Abiturprüfungen Mathe eA mit Lösungen

Aufgabe 1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion f mit $f(x)=-x^{2}+2 a x$ mit $a>1$ .

Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat. (2 BE)

Der Hochpunkt ( $a \mid a^{2}$ ) des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats. Zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.

Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (3 BE)

2

Aufgabe 2

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=2 e^{x}-\frac{4}{e^{x}}=2 e^{x}-4 e^{-x}$ .

Berechnen Sie die Nullstelle von $f$ . (2 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph

Lösungsvorschlag

Steigung der Tangente:

Die Tangente hat dieselbe Steigung wie die Funktion $f$ im Schnittpunkt mit der y-Achse.
Bestimme die Steigung von $f$ im y-Achsenabschnitt über die Ableitung $f'\left(0\right)$ .

Bestimmung der Ableitung $f'(x)$
	↓
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(2e^x-4e^{-x}\right)'$
	↓	Summenrege l
	$=$	$\displaystyle \left(2e^x\right)'+\left(-4e^{-x}\right)'$
	↓	Die Ableitung von Vielfachen der e-Funktion $f\left(x\right)=a\cdot e^x$ ist $f'\left(x\right)=a\cdot e^x$
	$=$	$\displaystyle 2e^x+\left(-4e^{-x}\right)'$
	↓	Kettenregel
	$=$	$\displaystyle 2e^x+\left(-x\right)'\cdot\left(-4e^{-x}\right)$
	$=$	$\displaystyle 2e^x+\left(-1\right)\cdot\left(-4e^{-x}\right)$
	$=$	$\displaystyle 2e^x+4e^{-x}$

Einsetzen von $x=0$
	↓
$\displaystyle f'\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 2e^0+4e^{-0}$
	↓	$e^0=1$
	$=$	$\displaystyle 6$

y-Achsenabschnitt der Tangente

Da die Tangente an $f(x)$ im y-Achsenabschnitt anliegt, haben $f(x)$ und die Tangente den gleichen y-Achsenabschnitt.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2e^x-\frac{4}{e^x}$
	↓	im y-Achsenabschnitt gilt $x=0$
$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 2e^0-\frac{4}{e^0}$
	↓	$e^0=1$
	$=$	$\displaystyle -2$

Geradengleichung der Tangente

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf und setze die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Tangente ein.
	↓
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle mx+b$
	↓	m ist die Steigung b ist der y-Achsenabschnitt
	$=$	$\displaystyle 6x-2$

$\rightarrow$ Die Gleichung der Tangente lautet $y=6x-2$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

3

Aufgabe 3

Die Abbildung zeigt den Punkt $P$ und den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ . Der Graph von $f$ hat die einzigen Extrempunkte $(-1 \mid 1)$ und $(0 \mid 0)$ .

Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-3)$ .
Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $g$ an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
Koordinaten des Punktes
Der Graph der Funktion erfährt zwei Abbildungen:
Spiegelung an der x-Achse. Der Hochpunkt wird zu einem Tiefpunkt $(-1\mid -1)$
Verschiebung nach rechts. Der Punkt ist $(2\mid -1)$
Skizze (Graph ist nur qualitativ gleich wie in der Aufgabe)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Der Hochpunkt des Graphen wird der gesuchte Tiefpunkt.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $(1\mid 1)$ , wenn der Graph durch die Vorschrift $g(x)=-f(x)$ an der x-Achse gespiegelt wird.
Bestimme die Koordinaten, wenn nun zusätzlich eine Verschiebung um 3 LE nach rechts stattfindet.
Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch $P$ .
Skizzieren Sie diesen Graphen in der Abbildung. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
Anfertigen der Skizze
Es ist zu beachten, dass
der Hochpunkt von $f$ zu einem Wendepunkt von $F$ wird
der Tiefpunkt (und gleichzeitig Nullstelle) von $f$ zu einem Sattelpunkt von $F$ wird
$F$ durch $(3\mid 1)$ verläuft und stets oberhalb der x-Achse bleibt
Skizze der Stammfunktion
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Die Stammfunktion hat die Eigenschaft, dass ihre Steigung durch $f$ gegeben ist.
Bestimme die Lage möglicher Extrempunkte der Stammfunktion.
Bestimme die Lage möglicher Wendepunkte der Stammfunktion.
Skizziere einen Graphen der durch diese Punkte und $P$ verläuft.

