Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Funktionen $f_{1}$ mit der Gleichung $y = 2 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} - 4$ und $f_{2}$ mit der Gleichung $y = - 1,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} + 3 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .

Im Koordinatensystem ist der Graph zu $f_{1}$ eingezeichnet.

Der Graph zu $f_{1}$ kann durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und $k$ als Affinitätsmaßstab ( $k \in ℝ ∖ {0}$ ) auf den Graphen zu $f_{2}$ abgebildet werden.
Bestimmen Sie den Affinitätsmaßstab $k$ und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f_{2}$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zur Teilaufgabe a
Für diese Aufgabe benötigst du ein grundlegendes Wissen über Definitions- und Wertebereich einer Funktion.
Gesucht ist ein Faktor $k \in ℝ ∖ {0}$ , sodass $f_{2} = k \cdot f_{1}$ . Durch Vergleich der Vorfaktoren des Terms $(x + 2,5)^{\frac{1}{2}}$ erkennst du, dass
$k = - \frac{1,5}{2} = - \frac{3}{4} = - 0,75.$
Du kannst dir das Ganze auch nochmal in dem Applet unten anschauen:
Die Funktion $f_{2}$ kann nur dort definiert sein, wo das Argument der Quadratwurzel nicht negativ ist. Das ist genau dann der Fall, wenn
$x + 2,5$ $\geq$ $0$ $- 2,5$
$x$ $\geq$ $- 2,5$
Also ist der Definitionsbereich der Funktion $f_{2}$ gegeben durch $D_{f_{2}} = [- 2,5, \infty [$ .
Für den Wertebereich der Funktion $f_{2}$ liest du aus dem Funktionsgraphen ab:
$W_{f_{2}} =] - \infty, 3]$ .
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Punkte $A_{n} (x | - 1,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} + 3)$ auf dem Graph zu $f_{2}$ und Punkte $C_{n} (x | 2 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} - 4)$ auf dem Graphen $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind für $x < 1,5$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ mit den Hypotenusen $[B_{n} C_{n}]$ .
Es gilt: $A_{n} B_{n} = 2 LE$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 1$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
Du startest mit den Punkten $A_{1}$ und $C_{1}$ . Beide Punkte liegen auf der Geraden $x = - 1$ und die $y$ -Koordinaten sind durch $f_{2} (- 1) \approx 1,16$ für $A_{1}$ sowie durch $f_{1} (- 1) \approx - 1,55$ für $C_{1}$ gegeben. Ferner weißt du, dass $[B_{1} C_{1}]$ die Hypotenuse des Dreiecks werden wird. Daher ist der Winkel $∢ B_{1} A_{1} C_{1}$ rechtwinklig. Da die Eckpunkte von Dreiecken stets gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet werden, muss $B_{1}$ links von $A_{1}$ liegen. Du zeichnest also die Normale zur Strecke $[A_{1} C_{1}]$ durch den Punkt $A_{1}$ ein und trägst die gegebenen $A_{1} B_{1} = 2 LE$ nach links ab. Dort liegt $B_{1}$ .
Dreieck in das Koordinatensystem eingezeichnet
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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt:
$A_{n} C_{n} (x) = [- 3,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} + 7] LE$

