Nachtermin Teil B

Kreuze an, um wie viel Prozent die Anzahl der Kegelrobben im Wattenmeer laut der Funktion $ff$ pro Jahr zunimmt

Der Wachstumsfaktor ist hier $a=\mathrm{1,1}a=1\{,\}1$.

Es gilt: $a=1+p\Rightarrow p=\mathrm{0,1}a=1+p\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;p=0\{,\}1$ oder $p=10\mathrm{\%}p=10\backslash ;\backslash \%$.

Die Anzahl der Kegelrobben im Wattenmeer nimmt laut der Funktion $ff$ pro Jahr um $10\mathrm{\%}10\backslash ;\backslash \%$ zu.

Erstelle eine Wertetabelle für $x\in [0;8]x\backslash in\; [0;\; 8]$ (auf Hunderter gerundete Werte).

Trage die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde sie.

Berechne, welche Anzahl an Kegelrobben laut der Funktion $ff$ am 1. Januar 2025 bekannt gegeben werden würde

Die Zeitrechnung beginnt am 1. Januar 2011.

Es ist nach der Zahl der Kegelrobben am 1. Januar 2025 gefragt.

Die verstrichene Zeit sind also 14 Jahre.

Berechne $f(14)=3300\cdot {\mathrm{1,1}}^{14}\approx 12500f(14)=3300\; \backslash cdot\; 1\{,\}1^\{14\}\; \backslash approx12500$ (auf Hunderter gerundet).

Am 1. Januar 2025 würde laut der Funktion $ff$ eine Anzahl von gerundet

$1250012\; 500$ Kegelrobben bekannt gegeben werden.

Ermittele rechnerisch das Datum, an dem laut der Funktion $ff$ erstmals eine Anzahl von mehr als $2000020\; 000$ Kegelrobben bekannt gegeben werden würde

Setze $20000=f(x)20000=\; f(x)$ und löse nach $xx$ auf.

$L=\{\mathrm{18,9}\}L=\backslash \{18\{,\}9\backslash \}$

Zum 1. Januar 2011 müssen also rund $1919$ Jahre addiert werden. Man ist dann im Jahr 2030.

Erstmals würde laut der Funktion $ff$ am 1. Januar 2030 eine Anzahl von mehr als

$2000020\; 000$ Kegelrobben bekannt gegeben werden.

Ergänze im Baumdiagramm die zugehörigen Anteile

Aus der Aufgabenstellung folgt:

Der Anteil der roten T-Shirts beträgt $p\mathrm{\%}p\backslash ;\backslash \%$.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$ Der Anteil der schwarzen T-Shirts beträgt $(100-p)\mathrm{\%}(100-p)\backslash ;\backslash \%$.

Von den roten T-Shirts wurden $24\mathrm{\%}24\backslash ;\backslash \%$ ohne Namensaufdruck geliefert.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$ Von den roten T-Shirts wurden $(100-24)\mathrm{\%}=76\mathrm{\%}(100-24)\backslash ;\backslash \%=76\backslash ;\backslash \%$ mit Namensaufdruck geliefert.

Bei den schwarzen T-Shirts ist dieser Anteil (⁣$24\mathrm{\%}24\backslash ;\backslash \%$ ohne Namensaufdruck) doppelt so groß, d.h. er beträgt $2\cdot 24\mathrm{\%}=48\mathrm{\%}2\backslash cdot24\backslash ;\backslash \%=48\backslash ;\backslash \%$.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$Der Anteil der schwarzen T-Shirts mit Namensaufdruck beträgt dann$(100-48)\mathrm{\%}=52\mathrm{\%}(100-48)\backslash ;\backslash \%=52\backslash ;\backslash \%$.

Damit sind die im Baumdiagramm zugehörigen Anteile vollständig berechnet.

Zeige, dass der Anteil $p\mathrm{\%}p\backslash ;\backslash \%$ der roten T-Shirts $75\mathrm{\%}75\backslash ;\backslash \%$ beträgt

Gegeben ist:

Der Anteil der roten T-Shirts ohne Namensaufdruck liegt bei $18\mathrm{\%}18\backslash ;\backslash \%$.

