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In einem Freizeitbad wird eine schnell wachsende Bambusart gepflanzt, die als Sichtschutz dienen soll. Die Modellfunktion BB mit der Gleichung B(t)=A2+98ectB(t)=\dfrac{A}{2+98e^{ct}} und t∈Ro+t\in\mathbb{R_o^+ } sowie A,c∈RA,c\in \mathbb{R} beschreibt näherungsweise die Höhe der Bambuspflanzen in Zentimeter. Dabei gibt tt die Zeit nach der Pflanzung in Tagen an. Die Pflanzung findet zum Zeitpunkt t=0t = 0 statt. Bei Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.

  1. Ermitteln Sie die Werte der Parameter AA und c, wenn die Bambushöhe am Pflanztag

    4 cm beträgt und der Bambus 20 Tage nach der Pflanzung bereits 1 m hoch ist.

    [Mögliche Ergebnisse: A=400A =400; c≈−0,2]c\approx -0{,}2 ]

  2. Um einen ausreichenden Sichtschutz der Badegäste zu gewährleisten, müssen die Bambuspflanzen mindestens 170 cm hoch sein. Ermitteln Sie, am wievielten Tag nach der Pflanzung die Bambuspflanzen eine Höhe von 170 cm erreichen.

  3. Bestimmen Sie, welche Höhe die Bambuspflanzen nach langer Zeit erreichen.

  4. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion BB.

  5. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion BB für t∈[0;80]t\in[0;80] unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. Wählen Sie auf beiden Achsen einen geeigneten Maßstab.