Zeichne das Viereck $ABCDABCD$ sowie die Diagonale $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$

Zeichne die Strecke $\mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }=10\text{ cm}|\backslash overline\{AB\}|\; =\; 10\backslash \; \backslash cm$. Trage im Punkt $AA$ den Winkel $\mathrm{\sphericalangle }BAD={80}^{\circ }\backslash sphericalangle\; BAD\; =\; 80^\backslash circ$ ab und im Punkt $BB$ den Winkel $\mathrm{\sphericalangle }DBA={25}^{\circ }\backslash sphericalangle\; DBA\; =\; 25^\backslash circ$. Die freien Schenkel schneiden sich im Punkt $DD$. Zeichne um $DD$ einen Kreis mit dem Radius $r=4\text{ cm}r=4\backslash \; \backslash cm$ und um $BB$ einen Kreis mit dem Radius $r=8\text{ cm}r=8\backslash \; \backslash cm$. Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt $CC$.

Verbinde die fehlenden Strecken.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$

Verwende zur Berechnung der Länge der Strecke $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$ den Sinussatz.

${\displaystyle \frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}}={\displaystyle \frac{b}{\sin \left(\beta \right)}}={\displaystyle \frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}}\backslash dfrac\{a\}\{\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)\}=\backslash dfrac\{b\}\{\backslash sin\backslash left(\backslash beta\backslash right)\}=\backslash dfrac\{c\}\{\backslash sin\backslash left(\backslash gamma\backslash right)\}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{BD}\mathrm{\mid }}{\sin {80}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }}{\sin ({180}^{\circ }-{80}^{\circ }-{25}^{\circ })}}={\displaystyle \frac{10}{\sin {75}^{\circ }}}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{|\backslash overline\{BD\}|\}\{\backslash sin\; 80^\backslash circ\}=\backslash dfrac\{|\backslash overline\{AB\}|\}\{\backslash sin(180^\backslash circ-\; 80^\backslash circ-25^\backslash circ)\}=\backslash dfrac\{10\}\{\backslash sin75^\backslash circ\}$

$\Rightarrow \mathrm{\mid }\overline{BD}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{10}{\sin {75}^{\circ }}}\cdot \sin {80}^{\circ }\approx \mathrm{10,20}\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overline\{BD\}|=\backslash dfrac\{10\}\{\backslash sin75^\backslash circ\}\backslash cdot\; \backslash sin\; 80^\backslash circ\backslash approx10\{,\}20$

Die Länge der Strecke $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$ beträgt rund $\mathrm{10,20}\text{ cm}10\{,\}20\backslash \; \backslash cm$.

Ergänze in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die Strecke $\overline{EF}\backslash overline\{EF\}$

Beachte dabei:

Der Punkt $EE$ liegt auf der Strecke $\overline{BD}\backslash overline\{BD\}$ mit $\mathrm{\mid }\overline{BE}\mathrm{\mid }=4\text{ cm}|\backslash overline\{BE\}|=4\backslash \; \backslash cm$. Der Punkt $FF$ ist der Fußpunkt des Lotes von $EE$ auf die Strecke $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{BF}\backslash overline\{BF\}$

Das Dreieck $BEFBEF$ ist rechtwinklig.

Bekannt ist $\mathrm{\mid }\overline{BE}\mathrm{\mid }=4\text{ cm}|\backslash overline\{BE\}|=4\backslash \; \backslash cm$ und der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }DBA={25}^{\circ }\backslash sphericalangle\; DBA\; =\; 25^\backslash circ$.

Es gilt:

$\cos \mathrm{\sphericalangle }DBA={\displaystyle \frac{\overline{BF}}{\overline{BE}}}\Rightarrow \overline{BF}=\cos \mathrm{\sphericalangle }DBA\cdot \overline{BE}=\cos {25}^{\circ }\cdot 4\approx \mathrm{3,63}\backslash cos\backslash sphericalangle\; DBA\; =\backslash dfrac\{\backslash overline\{BF\}\}\{\backslash overline\{BE\}\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash overline\{BF\}=\backslash cos\backslash sphericalangle\; DBA\; \backslash cdot\; \backslash overline\{BE\}=\backslash cos25^\backslash circ\; \backslash cdot4\backslash approx\; 3\{,\}63$

Die Länge der Strecke $\overline{BF}\backslash overline\{BF\}$ beträgt rund $\mathrm{3,63}\text{ cm}3\{,\}63\backslash \; \backslash cm$.

