Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$

Löse $f(x)=0$:

$0=6x+12\Rightarrow x=-2$

Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x=-2$.

Ermittle die Gleichung der Asymptote von $G_f$

Der Zählergrad ist um $1$ kleiner als der Nennergrad$\Rightarrow$ waagrechte Asymptote $y_A=0$.

Die Gleichung der Asymptote von $G_f$ ist $y_A=0$.

Begründe, ob sich $G_f$ für $x\to -\infty$ von oben bzw. von unten an seine Asymptote annähert

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\stackrel{\to -\infty }{\overbrace{6x+12}}}{\underset{\to +\infty }{\underbrace{x^2+4x+6}}}}=0^{-}}$$

$G_f$ nähert sich für $x\to -\infty$ von unten an die waagrechte Asymptote an.

Ermittle jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_f$

Berechne $f^{\prime }(x)$ mit der Quotientenregel:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{(x^2+4x+6)\cdot 6-(6x+12)\cdot (2x+4)}{(x^2+4x+6{)}^2}}={\displaystyle \frac{6x^2+24x+36-(12x^2+24x+24x+48)}{(x^2+4x+6{)}^2}}$

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-6x^2-24x-12}{(x^2+4x+6{)}^2}}$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=-6x^2-24x-12\Rightarrow 0=x^2+4x+2$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du

nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

$\Rightarrow x_1=-2-\sqrt{2}\approx -\mathrm{3,41}$ und $x_2=-2+\sqrt{2}\approx -\mathrm{0,59}$

Erstelle eine Monotonietabelle:

$x=-4$: $-4<-2-\sqrt{2}\Rightarrow$$f^{\prime }(-4)={\displaystyle \frac{-6\cdot (-4{)}^2-24\cdot (-4)-12}{((-4{)}^2+4\cdot (-4)+6{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}<0$

$x=-1$: $-2-\sqrt{2}<-1<-2+\sqrt{2}\Rightarrow$$f^{\prime }(-1)={\displaystyle \frac{-6\cdot (-1{)}^2-24\cdot (-1)-12}{((-1{)}^2+4\cdot (-1)+6{)}^2}}={\displaystyle \frac{2}{3}}>0$

$x=0$: $-2+\sqrt{2}<0\Rightarrow$$f^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{-6\cdot 0^2-24\cdot 0-12}{(0^2+4\cdot 0+6{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}<0$

$f(-2-\sqrt{2})\approx -\mathrm{2,12}\Rightarrow TP(-\mathrm{3,41}|-\mathrm{2,12})$

$f(-2+\sqrt{2})\approx \mathrm{2,12}\Rightarrow HP(-\mathrm{0,59}|\mathrm{2,12})$

Begründe, dass die Funktion $f$ drei Wendestellen besitzt

Aus der Linearfaktorzerlegung lassen sich mit dem Satz vom Nullprodukt drei Nullstellen anlesen, d.h. die Funktion $f$ besitzt drei Wendestellen. Da es jeweils einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von $f^{\prime \prime }$ sind, handelt es sich also um Wendestellen.

Lies die x-Koordinaten der Wendepunkte von $G_f$ ab und gib diese an

Es können die Werte: $x_3=-2,x_4=-2-\sqrt{6}$ und $x_5=-2+\sqrt{6}$abgelesen werden.

Bestimme die y-Koordinaten auf zwei Nachkommastellen gerundet

Berechne:

$f(-2)=0,f(-2-\sqrt{6})=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{4}}\approx -\mathrm{1,84}$ und $f(-2+\sqrt{6})={\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{4}}\approx \mathrm{1,84}$

Zeichne den Graphen $G_f$ im Bereich $-9\le x\le 5$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle und übertrage die Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. Verbinde die Punkte.

Zeige, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist

Gegeben: $F(x)=3\ln (x^2+4x+6)$.

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann muss gelten $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Berechne die 1. Ableitung von $F$, beachte die Kettenregel.

$F^{\prime }(x)=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{x^2+4x+6}}\cdot (2x+4)={\displaystyle \frac{6x+12}{x^2+4x+6}}=f(x)✓$

$F$ ist also eine Stammfunktion von $f$.

Berechne den Wert des bestimmten Integrals $${\displaystyle {\int }_{-4}^{0}f(x)\mathrm{d}x}$$

$${\displaystyle {\int }_{-4}^{0}f(x)\mathrm{d}x=F(0)-F(-4)}$$

$F(0)=3\ln (0^2+4\cdot 0+6)=3\ln 6$ und $F(-4)=3\ln ((-4{)}^2+4\cdot (-4)+6)=3\ln 6$

$$\Rightarrow {\displaystyle {\int }_{-4}^{0}f(x)\mathrm{d}x=3\ln 6-3\ln 6=0}$$

Interpretiere das Ergebnis geometrisch

Der Graph $G_f$ ist punktsymmetrisch zum Punkt $(-2|0)$. Das Integrationsintervall ist ebenfalls symmetrisch zu diesem Punkt. Somit sind die Flächeninhalte unterhalb und oberhalb der x-Achse gleich groß und das Integral hat den Wert null.