Wahlteil 1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 6

Eine rechteckige Werbewand hat eine Breite von $3{,}36 \mathrm{~m}$ und eine Höhe von $2{,}38 \mathrm{~m}$ .

Zeige, dass der Flächeninhalt der Werbewand ca. $8\mathrm{~m}^2$ beträgt.
[1BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Berechnung des Flächeninhalts
$3{,}36 \cdot 2{,}38 = 7{,}9968$
Der Flächeninhalt der Werbewand beträgt $7{,}9968\mathrm{~m}^2$ . Das entspricht ca. $8\mathrm{~m}^2$ .
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Multipliziere die Breite mit der Höhe der Werbewand.
Vergleiche dein Ergebnis mit dem zu erwartenden Wert von ca. $8\mathrm{~m}^2$ .
Bestimme die Länge der Diagonalen der Werbewand.
[2BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Einsetzten der Werte in den Satz des Pythagoras
$3{,}36^2 + 2{,}38^2 = d^2$
$d$ steht für die Diagonale des Rechtecks, bzw. für die Hypotenuse des Dreiecks.
Umstellen und Berechnung von d
$d = \sqrt{3{,}36^2 + 2{,}38^2} = 4{,}12$
Die Diagonale d ist ungefähr $4{,}12\mathrm{~m}$ lang.
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Betrachte die Diagonale des Rechtecks als die Hypotenuse eines Dreiecks.
Betrachte die Höhe und die Breite des Rechtecks als Katheten eines Dreiecks.
Setzte die bekannten Werte der Katheten in den Satz des Pythagoras ein.
Löse die Gleichung nach der Variable für die Hypotenuse auf.
Berechne den Wert der Hypotenuse bzw. Diagonale.
Die Werbewand wird mit $16$ rechteckigen Plakaten mit gleicher Höhe und Breite beklebt, die zusammen das Bild ergeben.
Skizziere in das Foto eine mögliche Anordnung.
Bestimme Höhe und Breite dieser Rechtecke.
[3BE]

