Aufgaben zur Zinsrechnung

Anmerkung: Diese Lösungsskizze rechnet ohne Einheiten.

Aufteilung des Kapitals

Berechnung des "Rests", indem man das erste Drittel und das Neuntel von 1 (gesamter Zinsertrag)

$1-\frac13-\frac19=$

$\frac13$ mit 3 erweitern und 1 als $\frac99$ schreiben

$=1-\frac39-\frac19=$

Subtraktion

$=\frac59$

$x = Kapital$

Prozentsätze als Brüche schreiben

$\frac13\cdot x\cdot\frac5{100}+\frac19\cdot x\cdot\frac4{100}+\frac59\cdot x\cdot\frac{4{,}5}{100}=2282{,}5$

x ausklammern

$x\left(\frac13\cdot\frac5{100}+\frac19\cdot\frac4{100}+\frac59\cdot\frac{4{,}5}{100}\right)=2282{,}5$

Multiplikation, Dezimalbruch umwandeln, gemeinsamer Nenner

Klammer ausrechnen

$\frac{415}{9000}\ast\;x=2282{,}5$

Bruch auflösen

$x=\frac{2282{,}5\;\ast\;9000}{415}\textstyle\;=\;49500{,}00€$

Gegeben

• Hypothek $K = 150000\,€$

• Zinssatz $p_Z=6\%$

• Tilgung $p_T=1\%$

Gesucht: Kosten für Familie Koch pro Montag.

Die Zinsen fallen jedes Jahr für das Geld an, das Familie Koch noch zurückzahlen muss. Die Tilgung ist der Anteil, den Familie Koch jedes Jahr von der Hypothek abbezahlen muss. Die Schulden werden also jedes Jahr um den Teil der Tilgung kleiner.

Berechne deswegen nacheinander die Zinsen und die Tilgung für die Jahre

1. Jahr

• Zinsen: $K \cdot p_Z = 150000\,€ \cdot 6\% = 9000\,€$

• Tilgung: $K \cdot 1\% = 1500$

Familie Koch zahlt also 1500 Euro zurück und 9000 Euro Zinsen, also zusammen ${10500 €}{1\, \text{Jahr}} = \frac{10500 €}{12 \, \text{Monate}} = 875 \frac{€}{\text{Monat}}$ Der neue Kredit für das Jahr 2 reduziert sich um die Tilgung und beträgt nun $K_2 = 150000\,€ - 1500\, € = 148500\,€$.

2. Jahr

• Zinsen: $K_2 \cdot p_Z = 148500\,€ \cdot 6\% = 8910\,€$

• Tilgung: $K_2 \cdot 1\% = 1485$

Familie Koch zahlt also 1485 Euro zurück und 8910 Euro Zinsen, also zusammen ${10395 €}{1\, \text{Jahr}} = \frac{10395 €}{12 \, \text{Monate}} = 866{,}25 \frac{€}{\text{Monat}}$ Der neue Kredit für das Jahr 3 reduziert sich um die Tilgung und beträgt nun $K_3 = 148500\,€ - 1485\, € = 147015\,€$.

3. Jahr

• Zinsen: $K_3 \cdot p_Z = 147015\,€ \cdot 6\% = 8820\,€$

• Tilgung: $K_3 \cdot 1\% = 1470{,}20$

Familie Koch zahlt also 1470,20 Euro zurück und 8820 Euro Zinsen, also zusammen ${10500 €}{1\, \text{Jahr}} = \frac{10500 €}{12 \, \text{Monate}} = 857{,}60 \frac{€}{\text{Monat}}$ Der neue Kredit für das Jahr 2 reduziert sich um die Tilgung und beträgt nun $K_4 = 147015\,€ - 1470{,}20\, € = 145545\,€$.

und so weiter…

genauso berechnest du auch noch das 4. und 5. Jahr. Dabei ergibt sich:Im 4. Jahr zahlt Familie Koch $849 \frac{€}{\text{Monat}}$ und im 5. Jahr $841 \frac{€}{\text{Monat}}$. Danach hat Familie Koch noch $142649€$ Restkredit.

Antwort

Familie Koch hat in den ersten 5 Jahren monatlich folgende Gebühren

Gegeben:

Kapital K = 13750 €

Zinsen Z = $\textcolor{009999}{15531{,}25} \,€ - \textcolor{ff6600}{13750}\,€= \textcolor{660099} {1581{,}25}\,€$

Gesucht:

Zinssatz: $p=\dfrac ZK\cdot100\%$

Der Zinssatz betrug 11,5%.

