Satz des Pythagoras angewandt auf die, in der Aufgabenstellung gezeigte Skizze:

${\overline{\mathrm{A}\mathrm{S}}}^2={\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}^2+{\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}}^2\Rightarrow \overline{\mathrm{A}\mathrm{S}}=\sqrt{8^2+{11}^2}\mathrm{c}\mathrm{m};\overline{\mathrm{A}\mathrm{S}}=\sqrt{185}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{S}}=\mathrm{13,60}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechnen des Maßes $\phi$des Winkels $\text{ASM}:$

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{S}\mathrm{M}}}}=\tan \mathrm{\phi }\Rightarrow \tan \mathrm{\phi }={\displaystyle \frac{8\cancel{\mathrm{c}\mathrm{m}}}{11\cancel{\mathrm{c}\mathrm{m}}}};\tan \mathrm{\phi }=\mathrm{0,7273}$

$\phi ={\mathrm{36,03}}^{\circ }$

Einzeichnen der Strecke $\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}.$

Berechnen der Strecke $\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$ mithilfe des $2.$ Strahlensatzes.

$2$. Strahlensatz angewandt auf die obige Zeichnung:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{S}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}}{\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}}}\Rightarrow \overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}\cdot \overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}}{\overline{\mathrm{S}\mathrm{M}}}}$ setze die Zahlenwerte ein.

$\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}={\displaystyle \frac{12\cdot (11-4)}{11}}{\displaystyle \frac{[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2]}{[\mathrm{c}\mathrm{m}]}}$

$\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=\mathrm{7,64}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Einzeichnen des Dreiecks $\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}{\mathrm{R}}_1}$

Kosinussatz angewandt auf die obige Zeichnung:

${\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}}^2={\overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}}^2+{\overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}}^2-2\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\sphericalangle {\mathrm{R}}_1\mathrm{S}\mathrm{D}\cdot \overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}\cdot \overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}$

$\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}=\sqrt{{\overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}}^2+{\overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}}^2-2\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\sphericalangle {\mathrm{R}}_1\mathrm{S}\mathrm{D}\cdot \overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}\cdot \overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}}$

$\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}=\sqrt{(\mathrm{13,60}-9{)}^2+(11-4{)}^2-2\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{36,03}}^{\circ }\cdot (\mathrm{13,60}-9)\cdot (11-4)}[\mathrm{c}\mathrm{m}]$

$\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}=\sqrt{\mathrm{70,16}-2\cdot \mathrm{26,04}}[\mathrm{c}\mathrm{m}]$

$\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}=\mathrm{4,25}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechnen des Winkels $\delta$ mit dem Sinussatz.

Sinussatz angewandt auf die obige Zeichnung:

${\displaystyle \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\phi }}{\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\delta }}{\overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}}}\Rightarrow \sin \mathrm{\delta }={\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\phi }\cdot \overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}}{\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}}}$

$\sin \mathrm{\delta }={\displaystyle \frac{\sin {\mathrm{36,03}}^{\circ }\cdot \mathrm{4,60}\cancel{\mathrm{c}\mathrm{m}}}{\mathrm{4,25}\cancel{\mathrm{c}\mathrm{m}}}};\sin \mathrm{\delta }=\mathrm{0,6366}$

$\mathrm{\delta }={\mathrm{39,54}}^{\circ }$

​

Einzeichnen der Höhe $\text{h}$ mit dem Höhenfußpunkt ${\mathrm{F}}_1.$

Länge der Strecken $\left[{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}\right]$ der Pyramide $\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{S}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}$in Abhängigkeit von $\text{x}$:

$1.$ Lösungsmöglichkeit:

$\sin \mathrm{\phi }={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})}{\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\mathrm{S}}}};\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\mathrm{S}}=(\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{x}<\mathrm{13,60};\in {ℝ}_{\mathrm{𝟘}}^{+}$

$\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=\sin {\mathrm{36,03}}^{\circ }\cdot (\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}\Rightarrow \overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=\mathrm{0,5882}\cdot (\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=(\mathrm{8,00}-\mathrm{0,59}\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}$

$2.$Lösungsmöglichkeit:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{S}}}{\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}}={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\mathrm{S}}}{\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}}}$$\text{2.Strahlensatz}$

$\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{8\cdot (\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}\cancel{{}^2}}{\mathrm{13,60}\cancel{\mathrm{c}\mathrm{m}}}}$

$\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=(\mathrm{8,00}-\mathrm{0,59}\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}$