Zeichne die Strecke $\overline{FG}\backslash overline\{FG\}$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.

Begründe, dass das Maß des Winkels $GFAGFA$ gleich dem Maß des Winkels $DBADBA$ ist

Die Winkel $GFAGFA$ und $DBADBA$ sind Stufenwinkel an den zueinander parallelen Geraden $BDBD$ und $FGFG$ und somit gleich groß.

Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke $\overline{FG}\backslash overline\{FG\}$

Verwende den Strahlensatz (alle Einheiten in cm):

Es gilt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{FG}\mathrm{\mid }}{\mathrm{10,20}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }\overline{BF}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{10-\mathrm{3,63}}{10}}\backslash dfrac\{|\backslash overline\{FG\}|\}\{10\{,\}20\}=\backslash dfrac\{|\backslash overline\{AB\}|-|\backslash overline\{BF\}|\}\{|\backslash overline\{AB\}|\}=\backslash dfrac\{10-3\{,\}63\}\{10\}$

$\Rightarrow \mathrm{\mid }\overline{FG}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{10-\mathrm{3,63}}{10}}\cdot \mathrm{10,20}\approx \mathrm{6,50}\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overline\{FG\}|=\backslash dfrac\{10-3\{,\}63\}\{10\}\backslash cdot\; 10\{,\}20\backslash approx6\{,\}50$

Die Länge der Strecke $\overline{FG}\backslash overline\{FG\}$ beträgt rund $\mathrm{6,50}\text{ cm}6\{,\}50\backslash \; \backslash cm$.

Berechne das Maß des Winkels $DCBDCB$

Verwende zur Berechnung den Kosinussatz.

Es gilt:

$\cos \mathrm{\sphericalangle }DCB={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{CD}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overline{BC}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\overline{BD}{\mathrm{\mid }}^2}{2\cdot \mathrm{\mid }\overline{CD}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overline{BD}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{4^2+8^2-{\mathrm{10,20}}^2}{2\cdot 4\cdot 8}}\backslash cos\backslash sphericalangle\; DCB=\backslash dfrac\{|\backslash overline\{CD\}|^2+|\backslash overline\{BC\}|^2-|\backslash overline\{BD\}|^2\}\{2\backslash cdot|\backslash overline\{CD\}|\backslash cdot\; |\backslash overline\{BD\}|\; \}=\backslash dfrac\{4^2+8^2-10\{,\}20^2\}\{2\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; 8\}$

$\Rightarrow \mathrm{\sphericalangle }DCB={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{4^2+8^2-{\mathrm{10,20}}^2}{2\cdot 4\cdot 8}}\right)\approx {\mathrm{112,06}}^{\circ }\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash sphericalangle\; DCB=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash dfrac\{4^2+8^2-10\{,\}20^2\}\{2\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; 8\}\backslash right)\backslash approx112\{,\}06^\backslash circ$

Das Maß des Winkels $DCBDCB$ beträgt rund ${\mathrm{112,06}}^{\circ }112\{,\}06^\backslash circ$.

Berechne den Flächeninhalt $AA$ des Vierecks $ABCDABCD$

Teile das Viereck in zwei Dreiecke $ABDABD$ und $BCDBCD$.

$A_{\text{ABCD}}=A_{\text{ABD}}+A_{\text{BCD}}A\_\{\backslash text\{ABCD\}\}=A\_\{\backslash text\{ABD\}\}+A\_\{\backslash text\{BCD\}\}$

Die Berechnung des Flächeninhalts der beiden Dreiecke erfolgt mit zwei Seiten des Dreiecks und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels.

Dann gilt z.B. $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma A\_\{\backslash Delta\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; a\backslash cdot\; b\backslash cdot\backslash sin\backslash gamma$ oder entsprechende Formeln.

