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Zinsrechnung

Wenn du Geld auf die Bank bringst, erhältst du dafür Zinsen: Das ist ein kleiner Geldbetrag, den die Bank dir dafür zahlt, dass du ihr das Geld leihst. Die Zinsen sind umso höher, je mehr Geld du eingezahlt hast. Die Höhe der Zinsen berechnet die Bank mithilfe eines festgelegten Prozentsatzes, des sogenannten Zinssatzes. Der Zinssatz bezieht sich meistens auf ein Jahr und die so entstehenden Zinsen werden als Jahreszinsen bezeichnet. Das Geld, das du auf die Bank gebracht hast, ist der Grundwert und wird als Kapital bezeichnet.

Die Zinsrechnung ist also nur eine Anwendung der Prozentrechnung. Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert haben hier einen speziellen Namen, da es um Geldbeträge geht.

Begriff aus Prozentrechnung

Begriff aus Zinsrechnung

Prozentwert W

Zinsen Z

Prozentsatz p

Zinssatz p

Grundwert G

Kapital K

W=pG

Z=pK

Zinsen

Der Gewinn durch Verzinsung mit dem Zinssatz p auf das eingesetzte Kapital K nach einem Jahr wird mit der Formel

Z=pK

berechnet.

Beispiel

Der Zinssatz ist 3% pro Jahr und das Kapital 2000. Wie groß ist der Gewinn durch Zinsen nach einem Jahr?

Gegeben:

Kapital K=2000 Zinssatz p=3%

Gesucht:

Zinsen Z

Z=pK

Z=3%2000

Z=0,032000

Z=60

Der Gewinn durch Zinsen beträgt 60.

(Nach einem Jahr beträgt das Kapital von 2000 somit 2000+60=2060.)

Zinseszins

Von Zinseszins spricht man, wenn die bereits ausgezahlten Zinsen weiter verzinst werden. Das ist dann der Fall, wenn die Dauer der Anlage das Verzinsungsintervall überschreitet. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man jährlich Zinsen erhält und man das Geld für mehrere Jahre anlegt.

K0(1+p)K1(1+p)K2(1+p)K3(1+p)(1+p)Kn1(1+p)Kn

In jedem Jahr multipliziert sich das Kapital also mit dem Faktor (1+p), das heißt, nach n Jahren wird das Ausgangskapital mit dem Faktor (1+p)n multipliziert. Der Gewinn durch Zinseszins nach n Verzinsungsintervallen mit dem Zinssatz p auf das ursprünglich eingesetzte Kapital K0 wird also mit der Formel

Kn=K0(1+p)n

berechnet.

Beispiel

Im oberen Beispiel macht der Anleger im ersten Jahr 60 Gewinn durch Zinsen. Dieser Gewinn wird nach einem Jahr auf dem Konto gutgeschrieben. Im zweiten Jahr erhöht sich damit das eingezahlte Kapital automatisch auf 2060.

Wie groß ist also der Gewinn nach fünf Jahren?

Gegeben: Kapital K0=2000 Prozentsatz p=3% Laufzeit 5 Jahre

Gesucht: Zinsen nach 5 Jahren

Benutze die Formel  Kn=K0(1+p)n  mit  n=5 .

K5=2000(1+3%)5

Schreibe 3% als Dezimalzahl und addiere.

=2000(1,03)5

Berechne 1,035

20001,15927
=2318,55

Der Gesamtgewinn ist die Differenz K5K0

K5K0=2318,552000=318,55

Übungsaufgaben Zinsrechnung

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Aufgaben zur Zinsrechnung

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