Lösung

Zeichnen des Netzes der Kerze

Erklärung zum Zeichnen des Netzes:

• Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge $\mathrm{6\ cm}$.

• Schlage um den Punkt $\textbf{A}$ und um den Punkt $\textbf{B}$ je einen Kreisbogen mit dem Radius $\mathrm{6\ cm}.$

• Der Kreisbogen um den Punkt $\textbf{A}$ schneidet die Gerade $\textbf{v}$ im Punkt $\bold{\mathrm{a_1}}$und die Gerade $\textbf{h}$ im Punkt $\bold{\mathrm{a_2}}.$

• Der Kreisbogen um den Punkt $\textbf{B}$ schneidet die Gerade $\textbf{v}$ im Punkt $\bold{\mathrm{b_2}}$und die Gerade $\textbf{h}$ im Punkt $\bold{\mathrm{b_1}}.$

• Verbinde die Ecken des Quadrates mit den entsprechenden Punkten.

Lösung

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das obige farbige Dreieck lautet:

$\ \mathrm{6^2=3^2+h^2\quad\Rightarrow h=\sqrt{6^2-3^2}}$

$\hspace{44mm}\mathrm{h=\sqrt{27}\approx5{,}2}$

Die Höhe einer Dreiecksseite der Kerze beträgt ungefähr: $\boxed{\mathrm{5{,}2\ cm}}$

Lösung

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das obige farbige Dreieck lautet:

$\ \mathrm{\left(\sqrt{27}\right)^2=3^2+h^2\quad\Rightarrow h=\sqrt{27^2-3^2}}$

$\hspace{51mm}\mathrm{h=\sqrt{18}\approx4{,}2\ cm}$

$\mathrm{V_{Kerze}=\dfrac{1}{3}\cdot 6^2 \cdot\sqrt{18\ }}$

$\ \mathrm{V=50{,}9\approx51}$

Das Volumen der Kerze beträgt ungefähr: $\boxed{\mathrm{51\ cm^3}}$

Berechnen des Radius $\textbf{r}$ der kugelförmigen Kerze:

$\mathrm{51\ cm^3=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3\quad\Rightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot51\ cm^3}{4\cdot\pi}}}$

$\hspace{36mm}\mathrm{r\approx2{,}3\ cm}$

Der Radius der kugelförmigen Kerze beträgt ungefähr $\boxed{\mathrm{2{,}3\ cm}}.$

Berechnen der Oberfläche der Pyramide:

$\ \mathrm{O_{Pyramide}=G+M;\qquad G=(6\ cm)^2}$

$\hspace{35mm}\mathrm{M=\dfrac{6\ cm\cdot 5{,}2\ cm}{2}\cdot4}$

$\ \mathrm{O_{Pyramide}=36+62{,}4\ [cm^2]}$

$\ \underline{\mathrm{O_{Pyramide}=98{,}4\ cm^2}}$

$\rule{12cm}{0.5mm}$

Berechnen der Oberfläche der Kugel:

$\ \mathrm{O_{Kugel}=4\cdot\pi\cdot r^2\quad\Rightarrow O_{Kugel}=4\cdot\pi\cdot (2{,}3\ cm)^2}$

$\ \underline{\mathrm{O_{Kugel}=66{,}5\ cm^2}}$

$\rule{12cm}{0.5mm}$

Berechnen, um wie viel Prozent die Oberfläche der kugelförmigen Kerze kleiner ist:

$\ \mathrm{\Delta p=\dfrac{O_{Pyramide}-O_{Kugel}}{O_{Pyramide}}\quad\Rightarrow \Delta p=\dfrac{31{,}9}{98{,}4}}$

$\ \mathrm{\Delta p\approx0{,}324\quad\Rightarrow \Delta p\approx32\ \%}$

Die Oberfläche der kugelförmigen Kerze ist ca. $\boxed{32\ \%}$ kleiner als die Oberfläche

der pyramidenförmigen Kerze.

Wir haben für $\bold{\pi}$ mit dem Wert gerechnet, den der Rechner liefert. Wenn Du für $\bold{\pi}$ mit $3{,}14$ rechnest bekommst Du für die Oberfläche der Kugel einen geringfügig abweichenden Wert.

Berechnen des Volumen des Zylinders:

$\ \mathrm{V_{Zylinder}=r^2\cdot\pi\cdot h\quad\Rightarrow V_{Zylinder}=(1{,}6\ cm)^2\cdot\pi\cdot 4{,}6\ cm}$

$\ \mathrm{V_{Zylinder}=37\ cm^3}$

Rest der Kerze nach dem Abbrennen:

$\ \mathrm{V_{Rest}=V_{Kerze}-V_{Zylinder}\quad\Rightarrow V_{Rest}=51\ cm^3-37\ cm^3}$

$\ \mathrm{V_{Rest}=14\ cm^3}$

$10\ \%$ vom Kerzenvolumen entsprechen $\mathrm{5{,}1\ cm^3}$, es bleiben aber $\mathrm{14\ cm^3}$ übrig.

Die Vorgabe wird also nicht erfüllt. Kreuze entsprechend an.