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🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Der Graph GfG_f einer ganzrationalen Funktion ff vierten Grades mit Df=RD_f=\mathbb{R} ist symmetrisch zur y−y-Achse und hat einen Wendepunkt W1(1∣2,5)W_1(1 | 2, 5). Die Tangente GtG_t im Punkt W1W_1 besitzt die Gleichung t:y=4x−1,5t:y= 4x-1, 5 mit x∈R.x\in \mathbb{R}.

    1. Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x)f(x). [Mögliches Ergebnis: f(x)=12(x4−6x2)f(x)=\dfrac{1}{2}(x^4-6x^2)]

    2. Ermitteln Sie sĂ€mtliche Nullstellen der Funktion ff und deren Vielfachheit. ErklĂ€ren Sie die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen fĂŒr den Graphen GfG_f.

    3. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion ff sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen GfG_f.

    4. BegrĂŒnden Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph GfG_f genau zwei Wendepunkte besitzt und geben Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an. Berechnen Sie auch die xx-Koordinaten sĂ€mtlicher Punkte von GfG_f, welche die gleichen yy-Koordinaten wie die Wendepunkte haben.

    5. Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen GfG_f im Bereich −2,5≀x≀2,5-2{,}5\le x\le 2{,}5 in ein kartesisches Koordinatensystem. FĂŒr weitere Teilaufgaben wird auf der yy-Achse der Bereich −5≀y≀5-5\le y\le 5 benötigt.

      Maßstab: 1 LE = 1 cm1 \cm.

    6. Zeigen Sie, dass an der Stelle x=−2x=-2 die Gleichung f(x)−fâ€Č(x)=0f(x)-f'(x)=0 gilt und bestimmen Sie alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft. ErklĂ€ren Sie, was das Ergebnis fĂŒr den Graphen GfG_f bedeutet.

    7. Geben Sie exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion fâ€Čf' an und zeichnen Sie den Graphen Gfâ€ČG_{f'} im Bereich −2≀x≀2-2\le x\le 2 in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein.

    8. Die Graphen GfG_f und Gfâ€ČG_{f'} schließen ein endliches FlĂ€chenstĂŒck ein, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Markieren Sie dieses FlĂ€chenstĂŒck und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.

  2. 2

    BegrĂŒnden oder widerlegen Sie folgende Aussage: Ist der Graph GhG_h einer ganzrationalen Funktion hh symmetrisch zur yy-Achse, dann ist der Graph GhG_h der ersten Ableitungsfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  3. 3

    Ein Designstudio hat eine Nachttischleuchte entworfen. Diese besteht aus einem halbkugelförmigen Schirm mit Radius r=12 cmr=12\cm und einem Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels mit der Höhe hh und dem Durchmesser bb in der GrundflĂ€che (siehe Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

    Bild
    1. Bestimmen Sie die Maßzahl V(h)V(h) des Volumens des Fußes der Leuchte in AbhĂ€ngigkeit von hh.

      [Mögliches Ergebnis: V(h=π3(−h3+144h)V(h=\dfrac{\pi}{3}(-h^3+144h)]

    2. Aus technischen GrĂŒnden wird fĂŒr die Funktion V:h↩V(h)V:h\mapsto V(h) als Definitionsbereich DV=[2;8]D_V=[2; 8] gewĂ€hlt. Bestimmen Sie die Höhe hh des Leuchtenfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut grĂ¶ĂŸten Wert annimmt. Nach Auffassung der Designer wĂŒrde dann die Leuchte die ansprechendsten Proportionen besitzen.


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