Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gegeben ist die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ mit $s \in ℝ$ .

Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Gerade in Ebenengleichung einsetzen
Die Geradengleichung ist:
$(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
$Zeilenweise liest man die Koordinaten aus \Rightarrow \begin{array}{l} x = s \\ y = 1 \\ z = 1 - s \end{array}$
$2$ $=$ $x + y + z$
↓
Setze die Gerade koordinatenweise in die Ebenengleichung ein
$2$ $=$ $s + 1 + (1 - s)$
↓
Vereinfache
$=$ $2$
Da die Gleichung erfüllt ist, liegt die Gerade $g$ in der Ebene $E$ .
Man schreibt auch $g \subset E$ .
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Setze $g$ koordinatenweise in die Ebenengleichung ein.
Überprüfe, ob die Gleichung erfüllt ist.
Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_{a} : \vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$ mit $t \in ℝ$ und $a \in ℝ$ .
Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Untersuchen der Richtungsvektoren
Die Richtungsvektoren sind $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ und $(\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$ .
Es gibt keine Zahl $k \in ℝ$ , sodass sie gleich sind: $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \neq k \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$
Die Vektoren sind linear unabhängig, die Geraden müssen entweder windschief sein oder sich schneiden.
Gleichsetzen der Geradengleichungen
Gleichsetzen
↓
$(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ $=$ $(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$
↓
Bringe alle Stützvektoren nach links und alle Richtungsvektoren nach rechts.
$(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ $=$ $t \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
Dieses LGS besitzt keine Lösung.
Es gibt verschiedene Methoden, die Lösung zu bestimmen. Betrachtet man die Zeilen etwas genauer, zeigt sich:
$3. Zeile: 0 = t \cdot 0 + s \Rightarrow s = 0$
Wenn $s = 0$ folgt aus der $1.$ Gleichung:
$0 = t + \underset{= s}{\underset{⏟}{0}} \cdot (- 1) \Rightarrow t = 0$
Für $t = 0$ und $s = 0$ folgt aber aus der 2. Gleichung: $1 \neq 0 \cdot a$
Für keinen Wert von $a$ besitzt das LGS eine Lösung. Die Geraden haben keinen Schnittpunkt und sind damit windschief.
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Windschiefe Geraden sind nicht parallel oder identisch.
Überprüfe, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, um die Fälle parallel und/oder identisch auszuschließen.
Windschiefe Geraden schneiden sich nicht.
Setze die Geradengleichungen gleich und löse das LGS, um zu überprüfen, ob es einen Schnittpunkt gibt.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$2$	$=$	$x + y + z$
	↓	Setze die Gerade koordinatenweise in die Ebenengleichung ein
$2$	$=$	$s + 1 + (1 - s)$
	↓	Vereinfache
	$=$	$2$

Gleichsetzen
	↓
$(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$
	↓	Bringe alle Stützvektoren nach links und alle Richtungsvektoren nach rechts.
$(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$t \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

Aufgabe 5

Gerade in Ebenengleichung einsetzen

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Untersuchen der Richtungsvektoren

Gleichsetzen der Geradengleichungen

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