Folge dem ersten Pfad und stelle eine Gleichung auf:

${\displaystyle \frac{p}{100}}\cdot {\displaystyle \frac{24}{100}}={\displaystyle \frac{18}{100}}\backslash dfrac\{p\}\{100\}\backslash cdot\; \backslash dfrac\{24\}\{100\}=\backslash dfrac\{18\}\{100\}$ mit $p\in {\mathbb{R}}^{+}p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R^+\}$

Löse die Gleichung nach $pp$ auf:

$L=\{75\}L=\backslash \{75\backslash \}$

Der Anteil $p\mathrm{\%}p\backslash ;\backslash \%$ der roten T-Shirts beträgt $75\mathrm{\%}75\backslash ;\backslash \%$.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es ein T-Shirt mit Namensaufdruck ist

Folge den beiden Pfaden, die zu $mNmN$ führen.

$P(mN)=P(r,mN)+P(s,mN)={\displaystyle \frac{75}{100}}\cdot {\displaystyle \frac{76}{100}}+{\displaystyle \frac{100-75}{100}}\cdot {\displaystyle \frac{52}{100}}P(mN)=P(r,mN)+P(s,mN)=\backslash dfrac\{75\}\{100\}\backslash cdot\; \backslash dfrac\{76\}\{100\}+\backslash dfrac\{100-75\}\{100\}\backslash cdot\; \backslash dfrac\{52\}\{100\}$$\Rightarrow P(mN)={\displaystyle \frac{5700+1300}{10000}}={\displaystyle \frac{7000}{10000}}=\mathrm{0,7}\backslash Rightarrow\backslash ;P(mN)=\backslash dfrac\{5700+1300\}\{10000\}=\backslash dfrac\{7000\}\{10000\}=0\{,\}7$

$L=\{70\mathrm{\%}\}L=\backslash \{70\backslash ;\backslash \%\backslash \}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es ein T-Shirt mit Namensaufdruck ist, beträgt $70\mathrm{\%}70\backslash ;\backslash \%$.

Zeichne das Viereck $ABCDABCD$ sowie die Diagonale $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$

Zeichne die Strecke $\mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }=10\text{ cm}|\backslash overline\{AB\}|\; =\; 10\backslash \; \backslash cm$. Trage im Punkt $AA$ den Winkel $\mathrm{\sphericalangle }BAD={80}^{\circ }\backslash sphericalangle\; BAD\; =\; 80^\backslash circ$ ab und im Punkt $BB$ den Winkel $\mathrm{\sphericalangle }DBA={25}^{\circ }\backslash sphericalangle\; DBA\; =\; 25^\backslash circ$. Die freien Schenkel schneiden sich im Punkt $DD$. Zeichne um $DD$ einen Kreis mit dem Radius $r=4\text{ cm}r=4\backslash \; \backslash cm$ und um $BB$ einen Kreis mit dem Radius $r=8\text{ cm}r=8\backslash \; \backslash cm$. Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt $CC$.

Verbinde die fehlenden Strecken.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$

Verwende zur Berechnung der Länge der Strecke $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$ den Sinussatz.

${\displaystyle \frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}}={\displaystyle \frac{b}{\sin \left(\beta \right)}}={\displaystyle \frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}}\backslash dfrac\{a\}\{\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)\}=\backslash dfrac\{b\}\{\backslash sin\backslash left(\backslash beta\backslash right)\}=\backslash dfrac\{c\}\{\backslash sin\backslash left(\backslash gamma\backslash right)\}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{BD}\mathrm{\mid }}{\sin {80}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }}{\sin ({180}^{\circ }-{80}^{\circ }-{25}^{\circ })}}={\displaystyle \frac{10}{\sin {75}^{\circ }}}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{|\backslash overline\{BD\}|\}\{\backslash sin\; 80^\backslash circ\}=\backslash dfrac\{|\backslash overline\{AB\}|\}\{\backslash sin(180^\backslash circ-\; 80^\backslash circ-25^\backslash circ)\}=\backslash dfrac\{10\}\{\backslash sin75^\backslash circ\}$

