Aufgaben zur Normalverteilung - lernen mit Serlo!

10% der Produktion einer Maschine kann nicht weiterverkauft werden.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Lieferung von 1000 Stücken nicht mehr als 100 Stücke Ausschuss?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Gesucht ist $P (X \leq 100)$ , wobei n= 1000 und p=0,1 ist.
$μ = 1000 \cdot 0,1$ ist der Erwartungswert.
$σ = \sqrt{σ^{2}} = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9}$ ist die Standardabweichung.
Verwende die gegebene Fomel: $P (X \leq k) \approx Φ (\frac{k - μ + 0,5}{σ})$
$P (X \leq 100)$ $\approx$ $Φ (\frac{100 - 1000 \cdot 0,1 + 0,5}{\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9}})$
$=$ $Φ (0,05)$
↓
Verwende das Tafelwerk der Stochastik, um den Wert abzulesen.
$=$ $0,51994$
$\approx$ $52 %$
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Ausschussrate einer Lieferung von 1000 Stück um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab?

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$P (X \leq 100)$	$\approx$	$Φ (\frac{100 - 1000 \cdot 0,1 + 0,5}{\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9}})$
	$=$	$Φ (0,05)$
	↓	Verwende das Tafelwerk der Stochastik, um den Wert abzulesen.
	$=$	$0,51994$
	$\approx$	$52 %$

$P (\| X - μ \| \leq σ)$	$=$	$P (μ - σ \leq X \leq μ + σ)$
	↓	Mit der Formel für die Normalverteilung gilt.
	$\approx$	$Φ (\frac{μ + σ + 0,5 - μ}{σ}) - Φ (\frac{μ - σ - 0,5 - μ}{σ})$
	↓	Vereinfache Merke: $Φ (- x) = 1 - Φ (x)$
	$=$	$Φ (\frac{σ + 0,5}{σ}) - Φ (\frac{- σ - 0,5}{σ})$
	$=$	$Φ (\frac{σ + 0,5}{σ}) - (1 - Φ (\frac{σ + 0,5}{σ}))$
	$=$	$2 \cdot Φ (\frac{σ + 0,5}{σ}) - 1$
	$=$	$2 \cdot Φ (\frac{σ + 0,5}{σ}) - 1$
	$=$	$2 \cdot Φ (\frac{\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9} + 0,5}{\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9}}) - 1$
	↓	Verwende das Tafelwerk der Stochastik, um den Wert abzulesen.
	$=$	$2 \cdot Φ (1,05) - 1$
	$\approx$	$2 \cdot 0,85313 - 1$
	$\approx$	$70,6 %$

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