Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von $ff$ bei links- und rechtsseitiger Annäherung an die Definitionslücke $x=0x\; =\; 0$ und ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten von $G_{f}G\_f$.

Zeigen Sie, dass die Funktion $ff$ keine Nullstellen besitzt.

Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und Koordinaten aller Extrempunkte von $G_{f}G\_f$.

[ Mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-x^2+1}{x^2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{-x^2+1\}\{x^2\}$ ]

Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}G\_f$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie alle Asymptoten für $-5\le x\le 5-5\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 5$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

Es wird nun die Funktion $g:x\mapsto \ln (f(x))g\; :\; x\backslash mapsto\; \backslash ln(f(x))$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_g\subset \mathbb{R}D\_g\backslash subset\backslash mathbb\{R\}$ betrachtet. Der Graph von $gg$ wird mit $G_{g}G\_g$ bezeichnet. Zur Beantwortung der folgenden Teilaufgaben können die Ergebnisse aus vorherigen Aufgaben verwendet werden.

1) Geben Sie $D_{g}D\_g$ an und bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion $gg$.

2) Ermitteln Sie die Art und die Koordinaten des Extrempunkts von $G_{g}G\_g$ und zeichnen Sie $G_{g}G\_g$ in das Koordinatensystem der Teilaufgabe (d).