A II

Bestimme den Funktionsterm $f(x)$

Wegen der Symmetrie zur y-Achse besteht der gesuchte Funktionsterm nur aus geraden Potenzen von $x$.

$f(x)=a{x}^4+c{x}^2+e$

$f^{\prime }(x)=4a{x}^3+2cx$

$f^{\prime \prime }(x=12a{x}^2+2c$

$(\mathrm{I})W_1(1|\mathrm{2,5})\Rightarrow \mathrm{2,5}=a+c+e$

Beim Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x_w)=0$:

$(\mathrm{I}\mathrm{I})f^{\prime \prime }(1)=0\Rightarrow 0=12a+2c$

Die Tangente im Wendepunkt hat die Steigung $4$:

$(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})f^{\prime }(1)=4\Rightarrow 4=4a+2c$

Rechne $(\mathrm{I}\mathrm{I})-(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$:

$\Rightarrow -4=8a\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Setze $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ in $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ ein:

$\Rightarrow 0=12\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})+2c\Rightarrow 0=-6+2c\Rightarrow c=3$

Setze $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ und $c=3$ in $(\mathrm{I})$ ein:

$\Rightarrow \mathrm{2,5}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+3+e\Rightarrow \mathrm{2,5}=\mathrm{2,5}+e\Rightarrow e=0$

Der gesuchte Funktionsterm lautet $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+3x^2$.

Klammert man noch $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ aus, dann erhält man das Kontrollergebnis:

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\cdot x^4-6x^2)$

Ermittele sämtliche Nullstellen der Funktion $f$ und deren Vielfachheit

Es ist $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^4-6x^2)$.

Für die Berechnung der Nullstellen setze $f(x)=0$:

$0=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^4-6x^2)\Rightarrow 0=x^2\cdot (x^2-6)$

Verwende zur Lösung den Satz vom Nullprodukt:

Der 1. Faktor ist $x^2\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=0$.

Es handelt sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit ist $2$).

Der 2. Faktor ist $(x^2-6)\Rightarrow x^2-6=0\Rightarrow x_{\mathrm{3,4}}=\pm \sqrt{6}$.

Hier handelt es sich um je eine einfache Nullstelle (Vielfachheit ist $1$).

Erkläre die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen $G_f$

Bei der doppelten Nullstelle $x_{\mathrm{1,2}}=0$ wird die x-Achse berührt und bei den beiden einfachen Nullstellen $x_3=-\sqrt{6}$ und $x_4=\sqrt{6}$ wird die x-Achse geschnitten.

Bestimme die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$

Es ist $f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(4x^3-12x)=-2x(x^2-3)$.

Löse die Gleichung $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=-2x(x^2-3)$

Verwende zur Lösung den Satz vom Nullprodukt:

Der 1. Faktor ist $-2x\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x_1=0$.

Der 2. Faktor ist $(x^2-3)\Rightarrow x^2-3=0\Rightarrow x_{\mathrm{2,3}}=\pm \sqrt{3}$.

Erstelle eine Vorzeichentabelle.

Berechne einige Hilfswerte:

$f^{\prime }(-2)=-2\cdot (-2)((-2{)}^2-3)=4>0$

$f^{\prime }(-1)=-2\cdot (-1)((-1{)}^2-3)=-4<0$

$f^{\prime }(1)=-2\cdot 1(1^2-3)=4>0$

$f^{\prime }(2)=-2\cdot 2(2^2-3)=-4<0$

Demnach ist $G_f$ streng monoton steigend in den Intervallen $]-\infty ;-\sqrt{3}]$ und$[0;\sqrt{3}]$.

$G_f$ streng monoton fallend in den Intervallen $[-\sqrt{3};0]$ und$[\sqrt{3};\infty [$.

Bestimme die Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen $G_f$

Aus der Vorzeichentabelle entnimmt man:

Es gibt zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt.

Es ist $f(0)=0$.

Wegen der y-Achsensymmetrie ist $f\left(\sqrt{3}\right)=f(-\sqrt{3})$.

$f\left(\sqrt{3}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}({\left(\sqrt{3}\right)}^4-6\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (9-18)={\displaystyle \frac{9}{2}}$

$\Rightarrow TP(0|0),H{P}_1(-\sqrt{3}|\frac{9}{2}),H{P}_2(\sqrt{3}|\frac{9}{2})$

Begründe ohne weitere Rechnung, dass der Graph $G_f$ genau zwei Wendepunkte besitzt

Der Graph $G_f$ hat $2$ Hochpunkte und einen Tiefpunkt.

Beim Übergang vom 1. Hochpunkt zum Tiefpunkt muss $G_f$ von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergehen$\Rightarrow$1. Wendepunkt.

