Prüfungsaufgaben Mathematik 2024

Aufgabe 7: Blumenstrauß

Die Geschwister Daniel und Filip wollen ihrer Mutter jeweils einen Blumenstrauß zum Muttertag kaufen.

Daniel kauft seinen Blumenstrauß in Geschäft A.

Filip kauft seinen Blumenstrauß in Geschäft B.

Im Geschäft $A$ kosten eine Rose und eine Tulpe zusammen $3,80$ €.
Für $6$ Rosen und $5$ Tulpen zahlt Daniel insgesamt $21,20$ €.
Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem zu diesem Sachverhalt auf.
Dabei gilt: $x$ : Preis pro Rose $y$ : Preis pro Tulpe. (2P)
$\text{I.}$
$\text{II.}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Für die erste Gleichung schaut man sich den Satz "Im Geschäft A kosten eine Rose und eine Tulpe zusammen 3,80€" an.
Das formuliert man nun in eine Gleichung um:
" $\text{Preis einer Rose}\ "+"\ \text{Preis einer Tulpe}\ "=3{,}80\ €$
Jetzt setzt man die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Variablen ein:
$x+y=3{,}80\ €$
Für die zweite Gleichung braucht man den Satz "Für 6 Rosen und 5 Tulpen zahlt Daniel insgesamt 21,20€."
Er hat also sechsmal den Preis einer Rose und fünfmal den Preis einer Tulpe bezahlt:
$6\cdot"\text{Preis einer Rose}"+5\cdot"\text{Preis einer Tulpe}"=21{,}20\ €$
Jetzt setzt man wieder die Variablen ein:
$6\cdot x+5\cdot y=21{,}20\ €$ .
Das lineares Gleichungssystem sieht dann so aus:
$\text{I.}$ $x+y=3{,}80\$
$\text{II.}$ $6x+5y=21{,}20\$
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$\large *$ Im Geschäft $B$ ist der Preis für eine Rose $2,30$ € und der Preis für

eine Tulpe $1,70$ €.

Filip stellt zu seinem Blumenstrauß folgendes Gleichungssystem auf.

$\text{I.}\quad2{,}30\ r+1{,}70\ t=26{,}90$

$\text{II.}\quad r+t=13$

Formulieren Sie einen Satz, der den Sachverhalt beschreibt, der durch

Gleichung II ausgedrückt wird.

Ermitteln Sie die Lösung für das Gleichungssystem. (4P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem

Erklärung der zweiten Gleichung

Zunächst könnte man davon ausgehen, dass die Gleichung die Summe der Preise für eine Rose und eine Tulpe beschreibt.

Da die Einzelpreise der beiden Blumenarten aber angegeben sind, zeigt eine schnelle Rechnung, dass das nicht stimmen kann:

$\text{"Preis einer Rose"} + \text{"Preis einer Tulpe"} = 2{,}30 \ € + 1{,}70 \ € = 4{,}00 \ €$

Schaut man sich auch die erste Gleichung an, fällt auf, dass $r$ und $t$ nicht für die Preise der Blumen stehen, da die beiden Variablen mit den Preisen multipliziert werden.

Die Variablen $r$ und $t$ stehen also für die Anzahl der Rosen bzw. Tulpen, die gekauft werden.

Die Gleichung sagt aus, dass insgesamt $13$ Blumen gekauft wurden.

Lösung des Gleichungssystems

Zuerst löst man eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf. Dabei wählt man am besten die einfachere der Gleichungen:

$\text{II.}$ $r+t=13\ \ \ \ \ \ \ |-r$

$t = 13 - r$

Das setzt man jetzt in die andere Gleichung ein:

$\displaystyle 2{,}30\ r+1{,}70\cdot(13-r)$	$=$	$\displaystyle 26{,}90$
$\displaystyle 2{,}30 \ r + 22{,}10 - 1{,}70 \ r$	$=$	$\displaystyle 26{,}90$	$\displaystyle - 22{,}10$
$\displaystyle 2{,}30 \ r - 1{,}70 \ r$	$=$	$\displaystyle 26{,}90 - 22{,}10$
$\displaystyle 0{,}6 \ r$	$=$	$\displaystyle 4{,}80$	$\displaystyle \cdot 10$
$\displaystyle 6 \ r$	$=$	$\displaystyle 48$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 8$

Diesen Wert setzt man jetzt in die zweite Gleichung ein:

$\text{II.}$ $t = 13 - 8 = 5$

Es wurden also $8$ Rosen und $5$ Tulpen gekauft.

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