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đ PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern
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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.
- 1
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades mit ist symmetrisch zur Achse und hat einen Wendepunkt . Die Tangente im Punkt besitzt die Gleichung mit
Bestimmen Sie den Funktionsterm . [Mögliches Ergebnis: ]
Ermitteln Sie sĂ€mtliche Nullstellen der Funktion und deren Vielfachheit. ErklĂ€ren Sie die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen fĂŒr den Graphen .
Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen .
BegrĂŒnden Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph genau zwei Wendepunkte besitzt und geben Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an. Berechnen Sie auch die -Koordinaten sĂ€mtlicher Punkte von , welche die gleichen -Koordinaten wie die Wendepunkte haben.
Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem. FĂŒr weitere Teilaufgaben wird auf der -Achse der Bereich benötigt.
MaĂstab: 1 LE = .
Zeigen Sie, dass an der Stelle die Gleichung gilt und bestimmen Sie alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft. ErklĂ€ren Sie, was das Ergebnis fĂŒr den Graphen bedeutet.
Geben Sie exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion an und zeichnen Sie den Graphen im Bereich in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein.
Die Graphen und schlieĂen ein endliches FlĂ€chenstĂŒck ein, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Markieren Sie dieses FlĂ€chenstĂŒck und berechnen Sie die MaĂzahl seines Inhalts.
- 2
BegrĂŒnden oder widerlegen Sie folgende Aussage: Ist der Graph einer ganzrationalen Funktion symmetrisch zur -Achse, dann ist der Graph der ersten Ableitungsfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
- 3
Ein Designstudio hat eine Nachttischleuchte entworfen. Diese besteht aus einem halbkugelförmigen Schirm mit Radius und einem Leuchtenfuà in der Form eines geraden Kreiskegels mit der Höhe und dem Durchmesser in der GrundflÀche (siehe Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.
Bestimmen Sie die MaĂzahl des Volumens des FuĂes der Leuchte in AbhĂ€ngigkeit von .
[Mögliches Ergebnis: ]
Aus technischen GrĂŒnden wird fĂŒr die Funktion als Definitionsbereich gewĂ€hlt. Bestimmen Sie die Höhe des LeuchtenfuĂes so, dass die MaĂzahl seines Volumens den absolut gröĂten Wert annimmt. Nach Auffassung der Designer wĂŒrde dann die Leuchte die ansprechendsten Proportionen besitzen.
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