$\;\;\;\;\Rightarrow\;\;$ Das Darlehn wurde nach 42 Monaten (3,5 Jahren) abgelöst.

Kapital K = 42500 €

Zinssatz p = 6,5%

Zinsen Z = 552,50 €

Gesucht ist die Zeit, für die das Geld angelegt wurde:

$Z=K\cdot\frac p{100\%\cdot360\;\mathrm{Tage}}\cdot t\Rightarrow t=\frac Z{K\cdot p}\cdot100\%\cdot360\,\mathrm{Tage}$

Das Kapital war 2 Monate und 12 Tage angelegt.

Zinssatz p = $8{,}5$%

monatliche Zahlung $637{,}50\ €$

jährliche Zahlung Z = $12\cdot637{,}50\,€=7650\,€$

Gesucht ist das Kapital (Hypothek): $K=\frac Zp\cdot100\%$

Die Hypothek beträgt 90000 €.

Berechnung der Tageszinsen

Nach 9 Monaten und 10 Tagen belaufen sich die anfallenden Zinsen auf 1312,50 €.

Alternative Berechnung der Tageszinen mit Dreisatz

Nach 9 Monaten und 10 Tagen belaufen sich die anfallenden Zinsen auf 1312,50 €.

$1762{,}5=36000\cdot0{,}055\cdot\frac x{12}+36000\cdot0{,}05\cdot\frac{11-x}{12}=165\cdot x+150\cdot(11-x)=15\cdot x+1650$

Also fand die Zinssenkung nach 7,5 Monaten statt.

Der Verkäufer leiht dem Käufer $15600:2=7800$ Euro für ein halbes Jahr und verlangt dafür eine "Gebühr" von 400 Euro.

Somit beträgt der Jahreszinssatz $2\cdot\frac{400}{7800}\cdot100\%=\frac4{39}\cdot100\%\approx10{,}256\%$.

Berechnung des Startkapitals

$\;\;\;\;\Rightarrow\;\;$ Es müssen ca. 9709 Euro angelegt werden.

Alternative Berechnung des Startkapitals mit Dreisatz

$\;\;\;\;\Rightarrow\;\;$ Es müssen ca. 9709 Euro angelegt werden.

Gegeben: Bank A: 8% Zinsen pro Jahr Bank B: 4% Zinsen pro halbes Jahr

Gefragt:

Bei welcher Bank wäre am Ende des Jahres mehr Geld auf dem Konto?

Bei Bank A gib es pro Jahr 8% Zinsen. Nach einem Jahr sind also 108% des Startkapitals auf dem Konto.

Bei Bank B hingegen gibt es 4% Zinsen im ersten halben Jahr. Nach einem halben Jahr sind 104% des Startkapitals auf dem Konto. Auf diese 104% gibt es im zweiten halben Jahr erneut 4%. Nach einem weiteren halben Jahr sind 104% des Zwischenkapitals auf dem Konto.

Nach einem Jahr steigt das Kapital somit um: $1{,}04 \cdot 1{,}04 = 1{,}0816$

Am Ende des Jahres sind also 108,16% des Startkapitals auf dem Konto.

$\Rightarrow$ Bei Bank B kommen im ersten Jahr 8,16% des Startkapitals dazu. Bei Bank A nur 8%.

$\Rightarrow$ Bank B ist also besser als Bank A.

Alternative Begründung anhand eines Beispiels

Gehe von einem Kapital von 1 000 Euro aus.

Gegeben: Bank A: 8% Zinsen pro Jahr; Bank B: 4% Zinsen pro halbes Jahr

Gesucht: Kapital nach einem Jahr

Bank A:

Ergebnis

Während du bei Bank A lediglich 80 € erhältst, sind es bei Bank 81,6 €. Also fährst du als Kunde bei Bank B besser.

Alternative Begründung anhand eines Beispiels mit Dreisatz

Bank A:

Bank B:

Ergebnis

Während du bei Bank A lediglich 80 € erhältst, sind es bei Bank 81,6 €. Also fährst du als Kunde bei Bank B besser.

Berechnung des Kapitals

Vor 5 Jahren betrug das angelegte Kapital 35000 €.

Alternative Lösung mit dem Dreisatz

Vor 5 Jahren betrug das angelegte Kapital 35000 €.

Hier wird die Aufgabe gelöst, indem mit einem unbekannten Kapital K gerechnet wird. Du kannst aber auch einen Betrag (z.B. 100 €) als Kapital wählen und damit die Aufgabe lösen.

