Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $f$ bei links- und rechtsseitiger Annäherung an die Definitionslücke $x=0$

Berechne $${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{\stackrel{\to -1}{\overbrace{-x^2-x-1}}}{\underset{\to 0^{-}}{\underbrace{x}}}}=\infty }$$ und $${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{\stackrel{\to -1}{\overbrace{-x^2-x-1}}}{\underset{\to 0^{+}}{\underbrace{x}}}}=-\infty }$$

Ermittle die Gleichungen aller Asymptoten von $G_f$

$G_f$ hat eine senkrechte Asymptote bei $x=0$.

Es ist $f(x)={\displaystyle \frac{-x^2-x-1}{x}}=-x-1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\Rightarrow y_A=-x-1$

$G_f$ hat eine schräge Asymptote mit der Gleichung $y_A=-x-1$.

Zeige, dass die Funktion $f$ keine Nullstellen besitzt

Der Zähler besitzt keine Nullstelle.

$0=-x^2-x-1\Rightarrow$$D=(-1{)}^2-4\cdot (-1)\cdot (-1)=-3<0$, also keine Lösung der quadratischen Gleichung.

Bestimme die maximalen Monotonieintervalle

Berechne $f^{\prime }(x)$:

$f(x)=-x-1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\Rightarrow f^{\prime }(x)=-1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{-x^2+1}{x^2}}✓$

Löse die Gleichung $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=-x^2+1\Rightarrow x=-1\vee x=1$

Erstelle eine Monotonietabelle:

$G_f$ ist streng monoton fallend in $]-\infty ;-1]$ bzw. in $[1;\infty [$.

$G_f$ ist streng monoton steigend in $[-1;0[$ bzw. in $]0;1]$.

Bestimme die Art und Koordinaten aller Extrempunkte von $G_f$

$f(-1)={\displaystyle \frac{-(-1{)}^2-(-1)-1}{-1}}=1\Rightarrow TP(-1|1)$

$f(1)={\displaystyle \frac{-1^2-1-1}{1}}=-3\Rightarrow HP(1|-3)$

Zeichne den Graphen $G_f$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie alle Asymptoten für $-5\le x\le 5$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle.

Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie. Zeichne auch die beiden Asymptoten ein.

1) Gib $D_g$ an und bestimme die Nullstelle der Funktion $g$

Gegeben: $g(x)=\ln (f(x))=\ln \left({\displaystyle \frac{-x^2-x-1}{x}}\right)$

$D_g=]-\infty ;0[={ℝ}^{-}$

Nullstelle der Funktion $g$:

Es gilt: $f(x)=1,$ da $\ln 1=0$.

Die Gleichung $(x+1{)}^2=0$ hat die Lösung $x_{\mathrm{1,2}}=-1$ (doppelte Nullstelle).

Die Nullstelle der Funktion $g$ ist $x_{\mathrm{1,2}}=-1$.

2) Ermittle die Art und die Koordinaten des Extrempunkts von $G_g$

Bei einer doppelten Nullstelle findet man einen Extremwert auf der x-Achse.

Hier ist es ein Tiefpunkt mit $TP(-1|0)$.

Anmerkung: $f(-2)\approx \mathrm{0,4}>0$ und $f(-\mathrm{0,5})\approx \mathrm{0,4}>0$.

Alternativ kann auch $g^{\prime }(x)$ berechnet werden (beachte die Kettenregel).

$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{f(x)}}\cdot f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{-x^2+1}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{-x^2-x-1}{x}}}}={\displaystyle \frac{-x^2+1}{x^2}}\cdot {\displaystyle \frac{x}{-x^2-x-1}}={\displaystyle \frac{-x^2+1}{x(-x^2-x-1)}}$

$g^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=-x^2+1\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1$

Die Lösung $x=1$ entfällt, da $1\notin D_g$.

$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-x^2+1}{\underset{+}{\underbrace{x(-x^2-x-1)}}}}$; $g^{\prime }(x)<0$ für $x<-1$ und $g^{\prime }(x)>0$ für $x>-1\Rightarrow TP(-1|0)$

Zeichne $G_g$ in das Koordinatensystem der Teilaufgabe d)

Erstelle eine Wertetabelle: