Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 6

Für ein Spiel wird ein Behälter mit 100 Kugeln gefüllt. Dafür stehen rote und blaue Kugeln zur Verfügung. Vor jedem Spiel legt die spielende Person die Anzahl der blauen Kugeln im Behälter fest. Anschließend wird dem Behälter eine Kugel zufällig entnommen. Ist diese Kugel rot, so wird der spielenden Person die festgelegte Anzahl blauer Kugeln in Cent ausgezahlt. Ist die Kugel blau, so beträgt die Auszahlung 10 Cent.

Ermitteln Sie, wie die spielende Person die Anzahl blauer Kugeln für ein Spiel festlegen muss, damit der Erwartungswert der Auszahlung möglichst groß ist. (5 BE)

$\displaystyle E\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(rot\right)\cdot\text{Auszahlung}_{rot}+P\left(blau\right)\cdot\text{Auszahlung}_{blau}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{100-x}{100}\cdot x+\frac{x}{100}\cdot10$

$\displaystyle E\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{100-x}{100}\cdot x+\frac{x}{100}\cdot10$
	↓	Suche Maximum, zum Beispiel durch Ableiten
$\displaystyle E'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{100}{100}-\frac{1}{100}2x+\frac{10}{100}$
	↓	Zusammenfassen und 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1{,}1-\frac{2}{100}x$	$\displaystyle +\frac{2}{100}x$
$\displaystyle \frac{2}{100}x$	$=$	$\displaystyle 1{,}1$	$\displaystyle \cdot100$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 110$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 55$

Aufgabe 6

Erwartungswert

Maximum des Erwartungswerts