Nachtermin Teil A

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right):\mathrm{y}=100\cdot {\mathrm{0,915}}^{\mathrm{x}}$

$\mathrm{y}=100\cdot {\mathrm{0,915}}^1\Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{91,5}\%$

In $1\mathrm{m}$ Wassertiefe beträgt die Lichtintensität $\mathrm{91,5}\%$.

Abnahme der Lichtintensität pro Meter:

$100\%-\mathrm{91,5}\%=\mathrm{8,5}\%$

Die Lichtintensität nimmt um $\mathrm{8,5}\%$ pro Meter ab.

Anmerkung, die Pfeile brauchen bei diesem Aufgabenteil nicht eingezeichnet zu werden.

In ungefähr $8\mathrm{m}$ Wassertiefe beträgt die Lichtintensität nur noch $50\%$.

$\mathrm{y}=100\cdot {\mathrm{0,915}}^{18}\Rightarrow \mathrm{y}=100\cdot \mathrm{0,2021}$

$\mathrm{y}=\mathrm{20,21}\%$

Die Bedingungen in den beiden Seen sind nicht gleich, da:

$\mathrm{20,21}\ne 22[\%]$

Satz des Pythagoras angewandt auf die, in der Aufgabenstellung gezeigte Skizze:

${\overline{\mathrm{A}\mathrm{S}}}^2={\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}^2+{\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}}^2\Rightarrow \overline{\mathrm{A}\mathrm{S}}=\sqrt{8^2+{11}^2}\mathrm{c}\mathrm{m};\overline{\mathrm{A}\mathrm{S}}=\sqrt{185}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{S}}=\mathrm{13,60}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechnen des Maßes $\phi$des Winkels $\text{ASM}:$

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{S}\mathrm{M}}}}=\tan \mathrm{\phi }\Rightarrow \tan \mathrm{\phi }={\displaystyle \frac{8\cancel{\mathrm{c}\mathrm{m}}}{11\cancel{\mathrm{c}\mathrm{m}}}};\tan \mathrm{\phi }=\mathrm{0,7273}$

$\phi ={\mathrm{36,03}}^{\circ }$

Einzeichnen der Strecke $\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}.$

Berechnen der Strecke $\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$ mithilfe des $2.$ Strahlensatzes.

$2$. Strahlensatz angewandt auf die obige Zeichnung:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{S}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}}{\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}}}\Rightarrow \overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}\cdot \overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}}{\overline{\mathrm{S}\mathrm{M}}}}$ setze die Zahlenwerte ein.

$\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}={\displaystyle \frac{12\cdot (11-4)}{11}}{\displaystyle \frac{[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2]}{[\mathrm{c}\mathrm{m}]}}$

$\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=\mathrm{7,64}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Einzeichnen des Dreiecks $\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}{\mathrm{R}}_1}$

Kosinussatz angewandt auf die obige Zeichnung:

${\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}}^2={\overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}}^2+{\overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}}^2-2\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\sphericalangle {\mathrm{R}}_1\mathrm{S}\mathrm{D}\cdot \overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}\cdot \overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}$

$\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}=\sqrt{{\overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}}^2+{\overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}}^2-2\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\sphericalangle {\mathrm{R}}_1\mathrm{S}\mathrm{D}\cdot \overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}\cdot \overline{\mathrm{S}\mathrm{D}}}$

$\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}=\sqrt{(\mathrm{13,60}-9{)}^2+(11-4{)}^2-2\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{36,03}}^{\circ }\cdot (\mathrm{13,60}-9)\cdot (11-4)}[\mathrm{c}\mathrm{m}]$

$\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}=\sqrt{\mathrm{70,16}-2\cdot \mathrm{26,04}}[\mathrm{c}\mathrm{m}]$

$\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}=\mathrm{4,25}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechnen des Winkels $\delta$ mit dem Sinussatz.

