Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion $f$ sowie die Gleichung der Asymptote von $G_f$. Begründen Sie, ob sich $G_f$ für $x\to -\infty$ von oben bzw. von unten an seine Asymptote annähert.

Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_f$. Runden Sie die Koordinaten auf zwei Nachkommastellen.

[Mögliches Teilergebnis: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-6x^2-24x-12}{(x^2+4x+6{)}^2}}$ ]

Gegeben ist die zweite Ableitungsfunktion $f^{\prime \prime }$ durch die Gleichung

$f^{\prime \prime }(x)$$=$${\displaystyle \frac{12(x+2)[x-(-2-\sqrt{6})][x-(-2+\sqrt{6})]}{(x^2+4x+6{)}^3}}$ mit der Definitionsmenge $D_f^{\prime \prime }=ℝ.$

(Nachweis nicht erforderlich!). Begründen Sie, dass die Funktion $f$ drei Wendestellen besitzt. Lesen Sie die x-Koordinaten der Wendepunkte von $G_f$ ab und geben Sie diese an. Bestimmen Sie die y-Koordinaten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Zeichnen Sie den Graphen $G_f$ im Bereich $-9\le x\le 5$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem.

Gegeben ist die Funktion $F:x\to$ $3\ln (x^2+4x+6)$ mit der Definitionsmenge $D_F=ℝ$. Zeigen Sie, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals ${\int }_{-4}^{0}f(x)\mathrm{d}x$ und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.