Untersuchen Sie die Funktion $ff$ auf Nullstellen.

Geben Sie Art und Gleichung der Asymptote von $G_{f}G\_f$ an und bestimmen Sie die Koordinaten möglicher gemeinsamer Punkte des Graphen $G_{f}G\_f$ mit seiner Asymptote.

Ermitteln Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte von $G_{f}G\_f$.

[ Mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3x^2-3}{(x^2+1{)}^2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{3x^2-3\}\{(x^2+1)^2\}$ ]

Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}G\_f$ und seine Asymptote im Bereich $-4\le x\le 7-4\backslash le\; x\backslash le\; 7$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

Zeigen Sie, dass die Funktion $F:x\mapsto \mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}\cdot \ln (x^2+1)F:x\backslash mapsto\; 0\{,\}5x-1\{,\}5\backslash cdot\backslash ln(x^2+1)$ mit $D_f=\mathbb{R}D\_f=\backslash mathbb\{R\}$ eine Stammfunktion von $ff$ ist.

Der Graph der Funktion $ff$, seine Asymptote und die Gerade mit der Gleichung $x=3x=3$schließen ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung der Teilaufgabe 1.d und berechnen Sie die exakte Maßzahl seines Flächeninhalts.

Es gilt ${\int }_{-3}^3(\mathrm{0,5}-f(x))\mathrm{d}x=0\backslash int\_\{-3\}^\{3\}\; (0\{,\}5-f(x))\; \backslash mathrm\{d\}x=0$ (Nachweis nicht nötig!). Deuten Sie dieses Ergebnis geometrisch.