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Pflichtteil

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Aufgaben zur Abiturprüfung eA 2023, Pflichtteil. Zum Download hier.

  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f mit f(x)=x2+2axf(x)=-x^{2}+2 a x mit a>1a>1.

    Die Nullstellen von ff sind 00 und 2a2 a.

    1. Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von ff mit der xx-Achse einschließt, den Inhalt 43a3\frac{4}{3} a^{3} hat. (2 BE)

    2. Bild

      Der Hochpunkt (aa2a \mid a^{2}) des Graphen von ff liegt auf einer Seite eines Quadrats. Zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von ff mit der xx-Achse einschließt, überein.

      Bestimmen Sie den Wert von aa. (3 BE)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=2ex4ex=2ex4exf(x)=2 e^{x}-\frac{4}{e^{x}}=2 e^{x}-4 e^{-x}.

    1. Berechnen Sie die Nullstelle von ff. (2 BE)

    2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von ff im Schnittpunkt mit der yy-Achse. (3 BE)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Bild

    Die Abbildung zeigt den Punkt PP und den Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff. Der Graph von ff hat die einzigen Extrempunkte (11)(-1 \mid 1) und (00)(0 \mid 0).

    1. Gegeben ist die Funktion gg mit g(x)=f(x3)g(x)=-f(x-3).

      Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von gg an. (2 BE)

    2. Der Graph einer Stammfunktion von ff verläuft durch PP.

      Skizzieren Sie diesen Graphen in der Abbildung. (3 BE)

  4. 4

    Aufgabe 4

    In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die Zahl aa mit a2a \neq 2. Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

    1. Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term 235252 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} berechnet werden kann. (1 BE)

    2. Die Zufallsgröße XX gibt die Summe der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von XX ist 8.

      Bestimmen Sie den Wert von aa. (4 BE)

  5. 5

    Aufgabe 5

    Gegeben ist die Gerade g:x=(011)+s(101)\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) mit sRs \in \mathbb{R}.

    1. Zeigen Sie, dass gg in der Ebene mit der Gleichung x+y+z=2x+y+z=2 liegt. (2 BE)

    2. Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden ha:x=(001)+t(1a0)\def\arraystretch{1.25} h_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right) mit tRt \in \mathbb{R} und aRa \in \mathbb{R}.

      Weisen Sie nach, dass gg und hah_{a} für jeden Wert von aa windschief sind. (3 BE)

  6. 6

    Aufgabe 6

    Betrachtet wird ein Dreieck ABCA B C mit A(000)A(0|0| 0) und B(354)B(3|5|-4). Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:

    • Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.

    • AB\overline{A B} ist eine Kathete des Dreiecks.

    • Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der xzx z-Ebene.

    Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts, der für CC infrage kommt. (5 BE)


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