Teil B-Aufgabengruppe I - lernen mit Serlo!

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Geben Sie die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermitteln Sie rechnerisch die Lösungsmenge.

$\hspace{25mm}\mathrm{\dfrac{x}{2}+\dfrac{x+7}{2x-4}=\dfrac{6\cdot(x-2)}{16}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen

Die Definitionsmenge lautet: D= $\mathbb{R}$ \ { $2$ }, da kein Nenner $0$ werden darf.

$\displaystyle \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+7}{2x-4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\cdot(x-2)}{16}$	$\displaystyle 2\cdot (2x-4)\cdot 16$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner und kürze
$\displaystyle x\cdot (2x-4)\cdot 16+(x+7)\cdot 2\cdot 16$	$=$	$\displaystyle 6\cdot (x-2)\cdot 2\cdot(2x-4)$
	↓	Multipliziere die Klammen aus
$\displaystyle 32x^2-64x+32x+224$	$=$	$\displaystyle (12x-24)\cdot(2x-4)$
	↓	Multiplizire die Klammen aus und fasse zusammen
$\displaystyle 32x^2-32x+224$	$=$	$\displaystyle 24x^2-48x-48x+96$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 8x^2+64x+128$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :8$
	↓	dividiere
$\displaystyle x^2+8x+16$	$=$	$\displaystyle 0$

Mitternachtsformel: $x_{1{,}2}=\dfrac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot 1\cdot 16}}{2}=\dfrac{-8}{2}$

$x = - 4$

$\mathbb{L}=\{-4\}$

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Für die Definitionsmenge: Untersuche für welche Werte von $x$ im Nenner $0$ stehen würde.
Ermittle den Hauptnenner und vereinfache das Gleichungssystem soweit wie möglich.
Berechne die Lösung mit Hilfe der Mitternachtsformel.