A II

Bestimme den Funktionsterm $f(x)f(x)$

Wegen der Symmetrie zur y-Achse besteht der gesuchte Funktionsterm nur aus geraden Potenzen von $xx$.

$f(x)=a{x}^4+c{x}^2+ef(x)=ax^4+cx^2+e$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4a{x}^3+2cxf\text{'}(x)=4ax^3+2cx$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x=12a{x}^2+2cf\text{'}\text{'}(x=12ax^2+2c$

$(\mathrm{I})W_1(1\mid \mathrm{2,5})\Rightarrow \mathrm{2,5}=a+c+e\backslash mathrm\{(I)\}\backslash ;\backslash ;W\_1(1\backslash mid\; 2\{,\}5)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;2\{,\}5=a+c+e$

Beim Wendepunkt ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_w)=0f\text{'}\text{'}(x\_w)=0$:

$(\mathrm{I}\mathrm{I})f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 0=12a+2c\backslash mathrm\{(II)\}\backslash ;\backslash ;f\text{'}\text{'}(1)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=12a+2c$

Die Tangente im Wendepunkt hat die Steigung $44$:

$(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})f^{\mathrm{\prime }}(1)=4\Rightarrow 4=4a+2c\backslash mathrm\{(III)\}\backslash ;\backslash ;f\text{'}(1)=4\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;4=4a+2c$

Rechne $(\mathrm{I}\mathrm{I})-(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})\backslash mathrm\{(II)\}-\backslash mathrm\{(III)\}$:

$\Rightarrow -4=8a\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash Rightarrow\backslash ;-4=8a\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}$

Setze $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}a=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}$ in $(\mathrm{I}\mathrm{I})\backslash mathrm\{(II)\}$ ein:

$\Rightarrow 0=12\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})+2c\Rightarrow 0=-6+2c\Rightarrow c=3\backslash Rightarrow\backslash ;0=12\backslash cdot(-\backslash dfrac\{1\}\{2\})+2c\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=-6+2c\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;c=3$

Setze $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}a=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}$ und $c=3c=3$ in $(\mathrm{I})\backslash mathrm\{(I)\}$ ein:

$\Rightarrow \mathrm{2,5}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+3+e\Rightarrow \mathrm{2,5}=\mathrm{2,5}+e\Rightarrow e=0\backslash Rightarrow\backslash ;2\{,\}5=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}+3+e\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;2\{,\}5=2\{,\}5+e\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;e=0$

Der gesuchte Funktionsterm lautet $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+3x^{2}f(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^4+3x^2$.

Klammert man noch $-{\displaystyle \frac{1}{2}}-\backslash dfrac\{1\}\{2\}$ aus, dann erhält man das Kontrollergebnis:

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\cdot x^4-6x^2)f(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}(\; \backslash cdot\; x^4-6x^2)$

Ermittele sämtliche Nullstellen der Funktion $ff$ und deren Vielfachheit

Es ist $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^4-6x^2)f(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}(x^4-6x^2)$.

Für die Berechnung der Nullstellen setze $f(x)=0f(x)=0$:

$0=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^4-6x^2)\Rightarrow 0=x^2\cdot (x^2-6)0=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}(x^4-6x^2)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=x^2\backslash cdot(x^2-6)$

Verwende zur Lösung den Satz vom Nullprodukt:

Der 1. Faktor ist $x^2\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=0x^2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_\{1\{,\}2\}=0$.

Es handelt sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit ist $22$).

Der 2. Faktor ist $(x^2-6)\Rightarrow x^2-6=0\Rightarrow x_{\mathrm{3,4}}=\pm \sqrt{6}(x^2-6)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2-6=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_\{3\{,\}4\}=\backslash pm\backslash sqrt\{6\}$.

Hier handelt es sich um je eine einfache Nullstelle (Vielfachheit ist $11$).