Breite der Werbewand: $3{,}36 \mathrm{~m}$
Höhe der Werbewand: $2{,}38 \mathrm{~m}$ .
$b=\frac{3{,}36}{4}=0{,}84$
$h=\frac{2{,}38}{4}=0{,}595$
Die 16 Rechtecke haben eine Breite von $0{,}84\ m$ und eine Höhe von $0{,}595\ m$ .
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Teile z.B. die Breite und die Höhe der Werbewand jeweils durch 4.
Auf der Werbewand wird für einen Wasserspender geworben. Dieser besteht aus einem Wassertank und einer Abfüllstation.
Gehe für die folgenden Aufgaben davon aus, dass der Wassertank die Form eines Zylinders hat.
Der Zylinder hat eine Höhe von $40\ cm$ und einen Durchmesser von $25\ cm$ .
Berechne, wie viel Liter Wasser in den Tank passen.
[3BE]
$V_{Zylinder}=r^2\cdot\pi\cdot h$
$r = 25 : 2 = 12,5$
$h = 40$
$V_{Zylinder}=(12{,}5)^2\cdot\pi\cdot40\approx19635$
$19635\cm^3=19{,}635\dm^3=19{,}635\l$
In den Tank passen ungefähr $19,6$ Liter.
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Berechne das Volumen des Zylinders mit der Volumenformel in $\cm^3$ .
Rechne in $l$ um.
Ein anderer Wassertank ist $55\cm$ hoch. In diesen Tank passen $18,9$ Liter Wasser.
Bestimme den Durchmesser des zweiten Tanks.
[3BE]
$V_{Zylinder}=r^2\cdot\pi\cdot h$
$V=18{,}9 \l=18900\cm^3$
$h=55\ cm$
$18900=r^2\cdot\pi\cdot55$
$r^2=18900:(55\cdot\pi)$
$r=\ \ \ \ \sqrt{18900:\left(55\cdot\pi\right)}\approx\sqrt{109{,}38}\approx10{,}46$
$d=2r\approx21$
Der zweite Tank hat einen Durchmesser von ungefähr $21\ cm$ .
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Berechne den Radius aus der Volumenformel .
Multipliziere den Radius mit 2.
Für den Wasserspender gibt es unterschiedliche Pappbecher.
Ordne den Bechern ihre Netze zu.
[3BE]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mantelfläche
Netz 1: Es besteht aus einem runden Boden und einer Mantelfläche in Form eines symmetrischen Trapezes. Wenn du die Mantelfläcke, mit der kürzeren Seite nach unten, um den Boden wickelst, erhältst du einen Becher mit einer runden Grundfläche, der oben weiter geöffnet ist als unten.
$\Rightarrow$ Netz 1 gehört zu Becher 1
Netz 2: Es besteht aus einem runden Boden und einer Mantelfläche in Form eines Rechtecks. Wenn du die Mantelfläche um den Boden wickelst, erhältst du einen Becher mit einer runden Grundfläche, der oben genauso weit geöffnet ist wie unten.
$\Rightarrow$ Netz 2 gehört zu Becher 3
Netz 3: Es besteht nur aus einer Mantelfläche. Biege das Netz so, dass die geraden Kanten aneinander stoßen. Du erhältst einen Becher in Form einer Tüte.
$\Rightarrow$ Netz 3 gehört zu Becher 2.
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Überlege, ob der Becher eine Grud- und eine Mantelfäche hat.
Überlege, welche Form die Mantelfläche hat.
Berechne den Flächeninhalt der Pappfläche vom zylinderförmigen „Becher 3". Ignoriere dabei die Verdickung am oberen Rand.
[3BE]
Grundfläche:
$G=r^2\cdot\pi$
$r = 7,5 : 2 = 3,75$
$G=3{,}75^2\cdot\pi\approx44{,}2$
Mantelfläche:
$M=2\cdot r\cdot\pi\cdot h$
$r = 7,5 : 2 = 3,75$
$h = 4,8$
$M=2\cdot3{,}75\cdot\pi\cdot4{,}8\approx113{,}1$
Gesamtfläche:
$44,2 + 113,1 = 157,3$
Der Flächeninhalt der Pappfläche hat eine Größe von ungefähr $157{,}3\ cm^2.$
.
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Berechne die Grundfläche des Bechers.
Berechne die Mantelfläche des Bechers
Addiere beide Flächen.
Da Maik beim Tragen keine Flüssigkeit verschütten möchte, füllt er den „Becher 2" nur bis $90 %$ der maximalen Füllhöhe. Katrin erklärt ihm, dass er dadurch weniger als $90 %$ des Gesamtvolumens des Bechers nutzt.
Begründe, warum Katrin Recht hat.
[2BE]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Da der Kegel nach unten hin spitz zuläuft, ist der obere Bereich des Kegels deutlich breiter. Deshalb fasst der obere Bereich mehr Wasser als der untere Bereich.
Deswegen werden weniger als 90 % des Volumens genutzt.
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Die „Becher 2" werden in einer quaderförmigen Verpackung geliefert. Die Verpackung hat eine Breite von $8 \cm$ , eine Höhe von 8 cm und eine Länge von $45 \cm$ .
In der Verpackung sind die Becher ineinander gesteckt.
Die Verdickung des Bechers oben ist ca. $3 \mm$ hoch.
Schätze ab, wie viele Pappbecher in eine solche Verpackung passen. Beschreibe dein Vorgehen.
[2BE]
Gesamthöhe der Verpackung: $45\cm$ .
Der erste Becher hat eine Höhe von $4{,}8\ cm$ .
Verbleibende Höhe: $45 - 4,8 = 40,2$
Durch jeden weiteren Becher wird der Stapel um ca. $3\ \ mm=0{,}3\cm$ höher, da die Becher aufgrund der Verdickung nicht vollständig ineinander passen.
$\frac{40{,}2}{0{,}3}=134$
Addiere den ersten Becher: $134 + 1 = 135$
Somit passen höchstens $135$ Becher in die Verpackung.
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Ziehe die Höhe des ersten Bechers von der Gesamthöhe der Verpackung ab.
Dividiere das Ergebnis durch $0{,}3\cm$ (Verdickung).
Addiere zum Ergebnis den ersten Becher.