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1
Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{2 (x - 3) (x - 2)}$ in der maximalen Definitionsmenge
$D_{f} =$ $ℝ$ \{2;3).
1. Ermitteln Sie die Art der beiden Definitionslücken.
2. Zeigen Sie, dass gilt: $(x^{3} - 3 x^{2} + 4) : (x - 2) = x^{2} - x - 2$ . Untersuchen Sie die Funktion $f$ auf Nullstellen.
3. Im Folgenden wird die Funktion $g : x \mapsto \frac{1}{2} x + 1 + \frac{2}{x - 3}$ mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ \{2;3}
  (1) Stellen Sie durch geeignete Umformung den Zusammenhang zwischen den Funktionen $f$ aus 1 und $g$ aus 1.3.c) her. Geben Sie die Bedeutung der Funktion $g$ für die Funktion $f$ an.
  (2) Geben Sie die Nullstellen von $g$ und die Gleichungen sowie die Art der Asymptoten des Graphen $G_{g}$ an.
  (3) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$ und geben Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen $G_{g}$ an.
  [ mögliches Teilergebnis: $g^{'} (x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{(x - 3)^{2}}$ ]
  (4) Zeichnen Sie $G_{g}$ mit seinen Asymptoten für $- 2 \leq x \leq 8$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
  (5) Bestimmen Sie die Wertemenge der Ableitungsfunktion $g^{'}$ .
  (6) Der Graph $G_{g}$ schließt mit der $x$ -Achse ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl dessen Flächeninhalts.
2
Betrachtet wird nun die Funktion $h : x \mapsto \ln (2 \cdot g (x))$ in der Definitionsmenge $D_{h} =] - 1; 2] \cup] 3; \infty [$ , wobei $g (x)$ der Funktionsterm aus Teilaufgabe 1.c) ist. Der Graph von $h$ heißt $G_{h}$ .
1. Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte $h (x)$ bei Annäherung an die Grenzen der Definitionsmenge.
2. Zeigen Sie, dass für die Wertemenge von $h$ gilt: $W_{h} = ℝ$ \ ] $0; \ln (9)$ [. Verwenden Sie dazu auch die bisherigen Ergebnisse von Aufgabe 1.c) und Aufgabe 2.a).
3
Zur Bekämpfung von Schädlingsfliegen werden auf einer Insel unfruchtbare Fliegen-Männchen ausgesetzt. Im Folgenden wird die gesamte Fliegenpopulation $p$ in Abhängigkeit von der Zeit $t \geq 0$ durch $p (t) = 10 \cdot e^{- 0,002 t^{2} + 0,06 t + c}$ mit $c \in ℝ$ modelliert. Dabei ist $t = 0$ der Zeitpunkt, zu dem die Kiste mit den unfruchtbaren Fliegen-Männchen geöffnet wird. Die Population $p$ wird in Millionen Stück und die Zeit $t$ in Tagen angegeben. Auf das Mitführen von Einheiten kann verzichtet werden. Alle Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen zu runden.
1. Beim Öffnen der Kiste beträgt die Gesamtpopulation inklusive der ausgesetzten Männchen $6,38$ Millionen Fliegen. Berechnen Sie den Wert des Parameters $c$ auf zwei Nachkommastellen gerundet.
  [ Ergebnis: $c = - 0,45$ ]
2. Zeigen Sie, dass die Population nach einigen Tagen ihren absoluten Höchststand erreicht. Bestimmen Sie diesen Höchststand und den dazugehörigen Zeitpunkt.
  [ mögliches Teilergebnis: $p (t) = (0,6 - 0,04 t) \cdot e^{0,002 t^{2} + 0,06 t - 0,45}$ ]
3. Zum Zeitpunkt $t_{W} = 30,81$ (Tage) weist die Funktion $p$ eine Wendestelle auf (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Differenz $p (t_{W} + 0,5) - p (t_{W} - 0,5)$ und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.
4. Zeichnen Sie für $0 \leq t \leq 60$ auch unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen von $p$ . Erreicht $p$ den Wert $0,5$ Millionen, gelten die Fliegen als ausgerottet. Bestimmen Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise aus Ihrer Zeichnung.
  Maßstab auf der $t$ -Achse: $1 cm ≙ 5$ Tage,
  Maßstab auf der $p$ -Achse: $1 cm ≙ 1$ Million Fliegen.
5. Die durchschnittliche Population $p$ über einen Zeitraum $[t_{1}; t_{2}]$ beträgt $p = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \cdot \int_{t_{1}}^{t_{2}} p (t) d t$ . Im Folgenden soll $p$ über den Zeitraum $[15; 35]$ geschätzt werden: Markieren Sie dazu ein geeignetes Flächenstück in der Zeichnung aus Teilaufgabe 3.d). Schätzen Sie die Maßzahl $A$ dieses Flächenstücks aus der Zeichnung heraus ab und berechnen Sie damit einen Näherungswert für $p$ .

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