$\Rightarrow \mathrm{\mid }\overline{BD}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{10}{\sin {75}^{\circ }}}\cdot \sin {80}^{\circ }\approx \mathrm{10,20}\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overline\{BD\}|=\backslash dfrac\{10\}\{\backslash sin75^\backslash circ\}\backslash cdot\; \backslash sin\; 80^\backslash circ\backslash approx10\{,\}20$

Die Länge der Strecke $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$ beträgt rund $\mathrm{10,20}\text{ cm}10\{,\}20\backslash \; \backslash cm$.

Ergänze in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die Strecke $\overline{EF}\backslash overline\{EF\}$

Beachte dabei:

Der Punkt $EE$ liegt auf der Strecke $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$ mit $\mathrm{\mid }\overline{BE}\mathrm{\mid }=4\text{ cm}|\backslash overline\{BE\}|=4\backslash \; \backslash cm$. Der Punkt $FF$ ist der Fußpunkt des Lotes von $EE$ auf die Strecke $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{BF}\backslash overline\{BF\}$

Das Dreieck $BEFBEF$ ist rechtwinklig.

Bekannt ist $\mathrm{\mid }\overline{BE}\mathrm{\mid }=4\text{ cm}|\backslash overline\{BE\}|=4\backslash \; \backslash cm$ und der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }DBA={25}^{\circ }\backslash sphericalangle\; DBA\; =\; 25^\backslash circ$.

Es gilt:

$\cos \mathrm{\sphericalangle }DBA={\displaystyle \frac{\overline{BF}}{\overline{BE}}}\Rightarrow \overline{BF}=\cos \mathrm{\sphericalangle }DBA\cdot \overline{BE}=\cos {25}^{\circ }\cdot 4\approx \mathrm{3,63}\backslash cos\backslash sphericalangle\; DBA\; =\backslash dfrac\{\backslash overline\{BF\}\}\{\backslash overline\{BE\}\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash overline\{BF\}=\backslash cos\backslash sphericalangle\; DBA\; \backslash cdot\; \backslash overline\{BE\}=\backslash cos25^\backslash circ\; \backslash cdot4\backslash approx\; 3\{,\}63$

Die Länge der Strecke $\overline{BF}\backslash overline\{BF\}$ beträgt rund $\mathrm{3,63}\text{ cm}3\{,\}63\backslash \; \backslash cm$.

Zeichne die Strecke $\overline{FG}\backslash overline\{FG\}$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.

Begründe, dass das Maß des Winkels $GFAGFA$ gleich dem Maß des Winkels $DBADBA$ ist

Die Winkel $GFAGFA$ und $DBADBA$ sind Stufenwinkel an den zueinander parallelen Geraden $BDBD$ und $FGFG$ und somit gleich groß.

Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke $\overline{FG}\backslash overline\{FG\}$

Verwende den Strahlensatz (alle Einheiten in cm):

Es gilt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{FG}\mathrm{\mid }}{\mathrm{10,20}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }\overline{BF}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{10-\mathrm{3,63}}{10}}\backslash dfrac\{|\backslash overline\{FG\}|\}\{10\{,\}20\}=\backslash dfrac\{|\backslash overline\{AB\}|-|\backslash overline\{BF\}|\}\{|\backslash overline\{AB\}|\}=\backslash dfrac\{10-3\{,\}63\}\{10\}$

$\Rightarrow \mathrm{\mid }\overline{FG}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{10-\mathrm{3,63}}{10}}\cdot \mathrm{10,20}\approx \mathrm{6,50}\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overline\{FG\}|=\backslash dfrac\{10-3\{,\}63\}\{10\}\backslash cdot\; 10\{,\}20\backslash approx6\{,\}50$

Die Länge der Strecke $\overline{FG}\backslash overline\{FG\}$ beträgt rund $\mathrm{6,50}\text{ cm}6\{,\}50\backslash \; \backslash cm$.

