A II - lernen mit Serlo!

Zur Bekämpfung von Schädlingsfliegen werden auf einer Insel unfruchtbare Fliegen-Männchen ausgesetzt. Im Folgenden wird die gesamte Fliegenpopulation $p$ in Abhängigkeit von der Zeit $t\ge 0$ durch $p(t)=10\cdot e^{-0{,}002t^2+0{,}06t+c}$ mit $c\in\mathbb{R}$ modelliert. Dabei ist $t = 0$ der Zeitpunkt, zu dem die Kiste mit den unfruchtbaren Fliegen-Männchen geöffnet wird. Die Population $p$ wird in Millionen Stück und die Zeit $t$ in Tagen angegeben. Auf das Mitführen von Einheiten kann verzichtet werden. Alle Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen zu runden.

Beim Öffnen der Kiste beträgt die Gesamtpopulation inklusive der ausgesetzten Männchen $6,38$ Millionen Fliegen. Berechnen Sie den Wert des Parameters $c$ auf zwei Nachkommastellen gerundet.
[ Ergebnis: $c = - 0,45$ ]
Zeigen Sie, dass die Population nach einigen Tagen ihren absoluten Höchststand erreicht. Bestimmen Sie diesen Höchststand und den dazugehörigen Zeitpunkt.
[ mögliches Teilergebnis: $p(t)=(0{,}6-0{,}04t)\cdot e^{0{,}002t^2+0{,}06t-0{,}45}$ ]
Zum Zeitpunkt $t_W = 30{,}81$ (Tage) weist die Funktion $p$ eine Wendestelle auf (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Differenz $p(t_W+0{,}5)-p(t_W-0{,}5)$ und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.
Zeichnen Sie für $0\le t\le 60$ auch unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen von $p$ . Erreicht $p$ den Wert $0,5$ Millionen, gelten die Fliegen als ausgerottet. Bestimmen Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise aus Ihrer Zeichnung.
Maßstab auf der $t$ -Achse: $1 \cm ≙ 5$ Tage,
Maßstab auf der $p$ -Achse: $1 \cm ≙ 1$ Million Fliegen.
Die durchschnittliche Population $\overline p$ über einen Zeitraum $[t_{1}; t_{2}]$ beträgt $\overline p=\dfrac{1}{t_2-t_1}\cdot \int_{t_1}^{t_2}p(t) \mathrm{d}t$ . Im Folgenden soll $\overline p$ über den Zeitraum $[15; 35]$ geschätzt werden: Markieren Sie dazu ein geeignetes Flächenstück in der Zeichnung aus Teilaufgabe 3.d). Schätzen Sie die Maßzahl $A$ dieses Flächenstücks aus der Zeichnung heraus ab und berechnen Sie damit einen Näherungswert für $\overline p$ .