Lösung zur Teilaufgabe c
Da die Punkte $A_{n}$ und $C_{n}$ stets die gleiche $x$ -Koordinate besitzen, ist die Länge der Strecke $[A_{n} C_{n}]$ durch die Differenz der $y$ -Koordinaten gegeben. Du berechnest:
$A_{n} C_{n} (x)$ $=$ $(- 1,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} + 3) - (2 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} - 4)$
$=$ $- 3,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} + 7 (LE)$
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Im Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ gilt: $∢ A_{2} C_{2} B_{2} = 40^{\circ}$ .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Lösung zur Teilaufgabe d
Für diese Aufgabe lohnt sich ein Blick in den Artikel über trigonometrische Beziehungen.
Der Winkel $∢ A_{1} C_{1} B_{1}$ wird im Folgenden mit $α$ bezeichnet. Schau dir dazu auch die nicht maßstabsgetreue Skizze auf der rechten Seite an. Wir benutzen die Tangensformel
$\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
im rechtwinkligen Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ . Hier ist $[A_{2} B_{2}]$ die Gegenkathete und $[A_{2} C_{2}]$ die Ankathete. Wir lösen diese Beziehung nach der Ankathete auf und erhalten
Skizze des Dreiecks mit dem zu bestimmenden Winkel
$A_{2} C_{2}$ $=$ $\frac{A_{2} B_{2}}{\tan α}$
$=$ $\frac{2}{\tan (40 °)}$
$\approx$ $2,38 (LE)$
Nun löst du die in Teilaufgabe (c) bestimmte Gleichung nach $x$ auf:
$A_{2} C_{2}$ $=$ $- 3,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} + 7$ $- 7$
$A_{2} C_{2} - 7$ $=$ $- 3,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}}$ $: (- 3,5)$
$- \frac{A_{2} C_{2} - 7}{3,5}$ $=$ $(x + 2,5)^{\frac{1}{2}}$ $()^{2}$
${(- \frac{A_{2} C_{2} - 7}{3,5})}^{2}$ $=$ $x + 2,5$ $- 2,5 und Seiten vertauschen$
$x$ $=$ ${(\frac{A_{2} C_{2} - 7}{3,5})}^{2} - 2,5$
Abschließend setzt du $A_{2} C_{2} \approx 2,38$ ein und erhältst $x \approx - 0,76$ .
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Begründen Sie, dass für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ gilt: $A \leq 7 FE$ .

Lösung zur Teilaufgabe e
Hier benutzt du Resultate über den Flächeninhalt von Dreiecken.
Da das Dreieck $A_{n} B_{n} C_{n}$ rechtwinklig ist, kannst du dessen Flächeninhalt gemäß
$A (x) = \frac{1}{2} \cdot A_{n} B_{n} \cdot A_{n} C_{n} (x)$
berechnen (siehe hierzu den "Sonderfall rechtwinkliges Dreieck" im Artikel über den Flächeninhalt). Du setzt $A_{n} B_{n} = 2 LE$ und das Resultat für $A_{n} C_{n} (x)$ aus Teilaufgabe (c) ein und erhältst:
$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (- 3,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} + 7) = (\underset{\leq 0}{\underset{⏟}{- 3,5 \cdot \underset{\geq 0}{\underset{⏟}{(x + 2,5)^{\frac{1}{2}}}}}} + 7) (F E) \leq 7 (F E)$
Hier hast du benutzt, dass die Quadratwurzel (falls definiert) stets nicht-negativ, d.h. $\geq 0$ , ist.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$A_{n} C_{n} (x)$	$=$	$(- 1,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} + 3) - (2 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} - 4)$
	$=$	$- 3,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} + 7 (LE)$

$A_{2} C_{2}$	$=$	$\frac{A_{2} B_{2}}{\tan α}$
	$=$	$\frac{2}{\tan (40 °)}$
	$\approx$	$2,38 (LE)$

$A_{2} C_{2}$	$=$	$- 3,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}} + 7$	$- 7$
$A_{2} C_{2} - 7$	$=$	$- 3,5 \cdot (x + 2,5)^{\frac{1}{2}}$	$: (- 3,5)$
$- \frac{A_{2} C_{2} - 7}{3,5}$	$=$	$(x + 2,5)^{\frac{1}{2}}$	$()^{2}$
${(- \frac{A_{2} C_{2} - 7}{3,5})}^{2}$	$=$	$x + 2,5$	$- 2,5 und Seiten vertauschen$
$x$	$=$	${(\frac{A_{2} C_{2} - 7}{3,5})}^{2} - 2,5$

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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Lösung zur Teilaufgabe d

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Lösung zur Teilaufgabe e

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