Berechne das Maß des Winkels $DCBDCB$

Verwende zur Berechnung den Kosinussatz.

Es gilt:

$\cos \mathrm{\sphericalangle }DCB={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{CD}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overline{BC}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\overline{BD}{\mathrm{\mid }}^2}{2\cdot \mathrm{\mid }\overline{CD}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overline{BD}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{4^2+8^2-{\mathrm{10,20}}^2}{2\cdot 4\cdot 8}}\backslash cos\backslash sphericalangle\; DCB=\backslash dfrac\{|\backslash overline\{CD\}|^2+|\backslash overline\{BC\}|^2-|\backslash overline\{BD\}|^2\}\{2\backslash cdot|\backslash overline\{CD\}|\backslash cdot\; |\backslash overline\{BD\}|\; \}=\backslash dfrac\{4^2+8^2-10\{,\}20^2\}\{2\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; 8\}$

$\Rightarrow \mathrm{\sphericalangle }DCB={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{4^2+8^2-{\mathrm{10,20}}^2}{2\cdot 4\cdot 8}}\right)\approx {\mathrm{112,06}}^{\circ }\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash sphericalangle\; DCB=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash dfrac\{4^2+8^2-10\{,\}20^2\}\{2\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; 8\}\backslash right)\backslash approx112\{,\}06^\backslash circ$

Das Maß des Winkels $DCBDCB$ beträgt rund ${\mathrm{112,06}}^{\circ }112\{,\}06^\backslash circ$.

Berechne den Flächeninhalt $AA$ des Vierecks $ABCDABCD$

Teile das Viereck in zwei Dreiecke $ABDABD$ und $BCDBCD$.

$A_{\text{ABCD}}=A_{\text{ABD}}+A_{\text{BCD}}A\_\{\backslash text\{ABCD\}\}=A\_\{\backslash text\{ABD\}\}+A\_\{\backslash text\{BCD\}\}$

Die Berechnung des Flächeninhalts der beiden Dreiecke erfolgt mit zwei Seiten des Dreiecks und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels.

Dann gilt z.B. $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma A\_\{\backslash Delta\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; a\backslash cdot\; b\backslash cdot\backslash sin\backslash gamma$ oder entsprechende Formeln.

Dann folgt:

$A_{\text{ABCD}}=A_{\text{ABD}}+A_{\text{BCD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overline{BD}\mathrm{\mid }\cdot \sin {25}^{\circ }+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{\mid }\overline{CD}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overline{BC}\mathrm{\mid }\cdot \sin {\mathrm{112,06}}^{\circ }A\_\{\backslash text\{ABCD\}\}=A\_\{\backslash text\{ABD\}\}+A\_\{\backslash text\{BCD\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; |\backslash overline\{AB\}|\backslash cdot\; |\backslash overline\{BD\}|\backslash cdot\; \backslash sin\; 25^\backslash circ+\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; |\backslash overline\{CD\}|\backslash cdot\; |\backslash overline\{BC\}|\backslash cdot\; \backslash sin\; 112\{,\}06^\backslash circ$

$A_{\text{ABCD}}=({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot \mathrm{10,20}\cdot \sin {25}^{\circ }+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4\cdot 8\cdot \sin {\mathrm{112,06}}^{\circ })\approx \mathrm{36,38}A\_\{\backslash text\{ABCD\}\}=\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 10\backslash cdot\; 10\{,\}20\backslash cdot\; \backslash sin\; 25^\backslash circ+\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; 8\backslash cdot\; \backslash sin\; 112\{,\}06^\backslash circ\backslash right)\backslash approx36\{,\}38$

Der Flächeninhalt $AA$ des Vierecks $ABCDABCD$ beträgt rund $\mathrm{36,38}{\text{ cm}}^{2}36\{,\}38\backslash \; \backslash cm^2$.

