Prüfungsaufgaben Mathematik 2024

$1\mathrm{h}=60\min \backslash mathrm\{1\backslash \; h=60\backslash min\}$

$\mathrm{3,25}\mathrm{h}=\mathrm{3,25}\cdot 60\min =195\min \backslash mathrm\{3\{,\}25\; \{\backslash color\{blue\}\backslash \; h\}=3\{,\}25\backslash cdot\; \{\backslash color\{blue\}60\backslash min\}=195\backslash min\}$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash$$\mathrm{3,25}3\{,\}25$ Stunden sind $195195$ Minuten.

Gesamtanzahl Kästchen:

$4\cdot 4=164\backslash cdot4=16$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{a}+\mathrm{a}+\mathrm{a}=3\cdot \mathrm{a}\backslash mathrm\{U\_\{Dreieck\}=a+a+a=3\backslash cdot\; a\}$

Die Lösung der Gleichung lautet $\mathbf{x}=\mathbf{6,5}\{\backslash mathbf\{x=6\{,\}5\}\}$.

Der neue Eintrittspreis beträgt $\mathrm{4,20}\text{€}4\{,\}20\backslash ,€$.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Die Summe der quadrierten Katheten ($\text{z}\backslash text\{z\}$ und $\text{y}\backslash text\{y\}$) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse $\text{x}\backslash text\{x\}$.

Multipliziere $44$ solange mit sich selbst, bis du $256256$ erhältst und zähle die Zahl der Faktoren des Produkts.

$4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=2564\backslash cdot4\backslash cdot4\backslash cdot4=256$

$\mathrm{x}=4\backslash mathrm\{x=4\}$

Ordnen der Datenwerte nach der Größe

$11\mathrm{°}\mathrm{C}17\mathrm{°}\mathrm{C}18\mathrm{°}\mathrm{C}20\mathrm{°}\mathrm{C}21\mathrm{°}\mathrm{C}21\mathrm{°}\mathrm{C}\backslash mathrm\{11°C\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 17°C\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 18°C\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 20°C\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 21°C\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 21°C\}$

Ermittlung des Median

Der Median ist der mittlere Wert einer Datenreihe. Da in der Aufgabe eine grade Anzahl von Datenwerten gegeben ist, berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der beiden mittleren Werte.

$\text{Median}={\displaystyle \frac{18+20}{2}}=19\backslash text\{Median\}=\backslash dfrac\{18+20\}\{2\}=19$

Bei $\mathbf{y}=-\mathbf{1}\backslash mathbf\{y=-1\}$ schneidet die Gerade die $\text{y}\backslash text\{y\}$-Achse.

Berechnung der Spannweite

Die Spannweite beträgt $\mathrm{65,9}\text{ mm}65\{,\}9\backslash mm$

Durchschnitt berechnen

Zur Berechnung des Jahresdurchschnitts wird die gesamte Niederschlagsmenge eines Jahres durch die Anzahl der Monate geteilt.

$\text{Durchschnitt}={\displaystyle \frac{\text{Jahresniederschlagsmenge}}{12}}\backslash text\{Durchschnitt\}=\backslash dfrac\{\backslash text\{Jahresniederschlagsmenge\}\}\{12\}$

$\text{Durchschnitt}={\displaystyle \frac{\mathrm{581,7}}{12}}\approx \mathrm{48,5}\backslash text\{Durchschnitt\}=\backslash dfrac\{581\{,\}7\}\{12\}\backslash approx\; 48\{,\}5$

Der Durchschnitt der monatlichen Niederschläge im Jahr 2021 beträgt ca. $\mathrm{48,5}\text{ mm}48\{,\}5\backslash mm$

Berechnung des Prozentsatzes

Formeln für die Prozentrechnung

Der Grundwert $GG$ ist die durchschnittliche Niederschlagsmenge,

$G=\mathrm{48,5}G=48\{,\}5$

Der Prozentwert $WW$ ist die Differenz der durchschnittlichen Niederschlagsmenge und der Niederschlagsmenge im April.

$W=\mathrm{48,5}-\mathrm{19,2}=\mathrm{29,3}W=48\{,\}5-19\{,\}2=29\{,\}3$

Der Prozentsatz $pp$ des Niederschlags des Monats April unterhalb

des monatlichen Durchschnitts beträgt:

$p={\displaystyle \frac{W}{G}}={\displaystyle \frac{\mathrm{29,3}}{\mathrm{48,5}}}\cdot 100\approx \mathrm{60,4}\mathrm{\%}p=\backslash dfrac\{W\}\{G\}=\backslash dfrac\{29\{,\}3\}\{48\{,\}5\}\backslash cdot100\backslash approx\; 60\{,\}4\backslash ,\backslash \%$

Für die Gartenpflege werden täglich $16\text{ l}16\backslash l$ Wasser verbraucht.

