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Gegeben ist die Funktion $f: x\mapsto \dfrac{0{,}5x^2-3x+0{,}5}{x^2+1}$ mit der maximalen Definitionsmeng $D_f=\mathbb{R}$ . Der Graph von $f$ wird mit $G_{f}$ bezeichnet.
1. Untersuchen Sie die Funktion $f$ auf Nullstellen.
2. Geben Sie Art und Gleichung der Asymptote von $G_{f}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten möglicher gemeinsamer Punkte des Graphen $G_{f}$ mit seiner Asymptote.
3. Ermitteln Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte von $G_{f}$ .
  [ Mögliches Teilergebnis: $f'(x)=\dfrac{3x^2-3}{(x^2+1)^2}$ ]
4. Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}$ und seine Asymptote im Bereich $-4\le x\le 7$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
5. Zeigen Sie, dass die Funktion $F:x\mapsto 0{,}5x-1{,}5\cdot\ln(x^2+1)$ mit $D_f=\mathbb{R}$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
6. Der Graph der Funktion $f$ , seine Asymptote und die Gerade mit der Gleichung $x = 3$ schließen ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung der Teilaufgabe 1.d und berechnen Sie die exakte Maßzahl seines Flächeninhalts.
7. Es gilt $\int_{-3}^{3} (0{,}5-f(x)) \mathrm{d}x=0$ (Nachweis nicht nötig!). Deuten Sie dieses Ergebnis geometrisch.
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Gegeben ist die reelle Funktion $h$ mit $h(x)=\ln(-x^2+2x)$ und der maximalen Definitionsmenge $D_{h} =] 0; 2 [$ . Ihr Graph wird mit $G_{h}$ bezeichnet.
1. Bestimmen Sie die Nullstelle von $h$ . Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von $h$ an den Rändern der Definitionsmenge.
2. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle und bestimmen Sie die Art und Koordinaten des Extrempunktes von $G_{h}$ .
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Die folgende Tabelle gibt die Entwicklung der Gesamtlänge aller Autobahnen in der Bundesrepublik Deutschland ab dem Jahresende 1950 bis 1990 an.
(Quelle: Statistisches Bundesamt):
Ausgehend von den Tabellenwerten kann die Gesamtlänge aller Autobahnen ab 1950 modelliert werden durch die reelle Funktion $L$ mit der Gleichung $L(t)=\dfrac{7500\cdot a}{a+e^{-kt}}+2000$ wobei $t \ge 0$ . Dabei gibt $t$ die Zeit in Jahren ab dem Jahresende 1950 und $L (t)$ die Länge des Autobahnnetzes in Kilometern an. Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
1. Bestimmen Sie mithilfe der Werte aus den Jahren 1950 und 1990 die Werte der Parameter a und k. $(4 B E)$
  [ Ergebnisse: $a\approx 0{,}017; k\approx 0{,}16$ ]
2. Das Modell wird als aussagekräftig und realitätsnah eingestuft, wenn die berechneten Werte von den tatsächlichen um weniger als 5 % abweichen. Zur Überprüfung werden in der folgenden Tabelle die beiden Hilfsfunktionen $U$ und $O$ mit $U(t)=0{,}95\cdot L(t)$ bzw. $O(t)=1{,}05\cdot L(t)$ herangezogen.
  Übertragen Sie die Tabelle auf Ihr Bearbeitungsblatt und berechnen Sie die fehlenden Werte. Beurteilen Sie, ob das Modell somit die genannten Kriterien erfüllt.
3. Bestimmen Sie das Jahr, in dem nach diesem Modell die Gesamtlänge von 7500 km überschritten wurde.
4. Berechnen Sie die Wendestelle $t_{W}$ der Funktion $L$ und geben Sie das zugehörige Jahr an. Verwenden Sie hierzu ohne Nachweis $\ddot{L}(t)=\dfrac{-0{,}3264e^{-0{,}16t}(0{,}017-e^{-0{,}16t})}{(0{,}017+e^{-0{,}16t})^3}$ . Berechnen Sie außerdem $\dot{L}(t_w)$ und interpretieren Sie die Ergebnisse im Sachzusammenhang.
5. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $L$ für $0\le t\le 40$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
6. Bestimmen Sie den Grenzwert $\lim\limits_{t\rightarrow-\infty}L(t)$ und interpretieren Sie diesen im Sachzusammenhang. Tatsächlich ist die Gesamtlänge aller Autobahnen nach 1990 stärker angewachsen, als nach dem Modell zu erwarten gewesen wäre. Nennen Sie einen möglichen Grund hierfür.

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