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Gegeben ist die Funktion f:x6x+12x2+4x+6 mit der Definitionsmenge Df=.

Der zugehörige Graph wird mit Gf bezeichnet.

  1. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion f sowie die Gleichung der Asymptote von Gf. Begründen Sie, ob sich Gf für x von oben bzw. von unten an seine Asymptote annähert.

  2. Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte von Gf. Runden Sie die Koordinaten auf zwei Nachkommastellen.

    [Mögliches Teilergebnis: f(x)=6x224x12(x2+4x+6)2 ]

  3. Gegeben ist die zweite Ableitungsfunktion f durch die Gleichung

    f(x)=12(x+2)[x(26)][x(2+6)](x2+4x+6)3 mit der Definitionsmenge Df=.

    (Nachweis nicht erforderlich!). Begründen Sie, dass die Funktion f drei Wendestellen besitzt. Lesen Sie die x-Koordinaten der Wendepunkte von Gf ab und geben Sie diese an. Bestimmen Sie die y-Koordinaten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

  4. Zeichnen Sie den Graphen Gf im Bereich 9x5 unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem.

  5. Gegeben ist die Funktion F:x 3ln(x2+4x+6) mit der Definitionsmenge DF=. Zeigen Sie, dass die Funktion F eine Stammfunktion von f ist. Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals 40 f(x)dx und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.


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