Berechne den Radius $rr$ dieses Kreissektors

Bekannt ist aus Aufgabe d) $\mathrm{\sphericalangle }DCB={\mathrm{112,06}}^{\circ }\backslash sphericalangle\; DCB\; =112\{,\}06^\backslash circ$ und der Flächeninhalt $AA$ des Vierecks $ABCDABCD$ beträgt rund $\mathrm{36,38}{\text{ cm}}^{2}36\{,\}38\backslash \; \backslash cm^2$.

Weiterhin gilt:

Der Flächeninhalt des Kreissektors mit dem Mittelpunkt $CC$ und dem Mittelpunktswinkel $DCBDCB$ beträgt $33\mathrm{\%}33\backslash \; \backslash \%$ des Flächeninhalts des Vierecks $ABCDABCD$.

Berechne $33\mathrm{\%}33\backslash \; \backslash \%$ des Flächeninhalts des Vierecks $ABCDABCD$

$\Rightarrow A_{\text{Kreissektor}}=\mathrm{0,33}\cdot \mathrm{36,38}{\text{ cm}}^2\backslash Rightarrow\backslash ;\; A\_\{\backslash text\{Kreissektor\}\}=0\{,\}33\backslash cdot\; 36\{,\}38\backslash \; \backslash cm^2$

Benutze die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors allgemein

Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt allgemein:

$A_{\text{Kreissektor}}={\displaystyle \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}}\cdot \pi \cdot r^{2}A\_\{\backslash text\{Kreissektor\}\}=\; \backslash dfrac\{\backslash alpha\}\{360^\{\backslash circ\}\}\; \backslash cdot\; \backslash pi\backslash cdot\; r^2$

Erstelle eine Gleichung und löse nach $rr$ auf

Mit dem Mittelpunktswinkel $\mathrm{\sphericalangle }DCB={\mathrm{112,06}}^{\circ }\backslash sphericalangle\; DCB\; =112\{,\}06^\backslash circ$ folgt dann:

${\displaystyle \frac{{\mathrm{112,06}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\cdot \pi \cdot r^2=\mathrm{0,33}\cdot \mathrm{36,38}\backslash dfrac\{112\{,\}06^\backslash circ\}\{360^\{\backslash circ\}\}\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^2=0\{,\}33\backslash cdot\; 36\{,\}38$

Löse nach $rr$ auf. (Der Radius $rr$ hat die Einheit cm.)

Der Radius $rr$ des Kreissektors beträgt rund $\mathrm{3,50}\text{ cm}3\{,\}50\backslash \; \backslash cm$.

Ergänze den Kreissektor in der Zeichnung zur Aufgabenstellung

Zeichne um den Punkt $CC$ einen Kreisbogen mit dem Radius $\mathrm{3,50}\text{ cm}3\{,\}50\backslash \; \backslash cm$.

Zeichne das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGHABCDEFGH$ mit den Strecken $\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{MN\}\}$ und $\overline{\mathrm{A}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{AN\}\}$

Zeichne die Strecke $\overline{AC}\backslash overline\{AC\}$ und markiere die Mitte dieser Strecke $MM$. Trage im Punkt $MM$ einen Winkel von $\omega ={45}^{\circ }\backslash omega=45^\{\backslash circ\}$ an. Wegen $q=\frac{1}{2}q=\backslash frac\{1\}\{2\}$ beträgt die Länge der Diagonalen $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$ nur $5\text{ cm}5\backslash \; \backslash cm$. Zeichne in den Punkten $A,B,CA,B,C$, $DD$ und $MM$ jeweils eine Senkrechte mit einer Länge von $8\text{ cm}8\backslash \; \backslash cm$.

