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Teil 2 Analysis II

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Bei der Bearbeitung der Aufgaben dĂŒrfen Hilfsmittel verwendet werden.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x→−x2−x−1xf:x\rightarrow \dfrac{-x^2-x-1}{x} mit der Definitionsmenge Df=RD_f=\mathbb{R} ∖{0}\setminus \{0\}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von ff bei links- und rechtsseitiger AnnĂ€herung an die DefinitionslĂŒcke x=0x = 0 und ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten von GfG_f.

    2. Zeigen Sie, dass die Funktion ff keine Nullstellen besitzt.

    3. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und Koordinaten aller Extrempunkte von GfG_f.

      [ Mögliches Teilergebnis: fâ€Č(x)=−x2+1x2f'(x)=\dfrac{-x^2+1}{x^2} ]

    4. Zeichnen Sie den Graphen GfG_f unter BerĂŒcksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie alle Asymptoten fĂŒr −5≀x≀5-5 \le x \le 5 in ein kartesisches Koordinatensystem.

    5. Es wird nun die Funktion g:x↩ln⁥(f(x))g : x\mapsto \ln(f(x)) mit ihrer maximalen Definitionsmenge Dg⊂RD_g\subset\mathbb{R} betrachtet. Der Graph von gg wird mit GgG_g bezeichnet. Zur Beantwortung der folgenden Teilaufgaben können die Ergebnisse aus vorherigen Aufgaben verwendet werden.

      1) Geben Sie DgD_g an und bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion gg.

      2) Ermitteln Sie die Art und die Koordinaten des Extrempunkts von GgG_g und zeichnen Sie GgG_g in das Koordinatensystem der Teilaufgabe (d).

  2. 2

    In einem Freizeitbad wird eine schnell wachsende Bambusart gepflanzt, die als Sichtschutz dienen soll. Die Modellfunktion BB mit der Gleichung B(t)=A2+98ectB(t)=\dfrac{A}{2+98e^{ct}} und t∈Ro+t\in\mathbb{R_o^+ } sowie A,c∈RA,c\in \mathbb{R} beschreibt nÀherungsweise die Höhe der Bambuspflanzen in Zentimeter. Dabei gibt tt die Zeit nach der Pflanzung in Tagen an. Die Pflanzung findet zum Zeitpunkt t=0t = 0 statt. Bei Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.

    1. Ermitteln Sie die Werte der Parameter AA und c, wenn die Bambushöhe am Pflanztag

      4 cm betrÀgt und der Bambus 20 Tage nach der Pflanzung bereits 1 m hoch ist.

      [Mögliche Ergebnisse: A=400A =400; c≈−0,2]c\approx -0{,}2 ]

    2. Um einen ausreichenden Sichtschutz der BadegĂ€ste zu gewĂ€hrleisten, mĂŒssen die Bambuspflanzen mindestens 170 cm hoch sein. Ermitteln Sie, am wievielten Tag nach der Pflanzung die Bambuspflanzen eine Höhe von 170 cm erreichen.

    3. Bestimmen Sie, welche Höhe die Bambuspflanzen nach langer Zeit erreichen.

    4. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion BB.

    5. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion BB fĂŒr t∈[0;80]t\in[0;80] unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. WĂ€hlen Sie auf beiden Achsen einen geeigneten Maßstab.


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