Zeichne das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGHABCDEFGH$ mit den Strecken $\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{MN\}\}$ und $\overline{\mathrm{A}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{AN\}\}$

Zeichne die Strecke $\overline{AC}\backslash overline\{AC\}$ und markiere die Mitte dieser Strecke $MM$. Trage im Punkt $MM$ einen Winkel von $\omega ={45}^{\circ }\backslash omega=45^\{\backslash circ\}$ an. Wegen $q=\frac{1}{2}q=\backslash frac\{1\}\{2\}$ beträgt die Länge der Diagonalen $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$ nur $5\text{ cm}5\backslash \; \backslash cm$. Zeichne in den Punkten $A,B,CA,B,C$, $DD$ und $MM$ jeweils eine Senkrechte mit einer Länge von $8\text{ cm}8\backslash \; \backslash cm$.

Verbinde die Punkte $A,B,CA,\; B,\; C$ und $DD$ ebenso die Punkte $E,F,GE,\; F,\; G$ und $HH$. Verbinde weiterhin die Punkte $EE$ mit $GG$ und $FF$ mit $HH$. Der Schnittpunkt der Strecken $\overline{EG}\backslash overline\{EG\}$ und $\overline{FH}\backslash overline\{FH\}$ ist der Punkt $NN$. Verbinde $AA$ mit $NN$.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{AN\}\}$

Betrachte das rechtwinklige Dreieck $AMNAMN$:

Verwende den Satz des Pythagoras:

$\mathrm{\mid }\overline{\mathrm{A}\mathrm{N}}\mathrm{\mid }=\sqrt{(\mathrm{0,5}\cdot 10{)}^2+8^2}\approx \mathrm{9,43}|\backslash overline\{\backslash mathrm\{AN\}\}|=\backslash sqrt\{(0\{,\}5\backslash cdot\; 10)^2+8^2\}\backslash approx9\{,\}43$

Die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{AN\}\}$ beträgt etwa $\mathrm{9,43}\text{ cm}9\{,\}43\backslash \; \backslash cm$.

Berechne das Maß des Winkels CAN

Verwende zur Berechnung den Tangens:

$\tan \mathrm{\sphericalangle }CAN={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{8}{5}}\Rightarrow \mathrm{\sphericalangle }CAN={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{8}{5}}\right)\approx {\mathrm{57,99}}^{\circ }\backslash tan\backslash sphericalangle\; CAN\; =\; \backslash dfrac\{|\backslash overline\{\backslash mathrm\{MN\}\}|\}\{|\backslash overline\{\backslash mathrm\{AM\}\}|\}=\backslash dfrac\{8\}\{5\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash sphericalangle\; CAN\; =\backslash tan^\{-1\}\backslash left(\backslash dfrac\{8\}\{5\}\backslash right)\backslash approx57\{,\}99^\backslash circ$

Das Maß des Winkels $CANCAN$ beträgt rund ${\mathrm{57,99}}^{\circ }57\{,\}99^\backslash circ$.

Zeichnen Sie die Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}NP\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N$ und den Punkt $L_{1}L\_\{1\}$ für $x=4x=4$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Gib an, für welche Belegungen von $xx$ es Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}NP\_\{n\}\; Q\_\{n\}\; R\_\{n\}\; S\_\{n\}\; N$ gibt

Die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{AN\}\}$ beträgt etwa $\mathrm{9,43}\text{ cm}9\{,\}43\backslash \; \backslash cm$.

Deshalb gibt Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}NP\_nQ\_nR\_nS\_nN$, wenn gilt: .

Zeige, dass für den Flächeninhalt der Grundflächen $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}P\_\{n\}\; Q\_\{n\}\; R\_\{n\}\; S\_\{n\}$ der Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}NP\_\{n\}\; Q\_\{n\}\; R\_\{n\}\; S\_\{n\}\; N$ in Abhängigkeit von $xx$ gilt: $A(x)=(50-\mathrm{2,65}x){\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A(x)=(50-2\{,\}65\; x)\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^\{2\}$

Für die Fläche des Drachenvierecks gilt:

$A_{\text{Drache}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot e\cdot f={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid })\cdot \mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }A\_\{\backslash text\{Drache\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; e\backslash cdot\; f=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash left(|\backslash overline\{\backslash mathrm\{P\_nL\_n\}\}|+|\backslash overline\{\backslash mathrm\{L\_nR\_n\}\}|\backslash right)\backslash cdot\; |\backslash overline\{\backslash mathrm\{Q\_nS\_n\}\}|$

Unbekannt in der Flächengleichung ist $\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }|\backslash overline\{\backslash mathrm\{P\_nL\_n\}\}|$.