Erkläre die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen $G_{f}G\_f$

Bei der doppelten Nullstelle $x_{\mathrm{1,2}}=0x\_\{1\{,\}2\}=0$ wird die x-Achse berührt und bei den beiden einfachen Nullstellen $x_3=-\sqrt{6}x\_3=-\backslash sqrt\{6\}$ und $x_4=\sqrt{6}x\_4=\backslash sqrt\{6\}$ wird die x-Achse geschnitten.

Bestimme die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $ff$

Es ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(4x^3-12x)=-2x(x^2-3)f\text{'}(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}(4x^3-12x)=-2x(x^2-3)$.

Löse die Gleichung $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 0=-2x(x^2-3)f\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=-2x(x^2-3)$

Verwende zur Lösung den Satz vom Nullprodukt:

Der 1. Faktor ist $-2x\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x_1=0-2x\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;2x=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=0$.

Der 2. Faktor ist $(x^2-3)\Rightarrow x^2-3=0\Rightarrow x_{\mathrm{2,3}}=\pm \sqrt{3}(x^2-3)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2-3=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_\{2\{,\}3\}=\backslash pm\backslash sqrt\{3\}$.

Erstelle eine Vorzeichentabelle.

Berechne einige Hilfswerte:

$f^{\mathrm{\prime }}(-2)=-2\cdot (-2)((-2{)}^2-3)=4>0f\text{'}(-2)=-2\backslash cdot\; (-2)((-2)^2-3)=4>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-2\cdot 1(1^2-3)=4>0f\text{'}(1)=-2\backslash cdot\; 1(1^2-3)=4>0$

Demnach ist $G_{f}G\_f$ streng monoton steigend in den Intervallen $]-\mathrm{\infty };-\sqrt{3}]\backslash left]-\backslash infty;-\backslash sqrt\{3\}\backslash right]$ und$[0;\sqrt{3}]\backslash left[0;\backslash sqrt\{3\}\backslash right]$.

$G_{f}G\_f$ streng monoton fallend in den Intervallen $[-\sqrt{3};0]\backslash left[-\backslash sqrt\{3\};0\backslash right]$ und$[\sqrt{3};\mathrm{\infty }[\backslash left[\backslash sqrt\{3\};\backslash infty\backslash right[$.

Bestimme die Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen $G_{f}G\_f$

Aus der Vorzeichentabelle entnimmt man:

Es gibt zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt.

Es ist $f(0)=0f(0)=0$.

Wegen der y-Achsensymmetrie ist $f\left(\sqrt{3}\right)=f(-\sqrt{3})f\backslash left(\backslash sqrt\{3\}\backslash right)=f\backslash left(-\backslash sqrt\{3\}\backslash right)$.

$f\left(\sqrt{3}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}({\left(\sqrt{3}\right)}^4-6\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (9-18)={\displaystyle \frac{9}{2}}f\backslash left(\backslash sqrt\{3\}\backslash right)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash left(\backslash sqrt\{3\}\backslash right)^4-6\backslash cdot\backslash left(\backslash sqrt\{3\}\backslash right)^2\backslash right)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; (9-18)=\backslash dfrac\{9\}\{2\}$

$\Rightarrow TP(0\mid 0),H{P}_1(-\sqrt{3}\mid \frac{9}{2}),H{P}_2(\sqrt{3}\mid \frac{9}{2})\backslash Rightarrow\backslash ;TP(0\backslash mid\; 0),\backslash ;\; HP\_1\backslash left(-\backslash sqrt\{3\}\backslash mid\; \backslash frac\{9\}\{2\}\backslash right),\backslash ;HP\_2\backslash left(\backslash sqrt\{3\}\backslash mid\; \backslash frac\{9\}\{2\}\backslash right)$

Begründe ohne weitere Rechnung, dass der Graph $G_{f}G\_f$ genau zwei Wendepunkte besitzt

Der Graph $G_{f}G\_f$ hat $22$ Hochpunkte und einen Tiefpunkt.

Beim Übergang vom 1. Hochpunkt zum Tiefpunkt muss $G_{f}G\_f$ von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergehen$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$1. Wendepunkt.

Beim Übergang vom Tiefpunkt zum 2. Hochpunkt muss $G_{f}G\_f$ von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergehen$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$2. Wendepunkt.