Verbinde die Punkte $A,B,CA,\; B,\; C$ und $DD$ ebenso die Punkte $E,F,GE,\; F,\; G$ und $HH$. Verbinde weiterhin die Punkte $EE$ mit $GG$ und $FF$ mit $HH$. Der Schnittpunkt der Strecken $\overline{EG}\backslash overline\{EG\}$ und $\overline{FH}\backslash overline\{FH\}$ ist der Punkt $NN$. Verbinde $AA$ mit $NN$.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{AN\}\}$

Betrachte das rechtwinklige Dreieck $AMNAMN$:

Verwende den Satz des Pythagoras:

$\mathrm{\mid }\overline{\mathrm{A}\mathrm{N}}\mathrm{\mid }=\sqrt{(\mathrm{0,5}\cdot 10{)}^2+8^2}\approx \mathrm{9,43}|\backslash overline\{\backslash mathrm\{AN\}\}|=\backslash sqrt\{(0\{,\}5\backslash cdot\; 10)^2+8^2\}\backslash approx9\{,\}43$

Die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{AN\}\}$ beträgt etwa $\mathrm{9,43}\text{ cm}9\{,\}43\backslash \; \backslash cm$.

Berechne das Maß des Winkels CAN

Verwende zur Berechnung den Tangens:

$\tan \mathrm{\sphericalangle }CAN={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{8}{5}}\Rightarrow \mathrm{\sphericalangle }CAN={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{8}{5}}\right)\approx {\mathrm{57,99}}^{\circ }\backslash tan\backslash sphericalangle\; CAN\; =\; \backslash dfrac\{|\backslash overline\{\backslash mathrm\{MN\}\}|\}\{|\backslash overline\{\backslash mathrm\{AM\}\}|\}=\backslash dfrac\{8\}\{5\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash sphericalangle\; CAN\; =\backslash tan^\{-1\}\backslash left(\backslash dfrac\{8\}\{5\}\backslash right)\backslash approx57\{,\}99^\backslash circ$

Das Maß des Winkels $CANCAN$ beträgt rund ${\mathrm{57,99}}^{\circ }57\{,\}99^\backslash circ$.

Zeichnen Sie die Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}NP\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N$ und den Punkt $L_{1}L\_\{1\}$ für $x=4x=4$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Gib an, für welche Belegungen von $xx$ es Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}NP\_\{n\}\; Q\_\{n\}\; R\_\{n\}\; S\_\{n\}\; N$ gibt

Die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{AN\}\}$ beträgt etwa $\mathrm{9,43}\text{ cm}9\{,\}43\backslash \; \backslash cm$.

Deshalb gibt Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}NP\_nQ\_nR\_nS\_nN$, wenn gilt: .

Zeige, dass für den Flächeninhalt der Grundflächen $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}P\_\{n\}\; Q\_\{n\}\; R\_\{n\}\; S\_\{n\}$ der Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}NP\_\{n\}\; Q\_\{n\}\; R\_\{n\}\; S\_\{n\}\; N$ in Abhängigkeit von $xx$ gilt: $A(x)=(50-\mathrm{2,65}x){\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A(x)=(50-2\{,\}65\; x)\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^\{2\}$

Für die Fläche des Drachenvierecks gilt:

$A_{\text{Drache}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot e\cdot f={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid })\cdot \mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }A\_\{\backslash text\{Drache\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; e\backslash cdot\; f=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash left(|\backslash overline\{\backslash mathrm\{P\_nL\_n\}\}|+|\backslash overline\{\backslash mathrm\{L\_nR\_n\}\}|\backslash right)\backslash cdot\; |\backslash overline\{\backslash mathrm\{Q\_nS\_n\}\}|$

Unbekannt in der Flächengleichung ist $\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }|\backslash overline\{\backslash mathrm\{P\_nL\_n\}\}|$.

Betrachte das Dreieck $ANMANM$ und wende den Strahlensatz an.

