A II

Ermitteln Sie die Art der beiden Definitionslücken.

Zeigen Sie, dass gilt: $(x^3-3x^2+4):(x-2)=x^2-x-2(x^3-3x^2+4):(x-2)=x^2-x-2$. Untersuchen Sie die Funktion $ff$ auf Nullstellen.

Im Folgenden wird die Funktion $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2}}x+1+{\displaystyle \frac{2}{x-3}}g:x\backslash mapsto\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}x+1+\backslash dfrac\{2\}\{x-3\}$ mit der Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}D\_f=\backslash mathbb\{R\}$ \{2;3}

(1) Stellen Sie durch geeignete Umformung den Zusammenhang zwischen den Funktionen $ff$ aus 1 und $gg$ aus 1.3.c) her. Geben Sie die Bedeutung der Funktion $gg$ für die Funktion $ff$ an.

(2) Geben Sie die Nullstellen von $gg$ und die Gleichungen sowie die Art der Asymptoten des Graphen $G_{g}G\_g$ an.

(3) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $ff$ und geben Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen $G_{g}G\_g$ an.

[ mögliches Teilergebnis: $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{(x-3{)}^2}}g\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}-\backslash dfrac\{2\}\{(x-3)^2\}$ ]

(4) Zeichnen Sie $G_{g}G\_g$ mit seinen Asymptoten für $-2\le x\le 8-2\; \le \; x\; \le \; 8$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

(5) Bestimmen Sie die Wertemenge der Ableitungsfunktion $g^{\mathrm{\prime }}g\; \text{'}$.

(6) Der Graph $G_{g}G\_g$ schließt mit der $xx$-Achse ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl dessen Flächeninhalts.

Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte $h(x)h(x)$ bei Annäherung an die Grenzen der Definitionsmenge.

Zeigen Sie, dass für die Wertemenge von $hh$ gilt: $W_h=\mathbb{R}W\_h\; =\; \backslash mathbb\{R\}$\ ] $0;\ln (9)0;\backslash ln(9)$ [. Verwenden Sie dazu auch die bisherigen Ergebnisse von Aufgabe 1.c) und Aufgabe 2.a).

Beim Öffnen der Kiste beträgt die Gesamtpopulation inklusive der ausgesetzten Männchen $\mathrm{6,38}6\{,\}38$ Millionen Fliegen. Berechnen Sie den Wert des Parameters $cc$ auf zwei Nachkommastellen gerundet.

[ Ergebnis: $c=-\mathrm{0,45}c=-0\{,\}45$ ]

Zeigen Sie, dass die Population nach einigen Tagen ihren absoluten Höchststand erreicht. Bestimmen Sie diesen Höchststand und den dazugehörigen Zeitpunkt.

[ mögliches Teilergebnis: $p(t)=(\mathrm{0,6}-\mathrm{0,04}t)\cdot e^{\mathrm{0,002}{t}^2+\mathrm{0,06}t-\mathrm{0,45}}p(t)=(0\{,\}6-0\{,\}04t)\backslash cdot\; e^\{0\{,\}002t^2+0\{,\}06t-0\{,\}45\}$ ]

Zum Zeitpunkt $t_W=\mathrm{30,81}t\_W\; =\; 30\{,\}81$ (Tage) weist die Funktion $pp$ eine Wendestelle auf (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Differenz $p(t_W+\mathrm{0,5})-p(t_W-\mathrm{0,5})p(t\_W+0\{,\}5)-p(t\_W-0\{,\}5)$ und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.

Zeichnen Sie für $0\le t\le 600\backslash le\; t\backslash le\; 60$ auch unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen von $pp$. Erreicht $pp$ den Wert $\mathrm{0,5}0\{,\}5$ Millionen, gelten die Fliegen als ausgerottet. Bestimmen Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise aus Ihrer Zeichnung.

Maßstab auf der $tt$-Achse: $1\text{ cm}\mathrm{\stackrel{\frown}{=}}51\; \backslash cm\; \stackrel{\wedge}{=}\; 5$ Tage,

Maßstab auf der $pp$-Achse: $1\text{ cm}\mathrm{\stackrel{\frown}{=}}11\; \backslash cm\; \stackrel{\wedge}{=}\; 1$ Million Fliegen.

Die durchschnittliche Population $\bar{p}\backslash overline\; p$ über einen Zeitraum $[t_1;t_2][t\_1;t\_2]$ beträgt $\bar{p}={\displaystyle \frac{1}{t_2-t_1}}\cdot {\int }_{t_1}^{t_2}p(t)\mathrm{d}t\backslash overline\; p=\backslash dfrac\{1\}\{t\_2-t\_1\}\backslash cdot\; \backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}p(t)\; \backslash mathrm\{d\}t$. Im Folgenden soll $\bar{p}\backslash overline\; p$ über den Zeitraum $[15;35][15;\; 35]$ geschätzt werden: Markieren Sie dazu ein geeignetes Flächenstück in der Zeichnung aus Teilaufgabe 3.d). Schätzen Sie die Maßzahl $AA$ dieses Flächenstücks aus der Zeichnung heraus ab und berechnen Sie damit einen Näherungswert für $\bar{p}\backslash overline\; p$.