Teil B-Aufgabengruppe I

$p_1: y=x^2+11x+31{,}25$

$\mathrm{p1:y=(x+5{,}5)^2+1}$

$P(-3|4)$ einsetzen: $y=(-3+5{,}5)^2+1=2{,}5^2+1=6{,}25+1=7{,}25$

$4\neq 7{,}5$ $\Rightarrow$ Der Punkt $P$ liegt nicht auf der Parabel $p_1$.

$Q(0{,}5|37)$ einsetzen: $y=(0{,}5+5{,}5)^2+1=36+1=37$

$37=37$ $\Rightarrow$ Der Punkt $Q$ liegt auf der Parabel $p_1$.

$y=−x^2−9x−14{,}25$

$y=−(x^2+9x+14{,}25)$

Suche die richtige binoische Formel.

$y=−(x+4{,}5)^2+6$

Die Scheitelpunktform lautet $p_2$: $y=−(x^2+4{,}5)+6.$

Der Scheitelpunkt $S_2(-4{,}5|6).$

Mitternachtsformel: $x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot 22{,}75}}{2}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-10\pm\sqrt{100-91}}{2}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-10\pm3}{2}$

$x_1=-6{,}5$

$\Rightarrow y_1=(-6{,}5)^2+11\cdot(-6{,}5)+31{,}25=42{,}25-71{,}5+31{,}25=73{,}5-71{,}5=2$

$x_2=-3{,}5$

$y_2=(-3{,}5)^2+11\cdot(-3{,}5)+31{,}25=12{,}25-38{,}5+31{,}25=43{,}5-38{,}5=5$

$x_1=-6{,}5;$ $y_1=2$

$x_2=-3{,}5$; $y_2=5$

Der Scheitelpunkt der nach unten geöffnete Parabel $p_3$ liegt im 3. Quadranten.

1. Spiegelung an der x-Achse: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt im 2. Quadranten. Die Parabel ist jetzt nach oben geöffnet.

2. Spiegelung an der y-Achse: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt im 1. Quadranten. Die Parabel bleibt nach oben geöffnet.

Allgemeine Geradengleichung: $g_1(x)=m_1 \cdot x+t_1$

$m$ bezeichnet die Steigung der Geraden und $t$ den Achsenabschnitt.

Steigung berechnen

Berechne zunächst die Steigung: $m=\frac{b_2-a_2}{b_1- a_1}$.

$m_1=\frac{3-(-4{,}5)}{4-(-1)}=\frac{7{,}5}{5}=1{,}5$

$g_1(x)=1{,}5\cdot x+t_1$

y-Achsenabschnitt $b$ bestimmen

Setze nun z.B. den Punkt $B(4|3)$ in die Gleichung ein.

$3=1{,}5\cdot(4)+t_1$

$t_1=3-6=-3$

$\boxed{g_1(x)=1{,}5\cdot x-3}$

$g_3: y=2x+5$

$m_2=-\dfrac{1}{m_3}$

$m_2=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5$

Wähle einen beliebigen Achsenabschnitt für $g_2$, z.B. $t_2=2$.

$g_2: y=-0{,}5+2$

Zusammenfassung:

Umformung der Geraden $g_3$, durch Division durch 0,5. Bestimmung der Steigung mit Hilfe der Steigung von $g_3$. Wahl eines Achsenabschnitts. Aufstellung der Gleichung in der Normalform.

$g_4$: $y=2x+4$

Setze die Geradengleichung 0.

$0=2x+4$

$x=-2$

$N_4(-2|0)$

Die beiden Geraden schneiden sich, weil sie nicht parallel sind.

$g1: y = 1{,}5x − 3$

$m=\tan(\alpha)$

$1{,}5=\tan(\alpha)$

$\alpha=\tan^{-1}\left(1{,}5\right)$

$\alpha \approx 56°$

$O=4\cdot \pi\cdot r^2$

$r=1{,}5$

$O=4\cdot 3{,}14\cdot(1{,}5)^2$

$O=4\cdot 3{,}14\cdot 2{,}25=28{,}26$

Der Oberflächeninhalt der Kugel beträgt $28{,}26m^2$.

$V=\dfrac43 \cdot \pi \cdot r^3$

Volumen der gesamten Kugel:

$r=1{,}5$

$V_{gesamt}=\dfrac43 \cdot \pi \cdot 1{,}5^3\approx14{,}14$

Volumen des Hohlraums im Inneren der Kugel:

$r=1{,}5-0{,}064=1{,}436$

$V_{innen}=\dfrac43 \cdot \pi \cdot 1{,}436^3\approx 12{,}40$

Volumen der Holzwand:

$V_{Holz}=V_{gesamt}-V_{innen}\approx 1{,}74$

Berechne nun die Masse:

$m\approx 1{,}74\cdot 755\approx 1313{,}7$

Die Masse der Hohlkugel beträgt $1313{,}7~kg$.

$K_n=K_0\cdot\left(1+ p\right)^n$

$K_4=1000\cdot\left(1+ 0{,}049\right)^4$

$K_4=1000\cdot\left(1{,}049\right)^4$

$K_4\approx 1210{,}88$

Die Höhe des Kapitals beträgt nach einem Anlagezeitraum von 4 Jahren rund $1210{,}88$ €.

Das Kapital mit dem Dreifachen vom Kapital gleichgesetzt.

$3000=1000\cdot (1{,}049)^n$

$3=1{,}049^n$

$n=\log_{1{,}049}(3)$

$n\approx23$

Nach etwa $23$ Jahren hat sich das Kapital in Höhe von $1000$ € bei einem Zinssatz von $4{,}9\%$ verdreifacht.

Es gilt: $q=1+p$

$p$ ist der Zinssatz und $q$ der Faktor, der jährlich auf das Kapital gerechnet wird.

$1160=1000\cdot(q)^5$

$q=\sqrt[5]{\dfrac{1160}{1000}}$

$q\approx1{,}0301$

$p=1{,}0301-1$

$p=3{,}01\%$

Der jährliche Zinssatz beträg $3{,}01\%$, wenn das Kapital von $1000$ € innerhalb von fünf Jahren auf $1160$ € anwächst.

$\text{relative Häufigkeit}= \dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$

Die ersten beiden Kugeln sind rot: $\dfrac{7}{12}\cdot \dfrac{6}{11}$

Die ersten beiden Kugeln sind grün: $\dfrac{4}{12}\cdot\dfrac{3}{11}$

$\Rightarrow$ $\dfrac{7}{12}\cdot \dfrac{6}{11}+\dfrac{4}{12}\cdot\dfrac{3}{11}=\dfrac{9}{22}$

$P\approx 40{,}9\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Kugeln die selbe Farbe haben beträgt etwa $40{,}9\%$.

Insgesamt gibt es 12 Kugeln, davon sind 11 entweder rot oder grün. Es ist also möglich, dass die ersten 10 Kugeln rot oder grün sind und die elfte Kugel blau ist.