Gib die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an

Gegeben ist $W_1(1\mathrm{\mid }2,5)W\_1(1\; |\; 2,\; 5)$. Dann ist wegen der y-Achsensymmetrie $W_2(-1\mathrm{\mid }2,5)W\_2(-1\; |\; 2,\; 5)$.

Berechne auch die $xx$-Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_{f}G\_f$, welche die gleichen $yy$-Koordinaten wie die Wendepunkte haben

$y_W=\mathrm{2,5}y\_W=2\{,\}5$.

Setze $f(x)=\mathrm{2,5}f(x)=2\{,\}5$:

Es handelt sich hier um eine biquadratische Gleichung:

$x^4-6x^2+5=0x^4-6x^2+5=0$

Setze $x^2=z\Rightarrow z^2-6z+5=0x^2=z\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;z^2-6z+5=0$.

Löse die quadratische Gleichung z.B. mit der pq-Formel (oder Mitternachtsformel).

Die beiden Lösungen sind $z_1=3-2=1z\_1=3-2=1$ und $z_2=3+2=5z\_2=3+2=5$.

Die Resubstitution liefert dann:

$x^2=z_1=1\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1x^2=z\_1=1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_\{1\{,\}2\}=\backslash pm1$ und $x^2=z_2=5\Rightarrow x_{\mathrm{3,4}}=\pm \sqrt{5}x^2=z\_2=5\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_\{3\{,\}4\}=\backslash pm\backslash sqrt\{5\}$

Dabei gehören die x-Koordinaten $x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1x\_\{1\{,\}2\}=\backslash pm1$ zu den beiden Wendepunkten von $G_{f}G\_f$.

Die $xx$-Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_{f}G\_f$, welche die gleichen $yy$-Koordinaten wie die Wendepunkte haben, sind dann $x_{\mathrm{3,4}}=\pm \sqrt{5}x\_\{3\{,\}4\}=\backslash pm\backslash sqrt\{5\}$ (und $x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1x\_\{1\{,\}2\}=\backslash pm\; 1$).

Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}G\_f$ im Bereich $-\mathrm{2,5}\le x\le \mathrm{2,5}-2\{,\}5\backslash le\; x\backslash le\; 2\{,\}5$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Zeige, dass an der Stelle $x=-2x=-2$ die Gleichung $f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f(x)-f\text{'}(x)=0$ gilt

Es ist $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+3x^{2}f(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^4+3x^2$ und $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(4x^3-12x)f\text{'}(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}(4x^3-12x)$

$f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+3x^2-(-{\displaystyle \frac{1}{2}}(4x^3-12x))=0f(x)-f\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^4+3x^2\; -\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{2\}(4x^3-12x)\backslash right)=0$

$\Rightarrow -{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+3x^2+2x^3-6x=0\backslash Rightarrow\backslash ;-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^4+3x^2\; +2x^3-6x=0$

Setze $x=-2x=-2$ in die Gleichung ein:

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-2{)}^4+3\cdot (-2{)}^2+2\cdot (-2{)}^3-6\cdot (-2)=0-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; (-2)^4+3\backslash cdot(-2)^2\; +2\backslash cdot(-2)^3-6\backslash cdot(-2)=0$

$-8+12-16+12=-24+24=0\mathrm{✓}-8+12-16+12=-24+24=0\backslash ;\backslash checkmark$

An der Stelle $x=-2x=-2$ gilt die Gleichung $f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f(x)-f\text{'}(x)=0$.

Bestimme alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft

Löse die Gleichung $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+2x^3+3x^2-6x=0-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^4+2x^3+3x^2\; -6x=0$

Multipliziere die Gleichung mit $(-2)(-2)$:

$\Rightarrow x^4-4x^3-6x^2+12x=0\backslash Rightarrow\backslash ;x^4-4x^3-6x^2+12x=0$

Klammere $xx$ aus und löse die Gleichung mit dem Satz vom Nullprodukt:

$x\cdot (x^3-4x^2-6x+12)=0x\backslash cdot(x^3-4x^2-6x+12)=0$

Der 1. Term führt zur Lösung $x_2=0x\_2=0$:

Der 2. Term muss ebenfalls null werden:

$x^3-4x^2-6x+12=0x^3-4x^2-6x+12=0$ und wird durch Polynomdivision gelöst.

