Exponentialgleichung

Als Exponentialgleichung bezeichnet man eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten vorkommt.

Man löst eine Exponentialgleichung hauptsächlich mithilfe des Logarithmus.

Beispiele

Exponentialgleichungen sind zum Beispiel:

$2^x\cdot3^x=15$
$2^x+5^x=3^x$
$\left(\frac12\right)^x\cdot\left(\frac12\right)^{x+2}=2^{x+3}$
$2^x=16$

Keine Exponentialgleichungen sind zum Beispiel:

$x^4=16$
$x^2+x+3=0$
$\frac1x+3\cdot\frac{4x}2=12x^2$

Lösen von Exponentialgleichungen

Um Exponentialgleichungen lösen zu können, muss man die Potenzgesetze und die Logarithmusregeln kennen. Es gibt verschiedene Lösungsstrategien zum Lösen von solchen Gleichungen, je nachdem wie die Exponentialgleichung ausschaut.

Lösung durch Exponentenvergleich

Wenn links und rechts vom Gleichheitszeichen jeweils nur eine Potenz steht und auf beiden Seiten die Basis der Potenz gleich ist, dann genügt es, wenn man nur noch die Exponenten der beiden Potenzen miteinander vergleicht.

Beispiel

Links und rechts vom Gleichheitszeichen steht jeweils eine Potenz mit der selben Basis a.

$a^{2x+1}=a^{x-7}$

Es reicht aus, nur noch die Exponenten zu vergleichen.

$2x+1=x-7$

Damit ergibt sich eine einfache, lineare Gleichung.

$\displaystyle 2x-x$	$=$	$\displaystyle -7-1$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -8$

Lösung durch Logarithmieren

Sind die Basen der Potenzen, in denen die Variable als Exponent auftaucht, unterschiedlich, muss man sich dem Logarithmus als Werkzeug bedienen.

Man versucht die Gleichung mithilfe der Potenzgesetze so umzuformen, dass man dann den Logarithmus anwenden kann, um die Gleichung exponentenfrei zu schreiben. Zu welcher Basis man den Logarithmus wählt ist im Grunde egal, es empfiehlt sich aber eine Basis zu wählen, mit der man im Taschenrechner leicht rechnen kann (also meistens lg oder ln)

Beispiel

$\displaystyle 6^{x+2}-3^x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + 3^x$
	↓	Da die Basen unterschiedlich sind, muss man die Gleichung so umformen, dass man den Logarithmus sinnvoll anwenden kann.
$\displaystyle 6^{x+2}$	$=$	$\displaystyle 3^x$	$\displaystyle \lg()$
	↓	Jetzt kann man auf der linken sowie auf der rechten Seite den Logarithmus anwenden. (Hier den Logarithmus zur Basis 10: $\lg$ )
$\displaystyle \lg(6^{x+2})$	$=$	$\displaystyle \lg(3^x)$
	↓	Nun kann man mit den Logarithmusregeln die Gleichung zu einer linearen Gleichung umformen.
$\displaystyle (x+2)\cdot \lg(6)$	$=$	$\displaystyle x \cdot \lg(3)$
	↓	Diese Gleichung kann man wieder leicht lösen. ( $\lg(6)$ und $\lg(3)$ sind ja normale (reelle) Zahlen.)
$\displaystyle x \cdot \lg(6) + 2 \cdot \lg(6)$	$=$	$\displaystyle x \cdot \lg(3)$	$\displaystyle -x\cdot\lg(3)-2\cdot\lg(6)$
$\displaystyle x\cdot \lg(6) - x\cdot \lg(3)$	$=$	$\displaystyle -2\cdot \lg(6)$
$\displaystyle x\cdot(\lg(6)-\lg(3))$	$=$	$\displaystyle -2\cdot \lg(6)$	$\displaystyle \colon (\lg(6) - \lg(3))$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-2\cdot \lg(6)}{\lg(6)-\lg(3)}$
	↓	Logarithmusgesetze anwenden.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-\lg(6^2)}{\lg(\frac{6}{3})}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-\lg(36)}{\lg(2)}$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle -5{,}1699$

Die Schwierigkeit liegt bei vielen solchen Aufgaben darin, die Gleichung so umzuformen, dass man sie sinnvoll logarithmieren kann. Dazu bedarf es der Kenntnis der Potenzgesetze.

Beispielaufgabe

$\displaystyle 8^{2x-1}+8^{2x+1}$	$=$	$\displaystyle 3^{3x-2}+3^{3x+2}$
	↓	Mithilfe der Potenzgesetze umformen und alle $x$ auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 8^{2x}\cdot8^{-1}+8^{2x}\cdot8^1$	$=$	$\displaystyle 3^{3x}\cdot3^{-2}+3^{3x}\cdot3^2$
$\displaystyle 8^{2x}\cdot\left(\frac18+8\right)$	$=$	$\displaystyle 3^{3x}\cdot\left(\frac1{3^2}+3^2\right)$
$\displaystyle \frac{8^{2x}}{3^{3x}}$	$=$	$\displaystyle \frac{{\frac19+9}}{{\frac18+8}}$
$\displaystyle \left(\frac{8^2}{3^3}\right)^x$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{82}9}{\frac{65}8}$	$\displaystyle \ln()$
	↓	Auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden und mithilfe der Logarithmusregeln nach $x$ auflösen.
$\displaystyle \ln\left(\left(\frac{8^2}{3^3}\right)^x\right)$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\frac{82\cdot8}{65\cdot9}\right)$
$\displaystyle x\cdot\ln\frac{64}{27}$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\frac{82\cdot8}{65\cdot9}\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln\left(\frac{82\cdot8}{65\cdot9}\right)}{\ln\frac{64}{27}}$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 0{,}1327$

Lösung mittels Substitution

Kommt in der Exponentialgleichung nur eine Basis vor, die aber unterschiedliche Potenzen hat, kann man eine Substitution (=Ersetzung) durchführen. Man ersetzt dabei die Basis mit der Variablen durch eine neue Variable. So erhält man eine Gleichung, die keine Variable im Exponenten mehr hat, also zu einer Potenzgleichung wird. Hat man diese vereinfachte Gleichung gelöst, muss man wieder zurücksubstituieren, um die richtige Lösung zu erhalten.

Beispiel:

$\displaystyle 5^{2x}-5^{x+1}+4$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(5^x\right)^2-\left(5^x\cdot5\right)+4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Es kommt nur die Basis 5 vor, aber mit unterschiedlichen Exponenten. Man kann nun $5^x$ mit $u$ ersetzen.
$\displaystyle u^2 - 5\cdot u + 4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Nun kann man die Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen ("Mitternachtsformel") anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\left(-5\right)\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot4}}2$
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-16}}2$
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm3}2$

Also $u_1 = 4$ und $u_2 = 1$ .

Jetzt muss man noch zurücksubstituieren, damit man auf die gesuchten $x$ -Werte kommt. Also die Gleichung $u=5^x$ nach $x$ auflösen:
	↓
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle 5^x$	$\displaystyle \ln()$
$\displaystyle \ln(u)$	$=$	$\displaystyle x\cdot \ln(5)$	$\displaystyle \colon \ln(5)$
$\displaystyle \frac{\ln(u)}{\ln(5)}$	$=$	$\displaystyle x$

Setzt man nun $u_1$ und $u_2$ ein, hat man die Gleichung gelöst:

$x_1=\frac{\ln\;u_1}{\ln\;5}=\frac{\ln\;4}{\ln\;5}=0{,}8613$ und

$x_2=\frac{\ln\;u_2}{\ln\;5}=\frac{\ln\;1}{\ln\;5}=0$

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