4

Aufgabe 4

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die Zahl $a$ mit $a \neq 2$ . Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ berechnet werden kann. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Baumdiagramm als Hilfe
Baumdiagramm
Das Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment.
Die Wahrscheinlichkeiten sind damit
$P(a)=\dfrac25$
$P(2)=\dfrac35$
Ereignis
Das gesuchte Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ ist:
"Es wird eine $2$ und ein $a$ gezogen."
oder
"Auf beiden Kugeln stehen unterschiedliche Zahlen."
Da zwei Pfade zu dieser Beschreibung passen, gibt es den Vorfaktor $\color{green}2\cdot \color{black} \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Skizziere zur Hilfe ein Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten $\frac35$ und $\frac25$ zuordnen zu können.
Bestimme ein Ereignis, welches genau zwei Pfade mit der Wahrscheinlichkeit $\frac35\cdot \frac25$ beinhaltet.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Summe der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist 8.

Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$

Die Zufallsvariable $X$ kann folgende Werte annehmen:

$4$ falls zweimal die $2$ gezogen wird
$a+2$ falls unterschiedliche Zahlen gezogen werden
$2a$ falls zweimal die andere Zahl $a$ gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich mithilfe des Baumdiagramms (siehe Lösung a):

$X=k$	$4$	$2+a$	$2a$
$P(X=k)$	$\frac{9}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{4}{25}$

Aufstellen des Erwartungswertes

Erwartungswert ist die Summe der Werte, die $X$ annehmen kann, mal deren Wahrscheinlichkeit
	↓
$\displaystyle E\left[X\right]$	$=$	$\displaystyle 4\cdot\frac{9}{25}+\left(2+a\right)\cdot\frac{12}{25}+2a\cdot\frac{4}{25}$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{36}{25}+\frac{24}{25}+a\cdot\frac{12}{25}+a\cdot\frac{8}{25}$
	$=$	$\displaystyle \frac{60}{25}+a\cdot\frac{20}{25}$
	↓	Erwartungswert ist laut Aufgabe gleich $8$ .
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle \frac{60}{25}+a\cdot\frac{20}{25}$	$\displaystyle -\frac{60}{25}$
$\displaystyle \frac{28}{5}$	$=$	$\displaystyle a\cdot\frac{4}{5}$	$\displaystyle \cdot5$
$\displaystyle 28$	$=$	$\displaystyle 4a$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle a$

$a$ hat den Wert $7$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

5

Aufgabe 5

Gegeben ist die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ mit $s \in \mathbb{R}$ .

Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2$ liegt. (2 BE)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $\def\arraystretch{1.25} h_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$ mit $t \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$ .

Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

Untersuchen der Richtungsvektoren

Die Richtungsvektoren sind $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ und $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$ .

Es gibt keine Zahl $k\in\mathbb{R}$ , sodass sie gleich sind: $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)\neq k\cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$

Die Vektoren sind linear unabhängig, die Geraden müssen entweder windschief sein oder sich schneiden.

Gleichsetzen der Geradengleichungen

Gleichsetzen
	↓
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$
	↓	Bringe alle Stützvektoren nach links und alle Richtungsvektoren nach rechts.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$

Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Dieses LGS besitzt keine Lösung.

Es gibt verschiedene Methoden, die Lösung zu bestimmen. Betrachtet man die Zeilen etwas genauer, zeigt sich:

\displaystyle \text{3. Zeile:}~~~~0=t\cdot 0+s\quad\Rightarrow\quad s=0

Wenn $s=0$ folgt aus der $1.$ Gleichung:

\displaystyle \text{3. Zeile:}~~~~0=t\cdot 0+s\quad\Rightarrow\quad s=0

Für $t=0$ und $s=0$ folgt aber aus der 2. Gleichung: $1\neq 0\cdot a$

Für keinen Wert von $a$ besitzt das LGS eine Lösung. Die Geraden haben keinen Schnittpunkt und sind damit windschief.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

6

Aufgabe 6

Betrachtet wird ein Dreieck $A B C$ mit $A(0|0| 0)$ und $B(3|5|-4)$ . Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:

Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.
$\overline{A B}$ ist eine Kathete des Dreiecks.
Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der $x z$ -Ebene.

Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts, der für $C$ infrage kommt. (5 BE)

1. Gleichung - rechtwinklige Katheten

Die Katheten $\overrightarrow{AC},~ \overrightarrow{AB}$ stehen senkrecht aufeinander. Es gilt:

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}$
	↓	Skalarprodukt ausrechnen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x-4z$

Aus dieser Gleichung lässt sich $x=\frac43 z$ bestimmen. Das wird später gebraucht.

2. Gleichung - Länge der Katheten

Die Katheten $\overrightarrow{AC},~ \overrightarrow{AB}$ sind gleich lang laut der Aufgabenstellung, denn sie bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Damit gilt:

$\displaystyle \|\overrightarrow{AC}\|$	$=$	$\displaystyle \|\overrightarrow{AB}\|$
$\displaystyle \sqrt{x^2+z^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3^2+5^2+(-4)^2}$
$\displaystyle \sqrt{x^2+z^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{50}$	$\displaystyle ()^2$
$\displaystyle x^2+z^2$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Setze $x=\frac43 z$ ein.
$\displaystyle \frac{16}{9} z^2+z^2$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle \frac{25}{9} z^2$	$=$	$\displaystyle 50$	$\displaystyle \cdot \frac{9}{25}$
$\displaystyle z^2$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{18}$

Eine mögliche Lösung ist also $z=\pm\sqrt{18}=\pm 3\sqrt{2}$ .

Bestimme den Punkt $C$

Mit der Gleichung $x=\frac43 z$ gilt für $x$ : $x=\pm\frac43 \sqrt{18}=\pm \frac{4}{3}3\sqrt{2}=\pm 4\sqrt{2}$

Damit ist $C(\frac43 \sqrt{18}\mid 0\mid \sqrt{18})=C(4\sqrt{2}|0|3\sqrt{2})$ oder $C(-\frac43 \sqrt{18}\mid 0\mid -\sqrt{18})=C(-4\sqrt{2}|0|-3\sqrt{2})$ .

Hinweis: Die Aufgabenstellung erfordert nur einen Punkt $C$ , hier wurden beide Möglichkeiten angegeben.

VorsichtAndere Darstellungen der Lösung

Je nachdem in welcher Reihenfolge $x$ und $z$ bestimmt werden, kann $C$ anders dargestellt sein. Ebenso korrekt wäre:

$C(\sqrt{32}\mid 0\mid \frac34\sqrt{32})$ bzw. $C(-\sqrt{32}\mid 0\mid -\frac34\sqrt{32})$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2a} \ f(x) \mathrm{d}x$
	$=$	$\displaystyle \left[F(x)\right]_0^{2a}$
	↓	Bestimme eine Stammfunktion F(x). (Hilfe im Spoiler oben)
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{1}{3}x^3+ax^2\right]_0^{2a}$
	↓	Setze die Nullstellen ein. In die eckige Klammer wird für x der obere Wert (2a) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}\cdot\left(2a\right)^3+a\cdot\left(2a\right)^2$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}\cdot8^{ }a^3+a\cdot4a^2$
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{3}a^3+4a^{3^{ }}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{3}a^3+\frac{12}{3}a^3$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}a^3$

Wenn beide Flächeninhalte gleich sind, gilt:
	↓
$\displaystyle A_{Quadrat}$	$=$	$\displaystyle A_{Flächenstück}$
	↓	Einsetzen der Terme für die Flächeninhalte
$\displaystyle a^4$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}a^3$	$\displaystyle :\left(a^3\right)$
	↓	Da $a>1$ gilt, kann durch $a^3$ geteilt werden.
$\displaystyle a^{ }$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$

Der Funktionswert $f\left(x\right)$ wird gleich $0$ gesetzt.
	↓
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 2e^x-\frac{4}{e^x}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot e^x$
$\displaystyle 2e^{2x}-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 2e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \ln\left(\right)$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \ln\left(2\right)$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\ln\left(2\right)$

Pflichtteil

Aufgabe 1

Flächenstück berechnen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Flächeninhalt Quadrat:

Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen Graph und x-Achse:

Gleichsetzen der Flächeninhalte:

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufgabe 2

Berechnung der Nullstelle