Gegeben: $\text{Startkapital}:K=1\text{€}\backslash text\{Startkapital\}:\; K\; =\; 1\; \backslash ,\backslash text\{€\}$$\text{Jahreszinssatz}:p=2\mathrm{\%}\backslash text\{Jahreszinssatz\}:\; p\; =\; 2\backslash \%$ $\text{Laufzeit}:2000\text{Jahre}\backslash text\{Laufzeit\}:\; 2000\; \backslash ,\backslash text\{Jahre\}$

Gesucht: Heutiges Kapital

Überlege dir zunächst, wie hoch das Kapital nach dem ersten Jahre ist. Nach einem Jahr hast du 102% von deinem Startkapital.

$Z=p\cdot KZ\; =\; p\; \backslash cdot\; K$ $Z=2\mathrm{\%}\cdot 1\text{€}=\mathrm{0,02}\cdot 1\text{€}=\mathrm{0,02}\text{€}Z=2\backslash \%\; \backslash cdot\; 1\backslash ,\backslash text\{€\}\; =\; 0\{,\}02\; \backslash cdot\; 1\backslash ,\backslash text\{€\}\; =\; 0\{,\}02\backslash ,\backslash text\{€\}$

Im darauf folgenden Jahr erhälst du wieder 102% auf dieses neue Kapital. Das passiert insgesamt 2000 mal.

$1\text{€}\stackrel{\cdot \mathrm{1,02}}{\to }\mathrm{1,02}\text{€}\stackrel{\cdot \mathrm{1,02}}{\to }1\backslash text\{€\}\; \backslash xrightarrow\{\backslash cdot\; 1\{,\}02\}\; 1\{,\}02\backslash ,\backslash text\{€\}\; \backslash xrightarrow\{\backslash cdot\; 1\{,\}02\}$ …

Stelle mit diesem Wissen eine Formel für das Kapital nach 2000 Jahren auf.

$1\text{€}\cdot \underset{2000mal}{\underbrace{\mathrm{1,02}\cdot \mathrm{1,02}\cdot \dots \cdot \mathrm{1,02}}}1\backslash ,\backslash text\{€\}\; \backslash cdot\; \backslash underbrace\{1\{,\}02\; \backslash cdot\; 1\{,\}02\; \backslash cdot\; \dots \; \backslash cdot\; 1\{,\}02\}\_\{2000\; mal\}$

$=1\text{€}\cdot {\mathrm{1,02}}^{2000}=1\backslash ,\backslash text\{€\}\; \backslash cdot\; 1\{,\}02^\{2000\}$

Berechne das Kapital nach 2000 Jahren (Ein Taschenrechner ist an dieser Stelle empfehlenswert).

$1\text{€}\cdot {\mathrm{1,02}}^{2000}\approx \mathrm{1,586}\cdot {10}^{17}\text{€}=\mathrm{158,6}\cdot {10}^{15}\text{€}1\backslash ,\backslash text\{€\}\; \backslash cdot\; 1\{,\}02^\{2000\}\; \backslash approx\; 1\{,\}586\; \backslash cdot\; 10^\{17\}\; \backslash ,\backslash text\{€\}\; =\; 158\{,\}6\; \backslash cdot\; 10^\{15\}\backslash ,\backslash text\{€\}$

${10}^{3}10^3$ Tausend ${10}^{6}10^6$ Millionen ${10}^{9}10^9$ Milliarden ${10}^{12}10^\{12\}$ Billionen ${10}^{15}10^\{15\}$ Billiarden