Dann gilt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-x}{\mathrm{9,43}}}\Rightarrow \mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }(x)=\mathrm{0,5}\cdot 10\cdot \left({\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-x}{\mathrm{9,43}}}\right)=(5-\mathrm{0,53}x)\text{ cm}\backslash dfrac\{|\backslash overline\{\backslash mathrm\{P\_nL\_n\}\}|\}\{|\backslash overline\{\backslash mathrm\{AM\}\}|\}=\backslash dfrac\{9\{,\}43-x\}\{9\{,\}43\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overline\{\backslash mathrm\{P\_nL\_n\}\}|(x)=0\{,\}5\backslash cdot\; 10\backslash cdot\backslash left(\backslash dfrac\{9\{,\}43-x\}\{9\{,\}43\}\backslash right)=(5-0\{,\}53x)\backslash \; \backslash cm$

Damit erhält man für die Fläche des Drachenvierecks:

$A_{\text{Drache}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid })\cdot \mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\mid }A\_\{\backslash text\{Drache\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash left(|\backslash overline\{\backslash mathrm\{P\_nL\_n\}\}|+|\backslash overline\{\backslash mathrm\{L\_nR\_n\}\}|\backslash right)\backslash cdot\; |\backslash overline\{\backslash mathrm\{Q\_nS\_n\}\}|$

$\Rightarrow A(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (5-\mathrm{0,53}x+\mathrm{0,5}\cdot 10)\cdot 10=5\cdot (10-\mathrm{0,53}x)=(50-\mathrm{2,65}x){\text{ cm}}^2\backslash Rightarrow\backslash ;A(x)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash left(5-0\{,\}53x+0\{,\}5\backslash cdot\; 10\backslash right)\backslash cdot\; 10=5\backslash cdot(10-0\{,\}53x)=(50-2\{,\}65x)\backslash \; \backslash cm^2$

Damit ist gezeigt, dass für den Flächeninhalt der Grundflächen $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}P\_\{n\}\; Q\_\{n\}\; R\_\{n\}\; S\_\{n\}$ der Pyramiden $P_n{Q}_n{R}_n{S}_{n}NP\_\{n\}\; Q\_\{n\}\; R\_\{n\}\; S\_\{n\}\; N$ in Abhängigkeit von $xx$ gilt: $A(x)=(50-\mathrm{2,65}x){\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A(x)=(50-2\{,\}65\; x)\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^\{2\}$.

Berechne den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}NP\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N$ am Volumen des Prismas $ABCDEFGHABCDEFGH$

Berechne das Volumen des Prismas

$V_{\text{Prisma}}=G_{\text{Quadrat}}\cdot hV\_\{\backslash text\{Prisma\}\}=G\_\{\backslash text\{Quadrat\}\}\backslash cdot\; h$

Da vom Quadrat die Diagonalen gegeben sind, erhält man für den Flächeninhalt:

$G_{\text{Quadrat}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 10{\text{ cm}}^{2}G\_\{\backslash text\{Quadrat\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 10\backslash cdot\; 10\backslash \; \backslash cm^2$

Die Prismahöhe beträgt $8\text{ cm}8\backslash \; \backslash cm$.

$\Rightarrow V_{\text{Prisma}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 10\cdot 8=400\backslash Rightarrow\backslash ;V\_\{\backslash text\{Prisma\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 10\backslash cdot\; 10\backslash cdot\; 8=400$

Das Volumen des Prismas beträgt $400{\text{ cm}}^{3}400\backslash \; \backslash cm^3$.

Berechne das Volumen der Pyramide

Die Grundfläche der Pyramide in Abhängigkeit von $xx$ wurde in Aufgabe c) berechnet: $A(x)=(50-\mathrm{2,65}x){\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A(x)=(50-2\{,\}65\; x)\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^\{2\}$

Für die Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}NP\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N$ ist $x=4\Rightarrow A(4)=(50-\mathrm{2,65}\cdot 4){\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}x=4\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;A(4)=(50-2\{,\}65\; \backslash cdot\; 4)\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^\{2\}$.

