Bestimme die Maßzahl $V(h)V(h)$ des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von $hh$

Gegeben sind der halbkugelförmige Schirm mit Radius $r_{HK}=12\text{ cm}r\_\{HK\}=12\backslash cm$ und der Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels, mit der Höhe $hh$ und dem Durchmesser $bb$ in der Grundfläche $\Rightarrow r_K={\displaystyle \frac{b}{2}}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;r\_K=\backslash dfrac\{b\}\{2\}$.

Es gilt: $V_{Kegel}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_K^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2\cdot hV\_\{Kegel\}=\backslash frac13\backslash cdot\; G\backslash cdot\; h=\backslash frac13\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r\_K^2\backslash cdot\; h=\backslash frac13\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; \backslash left(\backslash dfrac\{b\}\{2\}\backslash right)^2\backslash cdot\; h$

Andererseits gilt im rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras:

$r_{HK}^2=h^2+{\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^{2}r\_\{HK\}^2=h^2+\backslash left(\backslash dfrac\{b\}\{2\}\backslash right)^2$, mit $r_{HK}=12\text{ cm}r\_\{HK\}=12\backslash cm$ folgt dann ${12}^2-h^2={\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^{2}12^2-h^2=\backslash left(\backslash dfrac\{b\}\{2\}\backslash right)^2$.

Setze ${\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2\backslash left(\backslash dfrac\{b\}\{2\}\backslash right)^2$ in $V_{Kegel}V\_\{Kegel\}$ ein:

$V_{Kegel}(h)=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot ({12}^2-h^2)\cdot h={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-h^3+144h)V\_\{Kegel\}(h)=\backslash frac13\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; \backslash left(12^2-h^2\backslash right)\backslash cdot\; h=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-h^3+144h\backslash right)$ (siehe Kontrollergebnis).

Die Maßzahl $V(h)V(h)$ des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von $hh$ ist $V_{Kegel}(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-h^3+144h)V\_\{Kegel\}(h)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-h^3+144h\backslash right)$.

Bestimme die Höhe $hh$ des Leuchtenfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt

Der Definitionsbereich ist $D_V=[2;8]D\_V=[2;\; 8]$.

Es ist $V_{Kegel}(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-h^3+144h)V\_\{Kegel\}(h)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-h^3+144h\backslash right)$.

Berechne die 1. und 2. Ableitung von $V_{Kegel}V\_\{Kegel\}$:

$V_{Kegel}^{\mathrm{\prime }}(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-3h^2+144)V\_\{Kegel\}\text{'}(h)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-3h^2+144\backslash right)$

$V_{Kegel}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(h)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-6h)V\_\{Kegel\}\text{'}\text{'}(h)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-6h\backslash right)$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $V_{Kegel}^{\mathrm{\prime }}(h)=0V\_\{Kegel\}\text{'}(h)=0$.

Löse die Gleichung $0={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-3h^2+144)0=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-3h^2+144\backslash right)$ nach $hh$ auf:

$\Rightarrow 0=-3h^2+144\Rightarrow h_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{144}{3}}}\backslash Rightarrow\backslash ;0=-3h^2+144\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;h\_\{1\{,\}2\}=\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{144\}\{3\}\}$

Die negative Höhe entfällt, sodass $h=\sqrt{{\displaystyle \frac{144}{3}}}=\sqrt{48}h=\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{144\}\{3\}\}=\backslash sqrt\{48\}$ ist.

Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet:

$V_{Kegel}^{\mathrm{\prime }}(h)=0V\_\{Kegel\}\text{'}(h)=0$ und $V_{Kegel}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(h)\mathrm{\ne }0V\_\{Kegel\}\text{'}\text{'}(h)\backslash neq\; 0$

rel. Max.

Die Größe des relativen Maximums ist $V_{Kegel}\left(\sqrt{48}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-{\left(\sqrt{48}\right)}^3+144\cdot \sqrt{48})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-48\cdot \sqrt{48}+144\cdot \sqrt{48})V\_\{Kegel\}\backslash left(\backslash sqrt\{48\}\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-\backslash left(\backslash sqrt\{48\}\backslash right)^3+144\backslash cdot\; \backslash sqrt\{48\}\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-48\backslash cdot\backslash sqrt\{48\}+144\backslash cdot\; \backslash sqrt\{48\}\backslash right)$

$V_{Kegel}\left(\sqrt{48}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(96\cdot \sqrt{48})=32\cdot \pi \cdot \sqrt{48}\approx \mathrm{696,5}V\_\{Kegel\}\backslash left(\backslash sqrt\{48\}\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(96\backslash cdot\; \backslash sqrt\{48\}\backslash right)=32\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; \backslash sqrt\{48\}\backslash approx696\{,\}5$

Randuntersuchung:

$V_{Kegel}(2)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-2^3+144\cdot 2)={\displaystyle \frac{280}{3}}\cdot \pi \approx \mathrm{293,2}V\_\{Kegel\}(2)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-2^3+144\backslash cdot\; 2\backslash right)=\backslash dfrac\{280\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash pi\backslash approx293\{,\}2$ und

$V_{Kegel}(8)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-8^3+144\cdot 8)={\displaystyle \frac{640}{3}}\cdot \pi \approx \mathrm{670,2}V\_\{Kegel\}(8)=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash left(-8^3+144\backslash cdot\; 8\backslash right)=\backslash dfrac\{640\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash pi\backslash approx670\{,\}2$

Damit hat $V_{Kegel}\left(\sqrt{48}\right)=32\cdot \pi \cdot \sqrt{48}\approx \mathrm{696,5}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}V\_\{Kegel\}\backslash left(\backslash sqrt\{48\}\backslash right)=32\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; \backslash sqrt\{48\}\backslash approx696\{,\}5\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3$ den größten Wert.

Die Höhe $hh$ des Leuchtenfußes, sodass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt, beträgt $h=\sqrt{48}\mathrm{c}\mathrm{m}\approx \mathrm{6,93}\mathrm{c}\mathrm{m}h=\backslash sqrt\{48\}\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}\backslash approx6\{,\}93\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$.