Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion $ff$ sowie die Gleichung der Asymptote von $G_{f}G\_f$. Begründen Sie, ob sich $G_{f}G\_f$ für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow-\backslash infty$ von oben bzw. von unten an seine Asymptote annähert.

Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}G\_f$. Runden Sie die Koordinaten auf zwei Nachkommastellen.

[Mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-6x^2-24x-12}{(x^2+4x+6{)}^2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{-6x^2-24x-12\}\{(x^2+4x+6)^2\}$ ]

Gegeben ist die zweite Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}f\; \text{'}\text{'}$ durch die Gleichung

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$$==$${\displaystyle \frac{12(x+2)[x-(-2-\sqrt{6})][x-(-2+\sqrt{6})]}{(x^2+4x+6{)}^3}}\backslash dfrac\{12(x+2)[x-(-2-\backslash sqrt\; 6)][x-(-2+\backslash sqrt\; 6)]\}\{(x^2+4x+6)^3\}$ mit der Definitionsmenge $D_f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\mathbb{R}\mathrm{.}D\_f\text{'}\text{'}=\backslash mathbb\{R\}.$

(Nachweis nicht erforderlich!). Begründen Sie, dass die Funktion $ff$ drei Wendestellen besitzt. Lesen Sie die x-Koordinaten der Wendepunkte von $G_{f}G\_f$ ab und geben Sie diese an. Bestimmen Sie die y-Koordinaten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}G\_f$ im Bereich $-9\le x\le 5-9\backslash le\; x\backslash le\; 5$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem.

Gegeben ist die Funktion $F:x\to F:x\backslash rightarrow$ $3\ln (x^2+4x+6)3\backslash ln(x^2+4x+6)$ mit der Definitionsmenge $D_F=\mathbb{R}D\_F=\backslash mathbb\{R\}$. Zeigen Sie, dass die Funktion $FF$ eine Stammfunktion von $ff$ ist. Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals ${\int }_{-4}^{0}f(x)\mathrm{d}x\backslash int\_\{-4\}^\{0\}\; \backslash \; f(x)\; \backslash mathrm\{d\}x$ und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.