Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Die Axialschnitte von Rotationskörpern sind symmetrische Neunecke $A B C D E_{n} F G H I$ mit der Symmetrieachse $M P$ .

Punkte $E_{n}$ au der Symmetrieachse $M P$ legen zusammen mit den Punkten $D$ und $F$ Winkel $D E_{n} F$ fest. Die Winkel $D E_{n} F$ haben das Maß $φ \in] {55,02}^{\circ}; 180^{\circ} [$ .

Es gilt:

$\begin{array}{l} A B = 6 cm; B C = 2,5 cm, C D = 4,8 cm; A I = 4 cm \\ ∢ D C B = 90^{\circ}; ∢ A B C = 90^{\circ}, ∢ B A I = 90^{\circ} \end{array}$

Die Skizze zeigt das maßstabsgetreue Neuneck $A B C D E_{1} F G H I$ für $φ = 75^{\circ}$ .

Begründen Sie durch Rechnung das Maß der unteren Intervallgrenze für $φ$ .

Lösung zur Teilaufgabe a
Hier benutzt du Kenntnisse über Wechselwinkel und trigonometrische Beziehungen.
Der kleinste mögliche Winkel $φ$ wird dann erreicht, wenn $E_{1}$ so gewählt wird, dass die Strecke $[D E_{1}]$ den Punkt $B$ berührt. In diesem Fall berührt die Strecke $[E_{1} F]$ auch den Punkt $H$ aus Symmetriegründen. Diese Situation ist in der linken Zeichnung zu sehen. Erinnere dich, dass die Winkel $α$ und $φ : 2$ als Wechselwinkel in Beziehung stehen. Daher reicht es, den Winkel $α$ im rechtwinkligen Dreieck $C D B$ zu bestimmen. Aus der Formelsammlung nimmst du die Beziehung:
$\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} .$
In diesem Problem ist die Gegenkathete die Strecke $[B C]$ und die Ankathete die Strecke $[C D]$ . Damit berechnest du
$\tan (α) = \frac{B C}{C D} = \frac{2,5 cm}{4,8 cm} .$
Wende nun die Umkehrfunktion des Tangens an und du erhältst $α = {27,51}^{\circ}$ .
Damit hast du den kleinstmöglichen Winkel $φ = 2 \cdot α = 2 \cdot {27,51}^{\circ} = {55,02}^{\circ}$ bestimmt.
Skizze der Figur
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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Rotationskörper in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $V (φ) = π \cdot (121,2 - \frac{30,375}{\tan \frac{φ}{2}}) {cm}^{3}$

Lösung zur Teilaufgabe b
In dieser Aufgabe verwendest du Inhalte aus den Artikeln Rotationskörper und trigonometrische Beziehungen.
Du berechnest zunächst das größere Volumen des Rotationskörpers erzeugt von der linksstehenden Abbildung und ziehst danach die Aussparung ab. Dazu gehst du in zwei Schritten vor. Du startest mit dem Rotationskörper, erzeugt von dem orangen Rechteck. Dies ist ein Zylinder mit Höhe $A B$ und Radius $I M = A I : 2$ . Analog verfährst du mit dem grünen Rechteck. Dort ist die Höhe $C D$ und der Radius $D F : 2 = A I : 2 + B C$ .
Skizze des gesamten Körpers
Du wendest nun die Zylinderformel an und erhältst
$V_{orange} = π \cdot r^{2} \cdot h = π \cdot {(\frac{A I}{2})}^{2} \cdot A B = π \cdot {(\frac{4}{2})}^{2} \cdot 6 = 24 \cdot π {cm}^{3}$
sowie
$V_{grün} = π \cdot r^{2} \cdot h = π \cdot {(\frac{A I}{2} + B C)}^{2} \cdot C D = π \cdot {(\frac{4}{2} + 2,5)}^{2} \cdot 4,8 = 97,2 \cdot π {cm}^{3} .$
Nun musst du abschließend noch berechnen, wie viel Volumen der Rotationskörper, erzeugt durch das Dreieck $D E_{1} F$ , beiträgt. Das rotierende Dreieck ergibt einen Kegel mit Spitze $E_{1}$ . Der Radius der Grundfläche des Kegels ist wie zuvor $D F : 2$ . Für die Höhe betrachtest du das Dreieck $D P E_{1}$ (siehe Skizze der Aufgabenstellung) und verwendest wie in Teilaufgabe A3.1 die Tangensbeziehung:
$\tan (\frac{φ}{2}) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
Hier ist nun die Gegenkathete durch $[D P]$ und die Ankathete durch $[E_{1} P]$ gegeben. Letztere Strecke ist gleichzeitig die Höhe des Kegels, für dessen Volumen du dich interessierst. Du löst also nach dieser auf und erhältst
$h = E_{1} P = \frac{D P}{\tan (\frac{φ}{2})} = \frac{r}{\tan (\frac{φ}{2})} .$
Das setzt du jetzt in die Kegelformel ein und erhältst
$V_{Kegel} = \frac{π}{3} \cdot r^{2} \cdot h = \frac{π}{3} \cdot \frac{r^{3}}{\tan (\frac{φ}{2})} = \frac{π}{3} \frac{{(D F : 2)}^{3}}{\tan (\frac{φ}{2})} = \frac{π}{3} \frac{{4,5}^{3}}{\tan (\frac{φ}{2})} = \frac{30,375 \cdot π}{\tan (\frac{φ}{2})} {cm}^{3}$
Nun kannst du das Volumen $V$ des Rotationskörpers bestimmen:
$V (φ)$ $=$ $V_{orange} + V_{grün} - V_{Zylinder}$
$=$ $24 \cdot π {cm}^{3} + 97,2 \cdot π {cm}^{3} - \frac{30,375 \cdot π}{\tan (\frac{φ}{2})}$
$=$ $π \cdot (24 + 97,2 - \frac{30,375}{\tan (\frac{φ}{2})})$
$=$ $π \cdot (121,2 - \frac{30,375}{\tan (\frac{φ}{2})})$
Das ist genau die Formel, welche die Angabe als Vergleichsergebnis nennt.
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Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers für $φ = 70^{\circ}$ auf zwei Stellen nach dem Komma genau.

Lösung zur Teilaufgabe c
Du setzt $70^{\circ}$ in die hergeleitete Volumenformel aus Teilaufgabe (b) ein und erhältst unter Verwendung deines Taschenrechners
$V (70^{\circ}) \approx 244,48 {cm}^{3} .$
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$V (φ)$	$=$	$V_{orange} + V_{grün} - V_{Zylinder}$
	$=$	$24 \cdot π {cm}^{3} + 97,2 \cdot π {cm}^{3} - \frac{30,375 \cdot π}{\tan (\frac{φ}{2})}$
	$=$	$π \cdot (24 + 97,2 - \frac{30,375}{\tan (\frac{φ}{2})})$
	$=$	$π \cdot (121,2 - \frac{30,375}{\tan (\frac{φ}{2})})$

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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