$V_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot A_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_1}\cdot \mathrm{\mid }\overline{L_{1}N\mathrm{\mid }}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (50-\mathrm{2,65}\cdot 4)\cdot \mathrm{\mid }\overline{L_{1}N\mathrm{\mid }}V\_\{P\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; A\_\{P\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\}\backslash cdot\; |\backslash overline\{L\_\{1\}\; N|\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; (50-2\{,\}65\; \backslash cdot\; 4)\backslash cdot\; |\backslash overline\{L\_\{1\}\; N|\}$

Die Berechnung der Pyramidenhöhe $\mathrm{\mid }\overline{L_{1}N\mathrm{\mid }}|\backslash overline\{L\_\{1\}\; N|\}$ erfolgt mit dem Strahlensatz.

Betrachte das Dreieck $ANMANM$.

Dann gilt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{L}}_1\mathrm{N}}\mathrm{\mid }}{8}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-4}{\mathrm{9,43}}}\Rightarrow \mathrm{\mid }\overline{{\mathrm{L}}_1\mathrm{N}}\mathrm{\mid }=8\cdot \left({\displaystyle \frac{\mathrm{9,43}-4}{\mathrm{9,43}}}\right)\approx \mathrm{4,61}\backslash dfrac\{|\backslash overline\{\backslash mathrm\{L\_1N\}\}|\}\{8\}=\backslash dfrac\{9\{,\}43-4\}\{9\{,\}43\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overline\{\backslash mathrm\{L\_1N\}\}|=8\backslash cdot\backslash left(\backslash dfrac\{9\{,\}43-4\}\{9\{,\}43\}\backslash right)\backslash approx4\{,\}61$

Die Pyramidenhöhe beträgt rund $\mathrm{4,61}\text{ cm}4\{,\}61\backslash \; \backslash cm$.

Für das Pyramidenvolumen folgt dann:

$V_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (50-\mathrm{2,65}\cdot 4)\cdot \mathrm{4,61}\approx \mathrm{60,54}V\_\{P\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; (50-2\{,\}65\; \backslash cdot\; 4)\backslash cdot\; 4\{,\}61\backslash approx60\{,\}54$

Das Volumen der Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}NP\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N$ beträgt rund $\mathrm{60,54}{\text{ cm}}^{3}60\{,\}54\backslash \; \backslash cm^3$.

Berechne den prozentualen Anteil

Für den prozentualen Anteil erhält man:

${\displaystyle \frac{V_{P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}N}}{V_{\text{Prisma}}}}\cdot 100\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{\mathrm{60,54}}{400}}\cdot 100\mathrm{\%}\approx \mathrm{15,14}\mathrm{\%}\backslash dfrac\{V\_\{P\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N\}\}\{V\_\{\backslash text\{Prisma\}\}\}\backslash cdot\; 100\backslash \; \backslash \%=\backslash dfrac\{60\{,\}54\}\{400\}\backslash cdot\; 100\backslash \; \backslash \%\backslash approx15\{,\}14\backslash \; \backslash \%$

Der prozentuale Anteil des Volumens der Pyramide $P_1{Q}_1{R}_1{S}_{1}NP\_\{1\}\; Q\_\{1\}\; R\_\{1\}\; S\_\{1\}\; N$ am Volumen des Prismas $ABCDEFGHABCDEFGH$ beträgt rund $\mathrm{15,14}\mathrm{\%}15\{,\}14\backslash \; \backslash \%$.

Bestimme dieses Winkelmaß

Es gilt:

$\mathrm{\sphericalangle }{R}_0{P}_{0}N=\mathrm{\sphericalangle }N{R}_0{P}_0=\mathrm{\sphericalangle }CAN={\mathrm{57,99}}^{\circ }\backslash sphericalangle\; R\_0P\_0N=\backslash sphericalangle\; NR\_0P\_0=\backslash sphericalangle\; CAN=57\{,\}99^\backslash circ$

Das Maß des Winkels $N{R}_0{P}_{0}NR\_0P\_0$ beträgt ${\mathrm{57,99}}^{\circ }57\{,\}99^\backslash circ$.