Bekannt ist die Lösung $x_1=-2x\_1=-2$.

$\Rightarrow (x^3-4x^2-6x+12):(x+2)\backslash Rightarrow\backslash ;(x^3-4x^2-6x+12):(x+2)$ muss berechnet werden:

$\begin{array}{c}\phantom{-}(x^3-4x^2-6x+12):(x+2)=x^2-6x+6\\ -\underset{‾}{(x^3+2x^2)}\\ \phantom{-(x^3-1}6x^2-6x\\ \phantom{(x^3+}-\underset{‾}{(6x^2-12x)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-x}6x+12\\ \phantom{(x3+3x^2-}-\underset{‾}{(6x+12)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}\backslash phantom\{-\}\backslash \; (x^3-4x^2-6x+12):(x+2)=x^2-6x+6\; \backslash \backslash -\backslash underline\{(x^3+2x^2)\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3-1\}6x^2-6x\backslash \backslash \backslash phantom\{(x^3+\}-\backslash underline\{(6x^2-12x)\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3+3x^2-x\}6x+12\backslash \backslash \backslash phantom\{(x3+3x^2-\}-\backslash underline\{(6x+12)\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3+3x^2-4x-12\}0\backslash end\{array\}$

Löse nun die quadratische Gleichung $x^2-6x+6=0x^2-6x+6=0$, z.B. mit der pq-Formel (oder Mitternachtsformel):

Damit sind die Lösungen $x_3=3-\sqrt{3}x\_3=3-\backslash sqrt\{3\}$ und $x_4=3+\sqrt{3}x\_4=3+\backslash sqrt\{3\}$.

Die Gleichung $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+2x^3+3x^2-6x=0-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^4+2x^3+3x^2\; -6x=0$ hat die Lösungen $x_1=-2,x_2=0,x_3=3-\sqrt{3}x\_1=-2,\; x\_2=0,\; x\_3=3-\backslash sqrt\{3\}$ und $x_4=3+\sqrt{3}x\_4=3+\backslash sqrt\{3\}$.

Erkläre, was das Ergebnis für den Graphen $G_{f}G\_f$ bedeutet

An den Stellen $x_1=-2,x_2=0,x_3=3-\sqrt{3}x\_1=-2,\; x\_2=0,\; x\_3=3-\backslash sqrt\{3\}$ und $x_4=3+\sqrt{3}x\_4=3+\backslash sqrt\{3\}$ ist der y-Wert der Funktion $f(x)f(x)$ genauso groß wie die Steigung $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ an dieser Stelle.

Gib exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ an

Nullstellen

Es ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(4x^3-12x)f\text{'}(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}(4x^3-12x)$.

Löse die Gleichung $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$:

$\Rightarrow -2x(x^2-3)=0\Rightarrow x_1=0\backslash Rightarrow\backslash ;-2x(x^2-3)=0\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=0$ und $x_{\mathrm{2,3}}=\pm \sqrt{3}x\_\{2\{,\}3\}=\backslash pm\backslash sqrt\{3\}$ (siehe auch Aufgabe c).

Die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ sind $x_1=0x\_1=0$ und $x_{\mathrm{2,3}}=\pm \sqrt{3}x\_\{2\{,\}3\}=\backslash pm\backslash sqrt\{3\}$.

Extremstellen

Es ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(12x^2-12)=-6(x^2-1)f\text{'}\text{'}(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}(12x^2-12)=-6(x^2-1)$.

Löse die Gleichung $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 0=-6(x^2-1)f\text{'}\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=-6(x^2-1)$.

Nur die Klammer kann null werden $\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$$x^2-1=0\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1x^2-1=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_\{1\{,\}2\}=\backslash pm\; 1$.