Dann folgt:

$A_{\text{ABCD}}=A_{\text{ABD}}+A_{\text{BCD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overline{BD}\mathrm{\mid }\cdot \sin {25}^{\circ }+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{\mid }\overline{CD}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overline{BC}\mathrm{\mid }\cdot \sin {\mathrm{112,06}}^{\circ }A\_\{\backslash text\{ABCD\}\}=A\_\{\backslash text\{ABD\}\}+A\_\{\backslash text\{BCD\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; |\backslash overline\{AB\}|\backslash cdot\; |\backslash overline\{BD\}|\backslash cdot\; \backslash sin\; 25^\backslash circ+\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; |\backslash overline\{CD\}|\backslash cdot\; |\backslash overline\{BC\}|\backslash cdot\; \backslash sin\; 112\{,\}06^\backslash circ$

$A_{\text{ABCD}}=({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot \mathrm{10,20}\cdot \sin {25}^{\circ }+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4\cdot 8\cdot \sin {\mathrm{112,06}}^{\circ })\approx \mathrm{36,38}A\_\{\backslash text\{ABCD\}\}=\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 10\backslash cdot\; 10\{,\}20\backslash cdot\; \backslash sin\; 25^\backslash circ+\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; 8\backslash cdot\; \backslash sin\; 112\{,\}06^\backslash circ\backslash right)\backslash approx36\{,\}38$

Der Flächeninhalt $AA$ des Vierecks $ABCDABCD$ beträgt rund $\mathrm{36,38}{\text{ cm}}^{2}36\{,\}38\backslash \; \backslash cm^2$.

Berechne den Radius $rr$ dieses Kreissektors

Bekannt ist aus Aufgabe d) $\mathrm{\sphericalangle }DCB={\mathrm{112,06}}^{\circ }\backslash sphericalangle\; DCB\; =112\{,\}06^\backslash circ$ und der Flächeninhalt $AA$ des Vierecks $ABCDABCD$ beträgt rund $\mathrm{36,38}{\text{ cm}}^{2}36\{,\}38\backslash \; \backslash cm^2$.

Weiterhin gilt:

Der Flächeninhalt des Kreissektors mit dem Mittelpunkt $CC$ und dem Mittelpunktswinkel $DCBDCB$ beträgt $33\mathrm{\%}33\backslash \; \backslash \%$ des Flächeninhalts des Vierecks $ABCDABCD$.

Berechne $33\mathrm{\%}33\backslash \; \backslash \%$ des Flächeninhalts des Vierecks $ABCDABCD$

$\Rightarrow A_{\text{Kreissektor}}=\mathrm{0,33}\cdot \mathrm{36,38}{\text{ cm}}^2\backslash Rightarrow\backslash ;\; A\_\{\backslash text\{Kreissektor\}\}=0\{,\}33\backslash cdot\; 36\{,\}38\backslash \; \backslash cm^2$

Benutze die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors allgemein

Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt allgemein:

$A_{\text{Kreissektor}}={\displaystyle \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}}\cdot \pi \cdot r^{2}A\_\{\backslash text\{Kreissektor\}\}=\; \backslash dfrac\{\backslash alpha\}\{360^\{\backslash circ\}\}\; \backslash cdot\; \backslash pi\backslash cdot\; r^2$

Erstelle eine Gleichung und löse nach $rr$ auf

Mit dem Mittelpunktswinkel $\mathrm{\sphericalangle }DCB={\mathrm{112,06}}^{\circ }\backslash sphericalangle\; DCB\; =112\{,\}06^\backslash circ$ folgt dann:

${\displaystyle \frac{{\mathrm{112,06}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\cdot \pi \cdot r^2=\mathrm{0,33}\cdot \mathrm{36,38}\backslash dfrac\{112\{,\}06^\backslash circ\}\{360^\{\backslash circ\}\}\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^2=0\{,\}33\backslash cdot\; 36\{,\}38$

Löse nach $rr$ auf. (Der Radius $rr$ hat die Einheit cm.)

Der Radius $rr$ des Kreissektors beträgt rund $\mathrm{3,50}\text{ cm}3\{,\}50\backslash \; \backslash cm$.

Ergänze den Kreissektor in der Zeichnung zur Aufgabenstellung

Zeichne um den Punkt $CC$ einen Kreisbogen mit dem Radius $\mathrm{3,50}\text{ cm}3\{,\}50\backslash \; \backslash cm$.