Beim Übergang vom Tiefpunkt zum 2. Hochpunkt muss $G_f$ von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergehen$\Rightarrow$2. Wendepunkt.

Gib die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an

Gegeben ist $W_1(1|2,5)$. Dann ist wegen der y-Achsensymmetrie $W_2(-1|2,5)$.

Berechne auch die $x$-Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_f$, welche die gleichen $y$-Koordinaten wie die Wendepunkte haben

$y_W=\mathrm{2,5}$.

Setze $f(x)=\mathrm{2,5}$:

Es handelt sich hier um eine biquadratische Gleichung:

$x^4-6x^2+5=0$

Setze $x^2=z\Rightarrow z^2-6z+5=0$.

Löse die quadratische Gleichung z.B. mit der pq-Formel (oder Mitternachtsformel).

Die beiden Lösungen sind $z_1=3-2=1$ und $z_2=3+2=5$.

Die Resubstitution liefert dann:

$x^2=z_1=1\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1$ und $x^2=z_2=5\Rightarrow x_{\mathrm{3,4}}=\pm \sqrt{5}$

Dabei gehören die x-Koordinaten $x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1$ zu den beiden Wendepunkten von $G_f$.

Die $x$-Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_f$, welche die gleichen $y$-Koordinaten wie die Wendepunkte haben, sind dann $x_{\mathrm{3,4}}=\pm \sqrt{5}$ (und $x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1$).

Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_f$ im Bereich $-\mathrm{2,5}\le x\le \mathrm{2,5}$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Zeige, dass an der Stelle $x=-2$ die Gleichung $f(x)-f^{\prime }(x)=0$ gilt

Es ist $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+3x^2$ und $f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(4x^3-12x)$

$f(x)-f^{\prime }(x)=0\Rightarrow -{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+3x^2-(-{\displaystyle \frac{1}{2}}(4x^3-12x))=0$

$\Rightarrow -{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+3x^2+2x^3-6x=0$

Setze $x=-2$ in die Gleichung ein:

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-2{)}^4+3\cdot (-2{)}^2+2\cdot (-2{)}^3-6\cdot (-2)=0$

$-8+12-16+12=-24+24=0✓$

An der Stelle $x=-2$ gilt die Gleichung $f(x)-f^{\prime }(x)=0$.

Bestimme alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft

Löse die Gleichung $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+2x^3+3x^2-6x=0$

Multipliziere die Gleichung mit $(-2)$:

$\Rightarrow x^4-4x^3-6x^2+12x=0$

Klammere $x$ aus und löse die Gleichung mit dem Satz vom Nullprodukt:

$x\cdot (x^3-4x^2-6x+12)=0$

Der 1. Term führt zur Lösung $x_2=0$:

Der 2. Term muss ebenfalls null werden:

$x^3-4x^2-6x+12=0$ und wird durch Polynomdivision gelöst.

Bekannt ist die Lösung $x_1=-2$.

$\Rightarrow (x^3-4x^2-6x+12):(x+2)$ muss berechnet werden:

$\begin{array}{l}\phantom{-}(x^3-4x^2-6x+12):(x+2)=x^2-6x+6\\ -\underline{(x^3+2x^2)}\\ \phantom{-(x^3-1}6x^2-6x\\ \phantom{(x^3+}-\underline{(6x^2-12x)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-x}6x+12\\ \phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(6x+12)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}$

Löse nun die quadratische Gleichung $x^2-6x+6=0$, z.B. mit der pq-Formel (oder Mitternachtsformel):

Damit sind die Lösungen $x_3=3-\sqrt{3}$ und $x_4=3+\sqrt{3}$.

Die Gleichung $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+2x^3+3x^2-6x=0$ hat die Lösungen $x_1=-2,x_2=0,x_3=3-\sqrt{3}$ und $x_4=3+\sqrt{3}$.

Erkläre, was das Ergebnis für den Graphen $G_f$ bedeutet

An den Stellen $x_1=-2,x_2=0,x_3=3-\sqrt{3}$ und $x_4=3+\sqrt{3}$ ist der y-Wert der Funktion $f(x)$ genauso groß wie die Steigung $f^{\prime }(x)$ an dieser Stelle.

Gib exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ an

Nullstellen

Es ist $f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(4x^3-12x)$.

Löse die Gleichung $f^{\prime }(x)=0$:

$\Rightarrow -2x(x^2-3)=0\Rightarrow x_1=0$ und $x_{\mathrm{2,3}}=\pm \sqrt{3}$ (siehe auch Aufgabe c).

Die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ sind $x_1=0$ und $x_{\mathrm{2,3}}=\pm \sqrt{3}$.

