Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von $f$ bei links- und rechtsseitiger Annäherung an die Definitionslücke $x=0$ und ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten von $G_f$.

Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ keine Nullstellen besitzt.

Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und Koordinaten aller Extrempunkte von $G_f$.

[ Mögliches Teilergebnis: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-x^2+1}{x^2}}$ ]

Zeichnen Sie den Graphen $G_f$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie alle Asymptoten für $-5\le x\le 5$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

Es wird nun die Funktion $g:x\mapsto \ln (f(x))$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_g\subset ℝ$ betrachtet. Der Graph von $g$ wird mit $G_g$ bezeichnet. Zur Beantwortung der folgenden Teilaufgaben können die Ergebnisse aus vorherigen Aufgaben verwendet werden.

1) Geben Sie $D_g$ an und bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion $g$.

2) Ermitteln Sie die Art und die Koordinaten des Extrempunkts von $G_g$ und zeichnen Sie $G_g$ in das Koordinatensystem der Teilaufgabe (d).