Teil 2 Analysis 1

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Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen Hilfsmittel verwendet werden.

1
Gegeben ist die Funktion $f : x \to \frac{6 x + 12}{x^{2} + 4 x + 6}$ mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ .
Der zugehörige Graph wird mit $G_{f}$ bezeichnet.
1. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion $f$ sowie die Gleichung der Asymptote von $G_{f}$ . Begründen Sie, ob sich $G_{f}$ für $x \to - \infty$ von oben bzw. von unten an seine Asymptote annähert.
2. Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}$ . Runden Sie die Koordinaten auf zwei Nachkommastellen.
  [Mögliches Teilergebnis: $f^{'} (x) = \frac{- 6 x^{2} - 24 x - 12}{(x^{2} + 4 x + 6)^{2}}$ ]
3. Gegeben ist die zweite Ableitungsfunktion $f^{''}$ durch die Gleichung
  $f^{''} (x)$ $=$ $\frac{12 (x + 2) [x - (- 2 - \sqrt{6})] [x - (- 2 + \sqrt{6})]}{(x^{2} + 4 x + 6)^{3}}$ mit der Definitionsmenge $D_{f}^{''} = ℝ .$
  (Nachweis nicht erforderlich!). Begründen Sie, dass die Funktion $f$ drei Wendestellen besitzt. Lesen Sie die x-Koordinaten der Wendepunkte von $G_{f}$ ab und geben Sie diese an. Bestimmen Sie die y-Koordinaten auf zwei Nachkommastellen gerundet.
4. Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}$ im Bereich $- 9 \leq x \leq 5$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem.
5. Gegeben ist die Funktion $F : x \to$ $3 \ln (x^{2} + 4 x + 6)$ mit der Definitionsmenge $D_{F} = ℝ$ . Zeigen Sie, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals $\int_{- 4}^{0} f (x) d x$ und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.
2
Die Anzahl der in Deutschland pro Monat verschickten SMS soll näherungsweise durch die Funktion $S$ mit der Gleichung $S (t) = \frac{a}{1,56 e^{b t} - 1}$ mit $t \in ℝ_{𝟘}^{+}$ und $a, b \in ℝ$ modelliert werden.
Dabei gibt $t$ die Zeit ab Anfang 2013 ( $t = 0$ ) in Monaten an und $S (t)$ die Anzahl der zum Zeitpunkt $t$ gesendeten SMS in Milliarden Stück pro Monat. Bei Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
1. Aus statistischen Daten ergeben sich die Werte $S (0) = 3,80$ und $S (12) = 2,45$ . Bestimmen Sie mithilfe der beiden Angaben die Werte der Parameter $a$ und $b$ .
  [ Mögliche Ergebnisse: $a \approx 2,13$ ; $b \approx 0,015$ ]
2. Ermitteln Sie die Anzahl der pro Monat gesendeten SMS, die sich nach diesem Modell langfristig einstellen wird.
3. Zeigen Sie rechnerisch, dass nach diesem Modell die Anzahl der versendeten SMS pro Monat seit Januar 2013 stets gesunken ist.
4. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $S$ für $0 \leq t \leq 100$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Wählen Sie auf beiden Achsen einen geeigneten Maßstab.
5. Es gilt für den Wert des bestimmten Integrals: $\int_{0}^{84} S (t) d t \approx 116,98$
  (Nachweis nicht erforderlich!).
  Die folgende Tabelle gibt die gesamte Anzahl der in Deutschland in den einzelnen Kalenderjahren 2013 bis 2019 verschickten SMS in Milliarden an
  (Quelle: Bundesnetzagentur).
  Interpretieren Sie den Wert des angegebenen Integrals und überprüfen Sie die Realitätsnähe des Modells mithilfe der von der Bundesnetzagentur veröffentlichten Zahlen.

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