Nachtermin Teil A

$\mathrm{f\left(x\right):y=100\cdot0{,}915^x}$

$\hspace{9mm}\mathrm{y=100\cdot0{,}915^1\Rightarrow y=91{,}5\ \%}$

In $\mathrm{1\ m}$ Wassertiefe beträgt die Lichtintensität $\mathrm{91{,}5\ \%}$.

Abnahme der Lichtintensität pro Meter:

$100\ \%-91{,}5\ \%=8{,}5\ \%$

Die Lichtintensität nimmt um $\boxed{\mathrm{8{,}5\ \%}}$ pro Meter ab.

Anmerkung, die Pfeile brauchen bei diesem Aufgabenteil nicht eingezeichnet zu werden.

In ungefähr $\mathrm{8\ m}$ Wassertiefe beträgt die Lichtintensität nur noch $\mathrm{50\ \%}$.

$\mathrm{y=100\cdot0{,}915^{18}\Rightarrow y=100\cdot0{,}2021}$

$\mathrm{y=20{,}21\ \%}$

Die Bedingungen in den beiden Seen sind nicht gleich, da:

$\mathrm{20{,}21\neq22}\ [\%]$

Satz des Pythagoras angewandt auf die, in der Aufgabenstellung gezeigte Skizze:

$\mathrm{\overline{AS}^2=\overline{AM}^2+\overline{MS}^2\Rightarrow \overline{AS}=\sqrt{8^2+11^2}\ cm;\qquad\overline{AS}=\sqrt{185}\ cm}$

$\boxed{\mathrm{\overline{AS}=13{,}60\ cm}}$

Berechnen des Maßes $\varphi\$des Winkels $\text{ASM}:$

$\mathrm{\dfrac{\overline{AM}}{\overline{SM}}=\tan\varphi\Rightarrow\tan\varphi=\dfrac{8\ \ \cancel{cm}}{11\ \ \cancel{cm}};\qquad\tan\varphi=0{,}7273}$

$\boxed{\varphi=36{,}03^\circ}$

Einzeichnen der Strecke $\mathrm{\overline{PQ}}.$

Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{PQ}}$ mithilfe des $2.$ Strahlensatzes.

$2$. Strahlensatz angewandt auf die obige Zeichnung:

$\ \mathrm{\dfrac{\overline{SM}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{SD}}{\overline{PQ}}\Rightarrow\overline{PQ}=\dfrac{\overline{BC}\cdot\overline{SD}}{\overline{SM}}}\$ setze die Zahlenwerte ein.

$\ \mathrm{\overline{PQ}=\dfrac{12\cdot(11-4)}{11}\ \dfrac{[cm^2]}{[cm]}}$

$\ \boxed{\mathrm{\overline{PQ}=7{,}64\ cm}}$

Einzeichnen des Dreiecks $\mathrm{\overline {PQR_1}}$

Kosinussatz angewandt auf die obige Zeichnung:

$\ \mathrm{\overline{DR_1}^2=\overline{SR_1}^2+\overline{SD}^2-2\cdot cos\sphericalangle{R_1SD}\cdot\overline{SR_1}\cdot\overline{SD}}$

$\ \mathrm{\overline{DR_1}=\sqrt{\overline{SR_1}^2+\overline{SD}^2-2\cdot cos\sphericalangle{R_1SD}\cdot\overline{SR_1}\cdot\overline{SD}}}$

$\mathrm{\overline{DR_1}=\sqrt{(13{,}60-9)^2+(11-4)^2-2\cdot cos36{,}03^\circ\cdot(13{,}60-9)\cdot(11-4)}\ [cm]}$

$\mathrm{\overline{DR_1}=\sqrt{70{,}16-2\cdot 26{,}04}\ [cm]}$

$\ \mathrm{\overline{DR_1}=4{,}25\ cm}$

Berechnen des Winkels $\delta$ mit dem Sinussatz.

Sinussatz angewandt auf die obige Zeichnung:

$\ \mathrm{\dfrac{sin\varphi}{\overline{DR_1}}=\dfrac{sin\delta}{\overline{SR_1}}\Rightarrow\sin\delta=\dfrac{\sin\varphi\cdot\overline{SR_1}}{\overline{DR_1}}}$

$\ \mathrm{\sin\delta=\dfrac{\sin36{,}03^\circ \cdot4{,}60\ \cancel{cm}}{4{,}25\ \cancel{cm}};\qquad\sin\delta=0{,}6366}$

$\ \boxed{\mathrm{\delta=39{,}54^\circ}}$

​

Einzeichnen der Höhe $\text{h}$ mit dem Höhenfußpunkt $\mathrm{F_1}.$

Länge der Strecken $\left[\mathrm{R_nF_n}\right]$ der Pyramide $\mathrm{PQSR_n}$in Abhängigkeit von $\text{x}$:

$1.$ Lösungsmöglichkeit:

$\ \mathrm{\sin\varphi=\dfrac{\overline{R_nF_n}(x)}{\overline{R_nS}};\qquad\qquad\overline{R_nS}=(13{,}60 -x)\ cm\qquad x<13{,}60;\ \in\mathbb{R_0^+}}$

$\ \mathrm{\overline{R_nF_n}(x)=\sin36{,}03^\circ\cdot(13{,}60-x)\ cm\Rightarrow\overline{R_nF_n}(x)=0{,}5882\cdot(13{,}60-x)\ cm}$

$\ \boxed{\mathrm{\overline{R_nF_n}(x)=(8{,}00-0{,}59x)\ cm}}$

$\rule{12cm}{0.8mm}$

$2.\$Lösungsmöglichkeit:

$\ \mathrm{\dfrac{\overline{AS}}{\overline{AM}}=\dfrac{\overline{R_nS}}{\overline{R_nF_n}}}\qquad$$\text{2.Strahlensatz}$

$\ \mathrm{\overline{R_nF_n}(x)=\dfrac{8\cdot(13{,}60-x)\ cm\cancel{^2}}{13{,}60\ \cancel{cm}}}$

$\ \mathrm{\overline{R_nF_n}(x)=(8{,}00-0{,}59x)\ cm}$

Berechnen der Seite $\text{a}$ des gleichseitigen Dreiecks $\text{ABC}$ :

$1$. Lösungsmöglichkeit:

Für die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $\text{a}$ gilt:

$\ \mathrm{h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\ \Rightarrow \ a=\dfrac{2\cdot h}{\sqrt{3}}}$

Höhe $\text{h}$ im Dreieck $\text{ABC}$ :$\hspace{12mm}\mathrm{h=6{,}9\cdot\sqrt{3}\ cm}$

eingesetzt in die obige Formel:$\quad \mathrm{a=\dfrac{2\cdot6{,}9\cdot\sqrt{3}\ cm}{\sqrt{3}}}$

$\ \boxed{\mathrm{a=13{,}80\ cm}}$

$\rule{12cm}{0.8mm}$

$2.$Lösungsmöglichkeit:

Da das Dreieck $\text{ADC}$ ein rechtwinkliges Dreieck ist,

kann man die Seite $\text{a}$ auch mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

$\ \mathrm{a^2=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left({6{,}9\cdot\sqrt{3}}\ cm\right)^2\Rightarrow\dfrac{3}{4}a^2=142{,}83\ cm^2}$

$\ \mathrm{a=\sqrt{\dfrac{142{,}83\cdot4}{3}}\ cm}$

$\ \mathrm{a=13{,}80\ cm}$

Berechnen des Fläche des Dreiecks $\text{ABC}$ :

$\ \mathrm{A_{ABC}=\dfrac{a\cdot\overline{CD}}{2}\Rightarrow\quad A_{ABC}=\dfrac{13{,}80\ cm\cdot 6{,}9\cdot\sqrt{3}\ cm}{2}}$

$\mathrm{A_{ABC}=82{,}46\ cm^2}$

Berechnen der Fläche des Kreissektors:

$\ \mathrm{A_{Sektor}=\dfrac{\overline{CD}^2\cdot\pi\cdot\sphericalangle{ACB}}{360^\circ}\Rightarrow A_{Sektor}=\dfrac{\left(6{,}9\cdot\sqrt{3}\ cm\right)^2\cdot\pi\cdot60^\circ}{360^\circ}}$

$\ \mathrm{A_{Sektor}=74{,}79\ cm^2}$

Flächeninhalt der grau markierten Fläche:

$\ \mathrm{A=A_{ABC}-A_{Sektor}\Rightarrow A=82{,}46-74{,}79\ [cm^2]}$

$\ \boxed{\mathrm{A=7{,}67\ cm^2}}$

Prozentualer Anteil der grau markierten Fläche $\text{A}$

am Flächeninhalt des Dreiecks $\text{ABC}$:

$\mathrm{\dfrac{A}{A_{ABC}}=\dfrac{7{,}67\ cm^2}{82{,}46\ cm^2}}=0{,}0930$

Der prozentuale Anteil der grau markierten Fläche am

Flächeninhalt des Dreiecks $\text{ABC}$ beträgt:$\quad\boxed{9{,}30\ \%}$