Die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ sind $x_1=-1x\_1=-1$ und $x_2=1x\_2=1$.

Zeichne den Graphen $G_{f^{\mathrm{\prime }}}G\_\{f\text{'}\}$ im Bereich $-2\le x\le 2-2\backslash le\; x\backslash le\; 2$ in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein

Markiere dieses Flächenstück

Berechne die Maßzahl seines Inhalts

${\displaystyle {\int }_{-2}^0(f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x))\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^0\backslash left(f(x)-f\text{'}(x)\backslash right)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$

Aus Aufgabe f) folgt:

$f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+2x^3+3x^2-6xf(x)-f\text{'}(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^4+2x^3+3x^2\; -6x$

Dann muss das Integral ${\displaystyle {\int }_{-2}^0(-\frac{1}{2}\cdot x^4+2x^3+3x^2-6x)\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^0\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^4+2x^3+3x^2\; -6x\backslash right)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$ berechnet werden:

${\displaystyle {\int }_{-2}^0(-\frac{1}{2}\cdot x^4+2x^3+3x^2-6x)\mathrm{d}x={[-\frac{1}{10}{x}^5+\frac{1}{2}{x}^4+x^3-3x^2]}_{-2}^0}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^0\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^4+2x^3+3x^2\; -6x\backslash right)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=\backslash left[-\backslash dfrac\{1\}\{10\}x^5+\backslash dfrac\{1\}\{2\}x^4+x^3-3x^2\backslash right]\_\{-2\}^0$

$=0-({\displaystyle \frac{32}{10}}+8-8-12)=-(-\mathrm{8,8})=\mathrm{8,8}=0-\backslash left(\backslash dfrac\{32\}\{10\}+8-8-12\backslash right)=-(-8\{,\}8)=8\{,\}8$

Die Maßzahl seines Inhalts beträgt $\mathrm{8,8}\mathrm{F}\mathrm{E}8\{,\}8\; \backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Bestimme die Maßzahl $V(h)V(h)$ des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von $hh$

Gegeben sind der halbkugelförmige Schirm mit Radius $r_{HK}=12\text{ cm}r\_\{HK\}=12\backslash cm$ und der Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels, mit der Höhe $hh$ und dem Durchmesser $bb$ in der Grundfläche $\Rightarrow r_K={\displaystyle \frac{b}{2}}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;r\_K=\backslash dfrac\{b\}\{2\}$.

Es gilt: $V_{Kegel}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_K^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2\cdot hV\_\{Kegel\}=\backslash frac13\backslash cdot\; G\backslash cdot\; h=\backslash frac13\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r\_K^2\backslash cdot\; h=\backslash frac13\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; \backslash left(\backslash dfrac\{b\}\{2\}\backslash right)^2\backslash cdot\; h$

Andererseits gilt im rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras:

$r_{HK}^2=h^2+{\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^{2}r\_\{HK\}^2=h^2+\backslash left(\backslash dfrac\{b\}\{2\}\backslash right)^2$, mit $r_{HK}=12\text{ cm}r\_\{HK\}=12\backslash cm$ folgt dann ${12}^2-h^2={\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^{2}12^2-h^2=\backslash left(\backslash dfrac\{b\}\{2\}\backslash right)^2$.

Setze ${\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2\backslash left(\backslash dfrac\{b\}\{2\}\backslash right)^2$ in $V_{Kegel}V\_\{Kegel\}$ ein:

$V_{Kegel}(h)=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot ({12}^2-h^2)\cdot h={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-h^3+144h)V\_\{Kegel\}(h)=\backslash frac13\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; \backslash left(12^2-h^2\backslash right)\backslash cdot\; h=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-h^3+144h\backslash right)$ (siehe Kontrollergebnis).

Die Maßzahl $V(h)V(h)$ des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von $hh$ ist $V_{Kegel}(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-h^3+144h)V\_\{Kegel\}(h)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-h^3+144h\backslash right)$.