Betrachte das Dreieck $ANMANM$ und wende den Strahlensatz an.

Dann gilt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-x}{\mathrm{9,43}}}\Rightarrow \mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }(x)=\mathrm{0,5}\cdot 10\cdot \left({\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-x}{\mathrm{9,43}}}\right)=(5-\mathrm{0,53}x)\text{ cm}\backslash dfrac\{|\backslash overline\{\backslash mathrm\{P\_nL\_n\}\}|\}\{|\backslash overline\{\backslash mathrm\{AM\}\}|\}=\backslash dfrac\{9\{,\}43-x\}\{9\{,\}43\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overline\{\backslash mathrm\{P\_nL\_n\}\}|(x)=0\{,\}5\backslash cdot\; 10\backslash cdot\backslash left(\backslash dfrac\{9\{,\}43-x\}\{9\{,\}43\}\backslash right)=(5-0\{,\}53x)\backslash \; \backslash cm$

Damit erhält man für die Fläche des Drachenvierecks:

$A_{\text{Drache}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid })\cdot \mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }A\_\{\backslash text\{Drache\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash left(|\backslash overline\{\backslash mathrm\{P\_nL\_n\}\}|+|\backslash overline\{\backslash mathrm\{L\_nR\_n\}\}|\backslash right)\backslash cdot\; |\backslash overline\{\backslash mathrm\{Q\_nS\_n\}\}|$

$\Rightarrow A(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (5-\mathrm{0,53}x+\mathrm{0,5}\cdot 10)\cdot 10=5\cdot (10-\mathrm{0,53}x)=(50-\mathrm{2,65}x){\text{ cm}}^2\backslash Rightarrow\backslash ;A(x)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash left(5-0\{,\}53x+0\{,\}5\backslash cdot\; 10\backslash right)\backslash cdot\; 10=5\backslash cdot(10-0\{,\}53x)=(50-2\{,\}65x)\backslash \; \backslash cm^2$

Damit ist gezeigt, dass für den Flächeninhalt der Grundflächen $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}P\_\{n\}\; Q\_\{n\}\; R\_\{n\}\; S\_\{n\}$ der Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}NP\_\{n\}\; Q\_\{n\}\; R\_\{n\}\; S\_\{n\}\; N$ in Abhängigkeit von $xx$ gilt: $A(x)=(50-\mathrm{2,65}x){\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A(x)=(50-2\{,\}65\; x)\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^\{2\}$.

Berechne den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}NP\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N$ am Volumen des Prismas $ABCDEFGHABCDEFGH$

Berechne das Volumen des Prismas

$V_{\text{Prisma}}=G_{\text{Quadrat}}\cdot hV\_\{\backslash text\{Prisma\}\}=G\_\{\backslash text\{Quadrat\}\}\backslash cdot\; h$

Da vom Quadrat die Diagonalen gegeben sind, erhält man für den Flächeninhalt:

$G_{\text{Quadrat}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 10{\text{ cm}}^{2}G\_\{\backslash text\{Quadrat\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 10\backslash cdot\; 10\backslash \; \backslash cm^2$

Die Prismahöhe beträgt $8\text{ cm}8\backslash \; \backslash cm$.

$\Rightarrow V_{\text{Prisma}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 10\cdot 8=400\backslash Rightarrow\backslash ;V\_\{\backslash text\{Prisma\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 10\backslash cdot\; 10\backslash cdot\; 8=400$

Das Volumen des Prismas beträgt $400{\text{ cm}}^{3}400\backslash \; \backslash cm^3$.

