB_nC_n$ rechtwinklig ist, kannst du dessen Flächeninhalt gemäß
berechnen (siehe hierzu den "Sonderfall rechtwinkliges Dreieck" im Artikel über den Flächeninhalt). Du setzt $\overline{A_nB_n}=2\,\mathrm{LE}$ und das Resultat für $\overline{A_nC_n}(x)$ aus Teilaufgabe (c) ein und erhältst:
Hier hast du benutzt, dass die Quadratwurzel (falls definiert) stets nicht-negativ, d.h. $\geq 0$ , ist.
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Die Axialschnitte von Rotationskörpern sind symmetrische Neunecke $ABCDE_nFGHI$ mit der Symmetrieachse $MP$ .

Punkte $E_n$ au der Symmetrieachse $MP$ legen zusammen mit den Punkten $D$ und $F$ Winkel $DE_nF$ fest. Die Winkel $DE_nF$ haben das Maß $\varphi\in]55{,}02^\circ;180^\circ[$ .

Es gilt:

$\overline{AB}=6~\text{cm};~\overline{BC}=2{,}5~\text{cm},~\overline{CD}=4{,}8~\text{cm};~\overline{AI}=4~\text{cm}\\\sphericalangle DCB=90^\circ;~\sphericalangle ABC=90^\circ,~\sphericalangle BAI=90^\circ$

Die Skizze zeigt das maßstabsgetreue Neuneck $ABCDE_1FGHI$ für $\varphi=75^\circ$ .

Begründen Sie durch Rechnung das Maß der unteren Intervallgrenze für $\varphi$ .

Lösung zur Teilaufgabe a
Hier benutzt du Kenntnisse über Wechselwinkel und trigonometrische Beziehungen.
Skizze der Figur
Der kleinste mögliche Winkel $\varphi$ wird dann erreicht, wenn $E_1$ so gewählt wird, dass die Strecke $[DE_1]$ den Punkt $B$ berührt. In diesem Fall berührt die Strecke $[E_1F]$ auch den Punkt $H$ aus Symmetriegründen. Diese Situation ist in der linken Zeichnung zu sehen. Erinnere dich, dass die Winkel $\alpha$ und $\varphi:2$ als Wechselwinkel in Beziehung stehen. Daher reicht es, den Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck $CDB$ zu bestimmen. Aus der Formelsammlung nimmst du die Beziehung:
$\displaystyle\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.$
In diesem Problem ist die Gegenkathete die Strecke $[BC]$ und die Ankathete die Strecke $[CD]$ . Damit berechnest du
Wende nun die Umkehrfunktion des Tangens an und du erhältst $\alpha=27{,}51^\circ$ .
Damit hast du den kleinstmöglichen Winkel $\varphi=2\cdot\alpha=2\cdot27{,}51^\circ=55{,}02^\circ$ bestimmt.
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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\pi\cdot\left(121{,}2-\dfrac{30{,}375}{\tan\frac{\varphi}{2}}\right)~\text{cm}^3$

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers für $\varphi=70^\circ$ auf zwei Stellen nach dem Komma genau.

Lösung zur Teilaufgabe c
Du setzt $70^\circ$ in die hergeleitete Volumenformel aus Teilaufgabe (b) ein und erhältst unter Verwendung deines Taschenrechners
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \overline{A_nC_n}(x)$	$=$	$\displaystyle (-1{,}5\cdot(x+2{,}5)^{\frac{1}{2}}+3)-(2\cdot(x+2{,}5)^{\frac{1}{2}}-4)$
	$=$	$\displaystyle -3{,}5\cdot(x+2{,}5)^{\frac{1}{2}}+7~(\text{LE})$

$\displaystyle V(\varphi )$	$=$	$\displaystyle V_{\text{orange}}+V_{\text{grün}}-V_{\text{Zylinder}}$
	$=$	$\displaystyle 24\cdot\pi\,\mathrm{cm}^3+97{,}2\cdot\pi\,\mathrm{cm}^3-\frac{30{,}375\cdot\pi}{\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}$
	$=$	$\displaystyle \pi \cdot \left(24+97{,}2-\frac{30{,}375}{\tan \left(\frac{\varphi }{2}\right)}\right)$
	$=$	$\displaystyle \pi \cdot \left(121{,}2-\frac{30{,}375}{\tan \left(\frac{\varphi }{2}\right)}\right)$

$\displaystyle x+2{,}5$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2{,}5$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -2{,}5$

Nachtermin Teil A

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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Lösung zur Teilaufgabe d

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Lösung zur Teilaufgabe e

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Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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