Pflichtteil - lernen mit Serlo!

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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen

Aufgabe 6

Betrachtet wird ein Dreieck $A B C$ mit $A (0 | 0 | 0)$ und $B (3 | 5 | - 4)$ . Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:

Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.
$A B$ ist eine Kathete des Dreiecks.
Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der $x z$ -Ebene.

Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts, der für $C$ infrage kommt. (5 BE)

1. Gleichung - rechtwinklige Katheten

Die Katheten $\vec{A C}, \vec{A B}$ stehen senkrecht aufeinander. Es gilt:

$0$	$=$	$(\begin{array}{c} x \\ 0 \\ z \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ - 4 \end{array})$
	↓	Skalarprodukt ausrechnen
$0$	$=$	$3 x - 4 z$

Aus dieser Gleichung lässt sich $x = \frac{4}{3} z$ bestimmen. Das wird später gebraucht.

2. Gleichung - Länge der Katheten

Die Katheten $\vec{A C}, \vec{A B}$ sind gleich lang laut der Aufgabenstellung, denn sie bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Damit gilt:

$\| \vec{A C} \|$	$=$	$\| \vec{A B} \|$
$\sqrt{x^{2} + z^{2}}$	$=$	$\sqrt{3^{2} + 5^{2} + (- 4)^{2}}$
$\sqrt{x^{2} + z^{2}}$	$=$	$\sqrt{50}$	$()^{2}$
$x^{2} + z^{2}$	$=$	$50$
	↓	Setze $x = \frac{4}{3} z$ ein.
$\frac{16}{9} z^{2} + z^{2}$	$=$	$50$
	↓	Vereinfache
$\frac{25}{9} z^{2}$	$=$	$50$	$\cdot \frac{9}{25}$
$z^{2}$	$=$	$18$	$\sqrt{}$
$z$	$=$	$\pm \sqrt{18}$

Eine mögliche Lösung ist also $z = \pm \sqrt{18} = \pm 3 \sqrt{2}$ .

Bestimme den Punkt $C$

Mit der Gleichung $x = \frac{4}{3} z$ gilt für $x$ : $x = \pm \frac{4}{3} \sqrt{18} = \pm \frac{4}{3} 3 \sqrt{2} = \pm 4 \sqrt{2}$

Damit ist $C (\frac{4}{3} \sqrt{18} | 0 | \sqrt{18}) = C (4 \sqrt{2} | 0 | 3 \sqrt{2})$ oder $C (- \frac{4}{3} \sqrt{18} | 0 | - \sqrt{18}) = C (- 4 \sqrt{2} | 0 | - 3 \sqrt{2})$ .

Hinweis: Die Aufgabenstellung erfordert nur einen Punkt $C$ , hier wurden beide Möglichkeiten angegeben.

VorsichtAndere Darstellungen der Lösung

Je nachdem in welcher Reihenfolge $x$ und $z$ bestimmt werden, kann $C$ anders dargestellt sein. Ebenso korrekt wäre:

$C (\sqrt{32} | 0 | \frac{3}{4} \sqrt{32})$ bzw. $C (- \sqrt{32} | 0 | - \frac{3}{4} \sqrt{32})$ .

Verwende $\vec{A C} = (\begin{array}{c} x \\ 0 \\ z \end{array})$ als allgemeine Darstellung für die Kathete von $A$ nach $C$ , da die Kathete in der $x z$ -Ebene liegt.

Stelle 2 Gleichungen auf, um x und z zu bestimmen:
- 1. Gleichung: Stelle eine Gleichung auf, die das Skalarprodukt $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ enthält. (Die Katheten bilden einen rechten Winkel.)
- 2. Gleichung: Stelle eine weitere Gleichung auf, indem die Längen gleichgesetzt werden: $| \vec{A C} | = | \vec{A B} |$ . (Die Katheten sind gleich lang.)
Bestimme $x$ und $z$ aus den beiden Gleichungen. Stelle $C$ vollständig dar.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen

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→ Was bedeutet das?

Aufgabe 6

1. Gleichung - rechtwinklige Katheten

2. Gleichung - Länge der Katheten

Bestimme den Punkt C

Bestimme den Punkt $C$