Teil 2 Analysis 1

Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion $ff$ sowie die Gleichung der Asymptote von $G_{f}G\_f$. Begründen Sie, ob sich $G_{f}G\_f$ für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow-\backslash infty$ von oben bzw. von unten an seine Asymptote annähert.

Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}G\_f$. Runden Sie die Koordinaten auf zwei Nachkommastellen.

[Mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-6x^2-24x-12}{(x^2+4x+6{)}^2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{-6x^2-24x-12\}\{(x^2+4x+6)^2\}$ ]

Gegeben ist die zweite Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}f\; \text{'}\text{'}$ durch die Gleichung

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$$==$${\displaystyle \frac{12(x+2)[x-(-2-\sqrt{6})][x-(-2+\sqrt{6})]}{(x^2+4x+6{)}^3}}\backslash dfrac\{12(x+2)[x-(-2-\backslash sqrt\; 6)][x-(-2+\backslash sqrt\; 6)]\}\{(x^2+4x+6)^3\}$ mit der Definitionsmenge $D_f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\mathbb{R}\mathrm{.}D\_f\text{'}\text{'}=\backslash mathbb\{R\}.$

(Nachweis nicht erforderlich!). Begründen Sie, dass die Funktion $ff$ drei Wendestellen besitzt. Lesen Sie die x-Koordinaten der Wendepunkte von $G_{f}G\_f$ ab und geben Sie diese an. Bestimmen Sie die y-Koordinaten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}G\_f$ im Bereich $-9\le x\le 5-9\backslash le\; x\backslash le\; 5$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem.

Gegeben ist die Funktion $F:x\to F:x\backslash rightarrow$ $3\ln (x^2+4x+6)3\backslash ln(x^2+4x+6)$ mit der Definitionsmenge $D_F=\mathbb{R}D\_F=\backslash mathbb\{R\}$. Zeigen Sie, dass die Funktion $FF$ eine Stammfunktion von $ff$ ist. Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals ${\int }_{-4}^{0}f(x)\mathrm{d}x\backslash int\_\{-4\}^\{0\}\; \backslash \; f(x)\; \backslash mathrm\{d\}x$ und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Aus statistischen Daten ergeben sich die Werte $S(0)=\mathrm{3,80}S(0)\; =\; 3\{,\}80$ und $S(12)=\mathrm{2,45}S(12)\; =\; 2\{,\}45$. Bestimmen Sie mithilfe der beiden Angaben die Werte der Parameter $aa$ und $bb$.

[ Mögliche Ergebnisse: $a\approx \mathrm{2,13}a\backslash approx\; 2\{,\}13$; $b\approx \mathrm{0,015}b\backslash approx0\{,\}015$ ]

Ermitteln Sie die Anzahl der pro Monat gesendeten SMS, die sich nach diesem Modell langfristig einstellen wird.

Zeigen Sie rechnerisch, dass nach diesem Modell die Anzahl der versendeten SMS pro Monat seit Januar 2013 stets gesunken ist.

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $SS$ für $0\le t\le 1000\backslash le\; t\; \backslash le\; 100$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Wählen Sie auf beiden Achsen einen geeigneten Maßstab.

Es gilt für den Wert des bestimmten Integrals: ${\int }_0^{84}S(t)\mathrm{d}t\approx \mathrm{116,98}\backslash int\_\{0\}^\{84\}\; S(t)\; \backslash mathrm\{d\}t\backslash approx\; 116\{,\}98$

(Nachweis nicht erforderlich!).

Die folgende Tabelle gibt die gesamte Anzahl der in Deutschland in den einzelnen Kalenderjahren 2013 bis 2019 verschickten SMS in Milliarden an

(Quelle: Bundesnetzagentur).

Interpretieren Sie den Wert des angegebenen Integrals und überprüfen Sie die Realitätsnähe des Modells mithilfe der von der Bundesnetzagentur veröffentlichten Zahlen.