Erste Variante (2 Jahre mit 3% Zinsen)

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_\text1 = 3\%\, ;\, p_\text2 = 3\%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr:

${K^+} = K \cdot (1 + p_\text1)$

Setze den Zinssatz ein und berechne:

${K_{3\%}^+} = K \cdot (1 + 0{,}03)$ ${K_{3\%}^+} = K \cdot 1{,}03$

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert ${K_{3\%}^+}$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

${K_{3\% \cdot 3\%}^+} = {K_{3\%}^+} \cdot (1 + p_\text2)$

Setzte den neuen vermehrten Grundwert ${K_{3\%}^+}$ ein.

$K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}03 \cdot (1 + p_\text2)$

Setze den Zinssatz ein und berechne.

$K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}03 \cdot (1 + 0{,}03)$$K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}03$$K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}0609$

Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.

Alternative Berechnung mit Dreisatz

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_\text1 = 3\%\, ;\, p_\text2 = 3\%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun mit dem Dreisatz den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert ${K_{3\%}^+}$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}03$

$K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}0609$

Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.

Zweite Variante (erstes Jahr 4%, zweites Jahr 2%)

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert /vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_\text1 = 4\%\, ;\, p_\text2 = 2\%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

$K^+ = K \cdot (1 + p_\text1)$

Setze den Zinssatz ein und berechne.

$K_{4\%}^+ = K \cdot (1 + 0{,}04)$ $K_{4\%}^+ = K \cdot 1{,}04$

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{4\%}^+$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{4\% \cdot 2\%} ^+ = K_{4\%}^+ \cdot (1 + p_2)$

Setzte den neuen vermehrten Grundwert ${K_{4\%}^+}$ ein.

$K_{4\% \cdot 2\%} ^+ = K \cdot 1{,}04 \cdot (1 + p_2)$

Setze den Zinssatz ein und brechne.

$K_{4\% \cdot 2\%} ^+ = K \cdot 1{,}04 \cdot (1 + 0{,}02)$$K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1{,}04 \cdot 1{,}02$$K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1{,}0608$

Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.

Alternative Berechnung mit Dreisatz

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_\text1 = 4\%\, ;\, p_\text2 = 2\%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun mit dem Dreisatz den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert ${K_{4\%}^+}$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1{,}04 \cdot 1{,}02$

$K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1{,}0608$

Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.

Stelle zunächst fest, was gegeben und was gesucht ist.

Antwort: Es werden $70\,000\,000\,\text{SEK}$ für Feierlichkeiten und Organisation ausgegeben.

Alternative Berechnung der Verwaltungsausgaben über den Dreisatz

Stelle zunächst fest, was gegeben und was gesucht ist.

Antwort: Es werden $70\,000\,000\,\text{SEK}$ für Feierlichkeiten und Organisation ausgegeben.

Stelle zunächst fest, was gegeben und was gesucht ist.

Antwort: Aus dem einen Euro würden über die 2000 Jahre ungefähr 158,6 Billiarden Euro werden.

Berechnung des vermehrten Kapitals des zweiten Angebots

$K^+ = 700\,€ + 35\,€ = 735 \,€$

Antwort: Beim ersten Angebot muss Karl 750 € und beim zweiten Angebot nur 735 € zahlen. Das zweite Angebot ist für Karl günstiger.

Alternative Berechnung über den Dreisatz

$K^+ = 700\,€ + 35\,€ = 735 \,€$

Antwort: Beim ersten Angebot muss Karl 750 € und beim zweiten Angebot nur 735 € zahlen. Das zweite Angebot ist für Karl günstiger.

Man spricht von einer Veränderung von x Prozent, wenn sich der Grundwert um einen Prozentsatz x verändert.

Dabei entspricht dann der Grundwert 100% und der veränderte Grundwert (100+x)% bei einer Vermehrung bzw (100-x)%, wenn es sich um eine Verminderung handelt.

Zum Beispiel könnte der Grundwert 50 sein und um 25% erhöht werden. Dh er wird um ein Viertel auf 62,5 erhöht.

Bei einer Veränderung in Prozentpunkten ist ein Anfangswert gegeben, der einer beliebigen Prozentzahl entsprechen kann (nicht unbedingt 100) und du erhöhst oder verminderst diesen Wert um diese Zahl.

