Zinsrechnung

Wenn du Geld auf die Bank bringst, erhältst du dafür Zinsen: Das ist ein kleiner Geldbetrag, den die Bank dir dafür zahlt, dass du ihr das Geld leihst. Die Zinsen sind umso höher, je mehr Geld du eingezahlt hast. Die Höhe der Zinsen berechnet die Bank mithilfe eines festgelegten Prozentsatzes, des sogenannten Zinssatzes. Der Zinssatz bezieht sich meistens auf ein Jahr und die so entstehenden Zinsen werden als Jahreszinsen bezeichnet. Das Geld, das du auf die Bank gebracht hast, ist der Grundwert und wird als Kapital bezeichnet.

Die Zinsrechnung ist also nur eine Anwendung der Prozentrechnung. Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert haben hier einen speziellen Namen, da es um Geldbeträge geht.

Begriff aus Prozentrechnung	Begriff aus Zinsrechnung
Prozentwert $W$	Zinsen $Z$
Prozentsatz $p$	Zinssatz $p$
Grundwert $G$	Kapital $K$
$W=p\cdot G$	$Z=p\cdot K$

Zinsen

Der Gewinn durch Verzinsung mit dem Zinssatz $p$ auf das eingesetzte Kapital $K$ nach einem Jahr wird mit der Formel

\displaystyle Z=p\cdot K

berechnet.

Beispiel

Der Zinssatz ist $3 %$ pro Jahr und das Kapital $2000\,€$ . Wie groß ist der Gewinn durch Zinsen nach einem Jahr?

Gegeben:

Kapital $K=2000\,€$ Zinssatz $p = 3 %$

Gesucht:

Zinsen $Z$

$Z=p\cdot K$

$Z=3\,\% \cdot 2000\,€$

$Z= 0{,}03 \cdot 2000\,€$

$Z =60\,€$

Der Gewinn durch Zinsen beträgt $60 €$ .

(Nach einem Jahr beträgt das Kapital von $2000\,€$ somit $2000\,€+60\,€ = 2060\,€$ .)

Zinseszins

Von Zinseszins spricht man, wenn die bereits ausgezahlten Zinsen weiter verzinst werden. Das ist dann der Fall, wenn die Dauer der Anlage das Verzinsungsintervall überschreitet. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man jährlich Zinsen erhält und man das Geld für mehrere Jahre anlegt.

\displaystyle K_0 \xrightarrow{\cdot (1+p)} K_1 \xrightarrow{\cdot (1+p)} K_2 \xrightarrow{\cdot (1+p)} K_3 \xrightarrow{\cdot (1+p)} \cdots \xrightarrow{\cdot (1+p)} K_{n-1} \xrightarrow{\cdot (1+p)} K_n

In jedem Jahr multipliziert sich das Kapital also mit dem Faktor $(1 + p)$ , das heißt, nach $n$ Jahren wird das Ausgangskapital mit dem Faktor $(1 + p)^{n}$ multipliziert. Der Gewinn durch Zinseszins nach $n$ Verzinsungsintervallen mit dem Zinssatz $p$ auf das ursprünglich eingesetzte Kapital $K_{0}$ wird also mit der Formel

\displaystyle K_n=K_0\cdot\left(1+ p\right)^n

berechnet.

Beispiel

Im oberen Beispiel macht der Anleger im ersten Jahr $60 €$ Gewinn durch Zinsen. Dieser Gewinn wird nach einem Jahr auf dem Konto gutgeschrieben. Im zweiten Jahr erhöht sich damit das eingezahlte Kapital automatisch auf $2060\,€$ .

Wie groß ist also der Gewinn nach fünf Jahren?

Gegeben: Kapital $K_0=2000\,€$ Prozentsatz $p = 3 %$ Laufzeit $5$ Jahre

Gesucht: Zinsen nach 5 Jahren

Benutze die Formel $K_n=K_0\cdot\left(1+ p\right)^n$ mit $n = 5$ .

$\displaystyle K_5$	$=$	$\displaystyle 2000\,€\cdot\left(1+3\,\%\right)^5$
	↓	Schreibe 3% als Dezimalzahl und addiere.
	$=$	$\displaystyle 2000\,€\cdot\left(1{,}03\right)^5$
	↓	Berechne $1{,}03^5$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 2000\,€\cdot1{,}15927$
	$=$	$\displaystyle 2318{,}55\,€$

Der Gesamtgewinn ist die Differenz $K_{5} - K_{0}$

$K_5-K_0=2318{,}55\,€-2000\,€=318{,}55\,€$

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