Sinussatz angewandt auf die obige Zeichnung:

${\displaystyle \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\phi }}{\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\delta }}{\overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}}}\Rightarrow \sin \mathrm{\delta }={\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\phi }\cdot \overline{\mathrm{S}{\mathrm{R}}_1}}{\overline{\mathrm{D}{\mathrm{R}}_1}}}$

$\sin \mathrm{\delta }={\displaystyle \frac{\sin {\mathrm{36,03}}^{\circ }\cdot \mathrm{4,60}\cancel{\mathrm{c}\mathrm{m}}}{\mathrm{4,25}\cancel{\mathrm{c}\mathrm{m}}}};\sin \mathrm{\delta }=\mathrm{0,6366}$

$\mathrm{\delta }={\mathrm{39,54}}^{\circ }$

​

Einzeichnen der Höhe $\text{h}$ mit dem Höhenfußpunkt ${\mathrm{F}}_1.$

Länge der Strecken $\left[{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}\right]$ der Pyramide $\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{S}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}$in Abhängigkeit von $\text{x}$:

$1.$ Lösungsmöglichkeit:

$\sin \mathrm{\phi }={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})}{\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\mathrm{S}}}};\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\mathrm{S}}=(\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{x}<\mathrm{13,60};\in {ℝ}_{\mathrm{𝟘}}^{+}$

$\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=\sin {\mathrm{36,03}}^{\circ }\cdot (\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}\Rightarrow \overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=\mathrm{0,5882}\cdot (\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=(\mathrm{8,00}-\mathrm{0,59}\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}$

$2.$Lösungsmöglichkeit:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{S}}}{\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}}={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\mathrm{S}}}{\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}}}$$\text{2.Strahlensatz}$

$\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{8\cdot (\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}\cancel{{}^2}}{\mathrm{13,60}\cancel{\mathrm{c}\mathrm{m}}}}$

$\overline{{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=(\mathrm{8,00}-\mathrm{0,59}\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechnen der Seite $\text{a}$ des gleichseitigen Dreiecks $\text{ABC}$ :

$1$. Lösungsmöglichkeit:

Für die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $\text{a}$ gilt:

$\mathrm{h}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{a}\Rightarrow \mathrm{a}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{h}}{\sqrt{3}}}$

Höhe $\text{h}$ im Dreieck $\text{ABC}$ :$\mathrm{h}=\mathrm{6,9}\cdot \sqrt{3}\mathrm{c}\mathrm{m}$

eingesetzt in die obige Formel:$\mathrm{a}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,9}\cdot \sqrt{3}\mathrm{c}\mathrm{m}}{\sqrt{3}}}$

$\mathrm{a}=\mathrm{13,80}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$2.$Lösungsmöglichkeit:

Da das Dreieck $\text{ADC}$ ein rechtwinkliges Dreieck ist,

kann man die Seite $\text{a}$ auch mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

${\mathrm{a}}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}^2+{\left(\mathrm{6,9}\cdot \sqrt{3}\mathrm{c}\mathrm{m}\right)}^2\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{4}}{\mathrm{a}}^2=\mathrm{142,83}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

$\mathrm{a}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{142,83}\cdot 4}{3}}}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\mathrm{a}=\mathrm{13,80}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechnen des Fläche des Dreiecks $\text{ABC}$ :

${\mathrm{A}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}{2}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}={\displaystyle \frac{\mathrm{13,80}\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{6,9}\cdot \sqrt{3}\mathrm{c}\mathrm{m}}{2}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\mathrm{82,46}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Berechnen der Fläche des Kreissektors:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}}={\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \sphericalangle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}{{360}^{\circ }}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}}={\displaystyle \frac{{(\mathrm{6,9}\cdot \sqrt{3}\mathrm{c}\mathrm{m})}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot {60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}}=\mathrm{74,79}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Flächeninhalt der grau markierten Fläche:

$\mathrm{A}={\mathrm{A}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}-{\mathrm{A}}_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}}\Rightarrow \mathrm{A}=\mathrm{82,46}-\mathrm{74,79}[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2]$

$\mathrm{A}=\mathrm{7,67}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Prozentualer Anteil der grau markierten Fläche $\text{A}$

am Flächeninhalt des Dreiecks $\text{ABC}$:

${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{{\mathrm{A}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,67}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{82,46}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}}=\mathrm{0,0930}$

Der prozentuale Anteil der grau markierten Fläche am

Flächeninhalt des Dreiecks $\text{ABC}$ beträgt:$\mathrm{9,30}\%$