Im Beispiel von oben könnte nun der Anfangswert wieder 50 sein und diesmal nicht 100% sondern 25% entsprechen. Eine Vermehrung um 25 Prozentpunkte bedeutet dann eine Vermehrung auf 50% und somit eine Verdopplung. Der Anfangswert würde dann auf 100 erhöht.

Der eigentliche Unterschied zwischen beiden Varianten ist also, dass bei der Veränderung in Prozentpunkten der Ausgangswert nicht unbedingt 100% entsprechen muss. Tut er das aber, so sind beide Bezeichnungen gleichbedeutend.

Also sind Prozentpunkte und Prozent genau dann das gleiche, wenn der Ausgangswert 100% entspricht.

Tipp: Überlege dir, was gegeben und gesucht ist.Berechne für das erste Jahr (nach der Abhebung) die Zinsen und den neuen Kontostand. Wiederhole es für das zweite Jahr. Erstelle eine Wertetabelle für alle 10 Jahre.

Wechselspiel von Zinsen und Abhebung

Gegeben:

Anfangskontostand: $K_{Anfang}=5000~€$

Zinssatz: $p=1 \%$

Zinsen: $Z=p \cdot K$

Abhebungen: $a_{Jahr 1} =10~€ ~;~ a_{Jahr 2}=20~€ ~; ~…$

Berechne den Kontostand nach den ersten beiden Jahren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}K_{Jahr 1} &=& \left( K_{Anfang} - a_{Jahr1} \right) \cdot \left( 1 + p \right)\\&=& \left( 5000~€ - 10~€ \right) \cdot \left( 1+ 1 \% \right) \\&=& 5039{,}90~€\end{array}$

Überlege dir eine allgemeine Formel, um die Zinsen für das nächste Jahr zu berechnen.

$K_{Jahr} = \left( K_{Vorjahr}-a_{Jahr} \right) \cdot \left( 1+ p \right)$

Erstelle die Wertetabelle für alle 10 Jahre.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|r|r} \bf{Jahr} & K_{Vorjahr} & a_{Jahr} & Z& \bf{K_{Jahr}} \\ \hline \bf{1} & 5000{,}00~€ & 10~€ & 49{,}90~€ & \bf{5039{,}90~€} \\ \bf{2} & 5039{,}90~€ & 20~€ & 50{,}20~€ & \bf{5070{,}10~€} \\ \bf{3} & 5070{,}10~€ & 30~€ & 50{,}40~€ & \bf{5090{,}50~€} \\ \bf{4} & 5090{,}50~€ & 40~€ & 50{,}50~€ & \bf{5101{,}00~€} \\ \bf{5} & 5101{,}00~€ & 50~€ & 50{,}51~€ & \bf{5101{,}52~€} \\ \bf{6} & 5101{,}52~€ & 60~€ & 50{,}42~€ & \bf{5091{,}93~€} \\ \bf{7} & 5091{,}93~€ & 70~€ & 50{,}22~€ & \bf{5072{,}15~€} \\ \bf{8} & 5072{,}15~€ & 80~€ & 49{,}92~€ & \bf{5042{,}07~€} \\ \bf{9} & 5042{,}07~€ & 90~€ & 49{,}52~€ & \bf{5001{,}59~€} \\ \bf{10} & 5001{,}59~€ & 100~€ & 49{,}02~€ & \bf{4950{,}61~€} \end{array}$

(In der Aufgabe war nur eine Tabelle mit der erste und letzte Spalte ($Jahr$ und $K_{Jahr}$) gefragt. Wenn du magst kannst du aber auch die anderen Größen überprüfen. ;-) )

Gibt es ein Maximum oder Minimum des Kontostands ($K_{Jahr}$)?

Es gibt ein Maximum des Kontostands nach 5 Jahren mit 5101,52 €.

Ekläre, wie es zu dem Maximum kommt.

In den ersten Jahren steigt das Guthaben. Die Zinsen sind höher als der abgehobene Betrag. Nach 5 Jahren (Maximum des Guthabens) kehrt sich dies um: Die Zinsen decken nicht mehr die steigende Abhebung.

Erkläre den Verlauf des Guthabens. Schätze ab, wie es sich nach den 10 Jahren weiterentwickelt.

Nach dem 5. Jahr (Maximum des Guthabens) nimmt das Guthaben erst um ca. 10 € (6. Jahr), dann um ca. 20 € (7. Jahr) ab. Die Abhebungen steigen weiter an und lassen das Guthaben schrumpfen. Daher werden auch die Zinsen auf das Guthaben immer geringer. Das Guthaben nimmt insgesamt immer stärker ab.