Extremstellen

Es ist $f^{\prime \prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(12x^2-12)=-6(x^2-1)$.

Löse die Gleichung $f^{\prime \prime }(x)=0\Rightarrow 0=-6(x^2-1)$.

Nur die Klammer kann null werden $\Rightarrow$$x^2-1=0\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1$.

Die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ sind $x_1=-1$ und $x_2=1$.

Zeichne den Graphen $G_{f^{\prime }}$ im Bereich $-2\le x\le 2$ in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein

Markiere dieses Flächenstück

Berechne die Maßzahl seines Inhalts

$${\displaystyle {\int }_{-2}^0(f(x)-f^{\prime }(x))\mathrm{d}x}$$

Aus Aufgabe f) folgt:

$f(x)-f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+2x^3+3x^2-6x$

Dann muss das Integral $${\displaystyle {\int }_{-2}^0(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+2x^3+3x^2-6x)\mathrm{d}x}$$ berechnet werden:

$${\displaystyle {\int }_{-2}^0(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^4+2x^3+3x^2-6x)\mathrm{d}x={[-{\displaystyle \frac{1}{10}}{x}^5+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4+x^3-3x^2]}_{-2}^0}$$

$=0-({\displaystyle \frac{32}{10}}+8-8-12)=-(-\mathrm{8,8})=\mathrm{8,8}$

Die Maßzahl seines Inhalts beträgt $\mathrm{8,8}\mathrm{FE}$.

Bestimme die Maßzahl $V(h)$ des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von $h$

Gegeben sind der halbkugelförmige Schirm mit Radius $r_{HK}=12\text{ cm}$ und der Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels, mit der Höhe $h$ und dem Durchmesser $b$ in der Grundfläche $\Rightarrow r_K={\displaystyle \frac{b}{2}}$.

Es gilt: $V_{Kegel}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_K^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2\cdot h$

Andererseits gilt im rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras:

$r_{HK}^2=h^2+{\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2$, mit $r_{HK}=12\text{ cm}$ folgt dann ${12}^2-h^2={\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2$.

Setze ${\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2$ in $V_{Kegel}$ ein:

$V_{Kegel}(h)=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot ({12}^2-h^2)\cdot h={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-h^3+144h)$ (siehe Kontrollergebnis).

Die Maßzahl $V(h)$ des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von $h$ ist $V_{Kegel}(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-h^3+144h)$.

Bestimme die Höhe $h$ des Leuchtenfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt

Der Definitionsbereich ist $D_V=[2;8]$.

Es ist $V_{Kegel}(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-h^3+144h)$.

Berechne die 1. und 2. Ableitung von $V_{Kegel}$:

$V_{Kegel}^{\prime }(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-3h^2+144)$

$V_{Kegel}^{\prime \prime }(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-6h)$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $V_{Kegel}^{\prime }(h)=0$.

Löse die Gleichung $0={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-3h^2+144)$ nach $h$ auf:

$\Rightarrow 0=-3h^2+144\Rightarrow h_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{144}{3}}}$

Die negative Höhe entfällt, sodass $h=\sqrt{{\displaystyle \frac{144}{3}}}=\sqrt{48}$ ist.

Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet:

$V_{Kegel}^{\prime }(h)=0$ und $V_{Kegel}^{\prime \prime }(h)\ne 0$

$V_{Kegel}^{\prime \prime }(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-6\cdot \sqrt{48})<0\Rightarrow$rel. Max.

Die Größe des relativen Maximums ist $V_{Kegel}\left(\sqrt{48}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-{\left(\sqrt{48}\right)}^3+144\cdot \sqrt{48})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-48\cdot \sqrt{48}+144\cdot \sqrt{48})$

$V_{Kegel}\left(\sqrt{48}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(96\cdot \sqrt{48})=32\cdot \pi \cdot \sqrt{48}\approx \mathrm{696,5}$

Randuntersuchung:

$V_{Kegel}(2)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-2^3+144\cdot 2)={\displaystyle \frac{280}{3}}\cdot \pi \approx \mathrm{293,2}$ und

$V_{Kegel}(8)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-8^3+144\cdot 8)={\displaystyle \frac{640}{3}}\cdot \pi \approx \mathrm{670,2}$

Damit hat $V_{Kegel}\left(\sqrt{48}\right)=32\cdot \pi \cdot \sqrt{48}\approx \mathrm{696,5}{\mathrm{cm}}^3$ den größten Wert.

Die Höhe $h$ des Leuchtenfußes, sodass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt, beträgt $h=\sqrt{48}\mathrm{cm}\approx \mathrm{6,93}\mathrm{cm}$.