Bestimme die Höhe $hh$ des Leuchtenfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt

Der Definitionsbereich ist $D_V=[2;8]D\_V=[2;\; 8]$.

Es ist $V_{Kegel}(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-h^3+144h)V\_\{Kegel\}(h)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-h^3+144h\backslash right)$.

Berechne die 1. und 2. Ableitung von $V_{Kegel}V\_\{Kegel\}$:

$V_{Kegel}^{\mathrm{\prime }}(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-3h^2+144)V\_\{Kegel\}\text{'}(h)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-3h^2+144\backslash right)$

$V_{Kegel}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-6h)V\_\{Kegel\}\text{'}\text{'}(h)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-6h\backslash right)$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $V_{Kegel}^{\mathrm{\prime }}(h)=0V\_\{Kegel\}\text{'}(h)=0$.

Löse die Gleichung $0={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-3h^2+144)0=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-3h^2+144\backslash right)$ nach $hh$ auf:

$\Rightarrow 0=-3h^2+144\Rightarrow h_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{144}{3}}}\backslash Rightarrow\backslash ;0=-3h^2+144\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;h\_\{1\{,\}2\}=\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{144\}\{3\}\}$

Die negative Höhe entfällt, sodass $h=\sqrt{{\displaystyle \frac{144}{3}}}=\sqrt{48}h=\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{144\}\{3\}\}=\backslash sqrt\{48\}$ ist.

Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet:

$V_{Kegel}^{\mathrm{\prime }}(h)=0V\_\{Kegel\}\text{'}(h)=0$ und $V_{Kegel}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(h)\mathrm{\ne }0V\_\{Kegel\}\text{'}\text{'}(h)\backslash neq\; 0$

rel. Max.

Die Größe des relativen Maximums ist $V_{Kegel}\left(\sqrt{48}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-{\left(\sqrt{48}\right)}^3+144\cdot \sqrt{48})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-48\cdot \sqrt{48}+144\cdot \sqrt{48})V\_\{Kegel\}\backslash left(\backslash sqrt\{48\}\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-\backslash left(\backslash sqrt\{48\}\backslash right)^3+144\backslash cdot\; \backslash sqrt\{48\}\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-48\backslash cdot\backslash sqrt\{48\}+144\backslash cdot\; \backslash sqrt\{48\}\backslash right)$

$V_{Kegel}\left(\sqrt{48}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(96\cdot \sqrt{48})=32\cdot \pi \cdot \sqrt{48}\approx \mathrm{696,5}V\_\{Kegel\}\backslash left(\backslash sqrt\{48\}\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(96\backslash cdot\; \backslash sqrt\{48\}\backslash right)=32\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; \backslash sqrt\{48\}\backslash approx696\{,\}5$

Randuntersuchung:

$V_{Kegel}(2)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-2^3+144\cdot 2)={\displaystyle \frac{280}{3}}\cdot \pi \approx \mathrm{293,2}V\_\{Kegel\}(2)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-2^3+144\backslash cdot\; 2\backslash right)=\backslash dfrac\{280\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash pi\backslash approx293\{,\}2$ und

$V_{Kegel}(8)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-8^3+144\cdot 8)={\displaystyle \frac{640}{3}}\cdot \pi \approx \mathrm{670,2}V\_\{Kegel\}(8)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-8^3+144\backslash cdot\; 8\backslash right)=\backslash dfrac\{640\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash pi\backslash approx670\{,\}2$

Damit hat $V_{Kegel}\left(\sqrt{48}\right)=32\cdot \pi \cdot \sqrt{48}\approx \mathrm{696,5}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}V\_\{Kegel\}\backslash left(\backslash sqrt\{48\}\backslash right)=32\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; \backslash sqrt\{48\}\backslash approx696\{,\}5\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3$ den größten Wert.

Die Höhe $hh$ des Leuchtenfußes, sodass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt, beträgt $h=\sqrt{48}\mathrm{c}\mathrm{m}\approx \mathrm{6,93}\mathrm{c}\mathrm{m}h=\backslash sqrt\{48\}\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}\backslash approx6\{,\}93\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$.