Berechne das Volumen der Pyramide

Die Grundfläche der Pyramide in Abhängigkeit von $xx$ wurde in Aufgabe c) berechnet: $A(x)=(50-\mathrm{2,65}x){\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A(x)=(50-2\{,\}65\; x)\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^\{2\}$

Für die Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}NP\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N$ ist $x=4\Rightarrow A(4)=(50-\mathrm{2,65}\cdot 4){\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}x=4\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;A(4)=(50-2\{,\}65\; \backslash cdot\; 4)\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^\{2\}$.

$V_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot A_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_1}\cdot \mathrm{\mid }\overline{L_{1}N\mathrm{\mid }}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (50-\mathrm{2,65}\cdot 4)\cdot \mathrm{\mid }\overline{L_{1}N\mathrm{\mid }}V\_\{P\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; A\_\{P\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\}\backslash cdot\; |\backslash overline\{L\_\{1\}\; N|\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; (50-2\{,\}65\; \backslash cdot\; 4)\backslash cdot\; |\backslash overline\{L\_\{1\}\; N|\}$

Die Berechnung der Pyramidenhöhe $\mathrm{\mid }\overline{L_{1}N\mathrm{\mid }}|\backslash overline\{L\_\{1\}\; N|\}$ erfolgt mit dem Strahlensatz.

Betrachte das Dreieck $ANMANM$.

Dann gilt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{L}}_1\mathrm{N}}\mathrm{\mid }}{8}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-4}{\mathrm{9,43}}}\Rightarrow \mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{L}}_1\mathrm{N}}\mathrm{\mid }=8\cdot \left({\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-4}{\mathrm{9,43}}}\right)\approx \mathrm{4,61}\backslash dfrac\{|\backslash overline\{\backslash mathrm\{L\_1N\}\}|\}\{8\}=\backslash dfrac\{9\{,\}43-4\}\{9\{,\}43\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overline\{\backslash mathrm\{L\_1N\}\}|=8\backslash cdot\backslash left(\backslash dfrac\{9\{,\}43-4\}\{9\{,\}43\}\backslash right)\backslash approx4\{,\}61$

Die Pyramidenhöhe beträgt rund $\mathrm{4,61}\text{ cm}4\{,\}61\backslash \; \backslash cm$.

Für das Pyramidenvolumen folgt dann:

$V_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (50-\mathrm{2,65}\cdot 4)\cdot \mathrm{4,61}\approx \mathrm{60,54}V\_\{P\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; (50-2\{,\}65\; \backslash cdot\; 4)\backslash cdot\; 4\{,\}61\backslash approx60\{,\}54$

Das Volumen der Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}NP\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N$ beträgt rund $\mathrm{60,54}{\text{ cm}}^{3}60\{,\}54\backslash \; \backslash cm^3$.

Berechne den prozentualen Anteil

Für den prozentualen Anteil erhält man:

${\displaystyle \frac{V_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N}}{V_{\text{Prisma}}}}\cdot 100\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{\mathrm{60,54}}{400}}\cdot 100\mathrm{\%}\approx \mathrm{15,14}\mathrm{\%}\backslash dfrac\{V\_\{P\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N\}\}\{V\_\{\backslash text\{Prisma\}\}\}\backslash cdot\; 100\backslash \; \backslash \%=\backslash dfrac\{60\{,\}54\}\{400\}\backslash cdot\; 100\backslash \; \backslash \%\backslash approx15\{,\}14\backslash \; \backslash \%$

Der prozentuale Anteil des Volumens der Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}NP\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N$ am Volumen des Prismas $ABCDEFGHABCDEFGH$ beträgt rund $\mathrm{15,14}\mathrm{\%}15\{,\}14\backslash \; \backslash \%$.

Bestimme dieses Winkelmaß

Es gilt:

$\mathrm{\sphericalangle }{R}_0{P}_{0}N=\mathrm{\sphericalangle }N{R}_0{P}_0=\mathrm{\sphericalangle }CAN={\mathrm{57,99}}^{\circ }\backslash sphericalangle\; R\_0P\_0N=\backslash sphericalangle\; NR\_0P\_0=\backslash sphericalangle\; CAN=57\{,\}99^\backslash circ$

Das Maß des Winkels $N{R}_0{P}_{0}NR\_0P\_0$ beträgt ${\mathrm{57,99}}^{\circ }57\{,\}99^\backslash circ$.