Teil 1 Stochastik - lernen mit Serlo!

Ein Handballspieler trainiert Siebenmeter-Würfe, wobei der Torhüter seines Vereins im Tor steht.

Erfahrungsgemäß trifft er bei 80% seiner Würfe ins Tor.

Der Spieler führt zwei Siebenmeter-Würfe aus.
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
$E_{3} :$ "Der Spieler trifft jedes Mal."
$E_{4} :$ "Der Spieler trifft mindestens einmal."
(3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregeln
Wahrscheinlichkeit von $E_{3}$
Da der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% trifft und zweimal wirft, ergibt sich mit der Pfadregel:
$P (E_{3}) = {0,8}^{2} = 0,8 \cdot 0,8 = 0,64$
Die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal trifft, beträgt deshalb 64%
Wahrscheinlichkeit von $E_{4}$
Wenn der Spieler mindestens einmal trifft, bedeutet dass ausführlich: Er trifft entweder nur beim ersten Mal oder nur beim zweiten Mal oder beide Male.
Es ist hier leichter mit dem Gegenereignis zu rechnen und von 100% die Wahrscheinlichkeit abzuziehen, dass er beide Würfe verfehlt.
Die Wahrscheinlichkeit für einen verfehlten Wurf ist dabei 20%:
$P (E_{4}) = 1 - {0,2}^{2} = 1 - 0,04 = 0,96$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 96% trifft er also mindestens einmal.
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Bei diesem sehr kleinen Bernoulli-Experiment kannst du dir auch mit einem kleinen Baumdiagramm helfen. Anschließend verwendest du die Pfadregeln.
Formulieren Sie zwei Ereignisse $E_{5}$ und $E_{6}$ im Sachzusammenhang, deren Wahrscheinlichkeiten sich wie folgt berechnen lassen:
$P (E_{5}) = {0,8}^{20}$
$P (E_{6}) = (\binom{50}{30}) \cdot {0,8}^{30} \cdot {0,2}^{20}$
(2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Ereignis $E_{5}$
Aus der Angabe weißt du, dass $80 % = 0,8$ die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass das Tor getroffen wird.
Der Exponent gibt an, wie oft dieses Ergebnis eintritt.
Insgesamt ist das Ereignis $E_{5}$ , dass der Spieler bei 20 Würfen 20 Treffer erzielt.
Ereignis $E_{6}$
Hier siehst du die klassische Bernoulli-Formel. Da ${0,8}^{30}$ berechnet wird, trifft der Spieler diesmal 30 Mal. Durch den Binomialkoeffizient $(\binom{50}{30})$ kannst du erkennen, dass er von 50 Würfen genau 30 Würfe trifft, die Position der Würfe aber nicht relevant ist.
Kurz: $E_{6}$ ist das Ereignis, dass der Spieler bei 50 Würfen genau 30 Würfe trifft.
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Achte bei der Struktur der Terme auf folgende Punkte:
Was ist die Bedeutung hinter den Exponenten?
Was bedeutet 0,8 bzw 0,2 in dieser Situation?
Bei welchen Aufgaben verwendest du den Binomialkoeffizienten $(\binom{n}{k})$ ?

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Wahrscheinlichkeit von E3

Wahrscheinlichkeit von E4

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Ereignis E5

Ereignis E6

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Wahrscheinlichkeit von $E_{3}$

Wahrscheinlichkeit von $E_{4}$

Ereignis $E_{5}$

Ereignis $E_{6}$