Zur Erinnerung: Eine ganzrationale Funktion (auch: Polynomfunktion) ist von der Form:

$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots +a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_{0}f(x)\; =\; \backslash color\{\#cc0000\}\{a\_n\}\; \backslash cdot\; x^\{\backslash color\{\#009999\}\{n\}\}+\; \backslash color\{\#cc0000\}\{a\_\{n-1\}\}\backslash cdot\; x^\{\backslash color\{\#009999\}\{\{n-1\}\}\}+\dots +\backslash color\{\#cc0000\}\{a\_2\}\; \backslash cdot\; x^\{\backslash color\{\#009999\}\{2\}\}+\backslash color\{\#cc0000\}\{\{a\_1\}\}\; \backslash cdot\; x+\backslash color\{\#cc0000\}\{a\_0\}$

Begründung der Aussage

Die Aussage ist wahr. Eine mögliche Begründung hierfür funktioniert wie folgt:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur

$yy$-Achse, wenn alle vorkommenden Exponenten gerade sind. Wenn du das noch nicht wusstest, dann hilft dir der Artikel zur Symmetrie von Graphen. Es gilt also:

Ist ${\mathbf{G}}_{\mathbf{h}}\backslash mathbf\{G\_h\}$ achsensymmetrisch zur y-Achse, dann sind alle Exponenten von h gerade.

Beim Ableiten einer ganzrationalen Funktion verringert sich jeder Exponent um $11$ und der Term $a_{0}a\_0$ fällt weg. Wenn du das noch nicht wusstest, hilft dir der Artikel zum Ableiten von Potenzfunktionen. Daraus folgt:

Sind alle Exponenten von $\mathbf{h}\backslash mathbf\{h\}$ gerade, so sind alle Exponenten von ${\mathbf{h}}^{\mathbf{\prime }}\backslash mathbf\{h\text{'}\}$ ungerade.

(Denn eine gerade Zahl minus eine ungerade Zahl ist wieder eine ungerade Zahl. Und die $11$ ist ungerade).

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle vorkommenden Exponenten ungerade sind. Wenn du das noch nicht wusstest, hilft dir ebenfalls der Artikel zur Symmetrie von Graphen. Also gilt Folgendes:

Sind alle Exponenten von ${\mathbf{h}}^{\mathbf{\prime }}\backslash mathbf\{h\text{'}\}$ ungerade, so ist ${\mathbf{G}}_{{\mathbf{h}}^{\mathbf{\prime }}}\backslash mathbf\{G\_\{h\text{'}\}\}$ punktsymmetrisch zum Ursprung

Also gilt: Ist $G_{h}G\_h$ achsensymmetrisch zur $yy$-Achse, so ist $G_{h^{\mathrm{\prime }}}G\_\{h\text{'}\}$ punktsymmetrisch zum Ursprung. Das war zu zeigen.