$16\cdot \mathrm{0,14}=\mathrm{2,24}16\backslash cdot\; 0\{,\}14=\; 2\{,\}24$

Familie Schulz würde täglich $\mathrm{2,24}ct2\{,\}24\backslash \; ct$ sparen.

Da die Funktion $f(x)=4x+1f(x)\; =\; 4x+1$ eine lineare Funktion ist, muss man nur die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse herausfinden, um den Graphen zeichnen zu können.

Die Steigung kann man am Funktionsterm ablesen, sie beträgt $44$.

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln, setzt man für $xx$ in die Funktion $00$ ein:

$f(0)=4\cdot 0+1=1f(0)\; =\; 4\; \backslash cdot\; 0\; +\; 1\; =\; 1$

Der Schnittpunkt $\text{P}\backslash text\; P$ der Funktion mit der y-Achse liegt also bei $(0\mathrm{\mid }1)(0\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; 1)$.

Jetzt kann man den Graphen zeichnen:

Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunktes

Um den Graphen der Funktion skizzieren zu können, braucht man die Koordinaten des Scheitelpunktes. Die $xx$-Koordinate des Scheitelpunktes ist bei quadratischen Funktionen $f(x)=a{x}^2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c$ immer bei $-\frac{b}{2a}-\; \backslash frac\{b\}\{2a\}$.

$x_S=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{0}{2\cdot 1}}=0x\_S\; =\; -\; \backslash dfrac\; \{b\}\{2a\}\; =\; -\; \backslash dfrac\{0\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}\; =\; 0$

Um die $yy$-Koordinate zu ermitteln, setzt man jetzt den errechneten $xx$-Wert in die Funktion ein:

$p(0)=0^2-4=-4p(0)\; =\; 0^2\; -\; 4\; =\; -4$

Der Scheitelpunkt $SS$ hat also die Koordinaten $S(0\mathrm{\mid }-4)S(0\; \backslash ,\; |\; -4)$.

Erstellung einer Wertetabelle

Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, setzt man jetzt die x-Werte links und rechts vom Scheitelpunkt in die Funktion ein:

Einzeichnen in das Koordinatensystem

Jetzt markiert man diese Punkte im Koordinatensystem und verbindet sie miteinander:

Um herauszufinden, ob der Punkt $TT$ auf der Parabel $pp$ liegt, setzt man die $xx$-Koordinate von $TT$ in die Funktion ein und prüft, ob der errechnete Funktionswert der y-Koordinate des Punktes entspricht:

$p(-5)=(-5{)}^2-4=25-4=21p(-5)\; =\; (-5)^2\; -4\; =\; 25\; -\; 4\; =\; 21$

$21\mathrm{\ne }2021\; \backslash neq\; 20$, also liegt der Punkt $TT$ nicht auf der Parabel $pp$.

Funktionen gleichsetzen

Um die Schnittpunkte der beiden Funktionen zu berechnen, setzt man die Funktionsterme gleich und stellt die Gleichung so um, das auf einer Seite $00$ steht:

Nach x auflösen

Um $xx$ zu bestimmen, verwendet man nun die Mitternachtsformel:

$x_1={\displaystyle \frac{4+6}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5x\_1\; =\; \backslash dfrac\{4+6\}\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{10\}\{2\}\; =\; 5$

$x_2={\displaystyle \frac{4-6}{2}}={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1x\_2\; =\; \backslash dfrac\{4-6\}\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{-2\}\{2\}\; =\; -1$

Berechnen der y-Koordinaten

Jetzt setze diese $xx$-Werte in eine der beiden Funktionen ein. Weil die Rechnung für $ff$einfacher ist, benutze diese Funktion.

$f(5)=4\cdot 5+1=21f(5)\; =\; 4\; \backslash cdot\; 5\; +\; 1\; =\; 21$

$f(-1)=4\cdot (-1)+1=-3f(-1)\; =\; 4\; \backslash cdot\; (-1)\; +\; 1\; =\; -3$

Die Koordinaten der Schnittpunkte sind also $S_1=(5\mathrm{\mid }21)S\_1\; =\; (5\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; 21)$ und $S_2=(-1\mathrm{\mid }-3)S\_2\; =\; (-1\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; -3)$.

Berechnung der Grundfläche des Kegels

$A=\pi \cdot r^{2}A\; =\; \backslash pi\backslash cdot\; r^2$

$A=\pi \cdot {30}^2=\mathrm{2827,43}A\; =\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 30^2\; =\; 2827\{,\}43$

Der Flächeninhalt der Grundfläche des Kegels beträgt $2\mathrm{827,43}{\text{ cm}}^{2}2~827\{,\}43\backslash cm^2$, bzw. $\mathrm{0,28}{\text{ m}}^{2}0\{,\}28\backslash m^2$.

Berechnung des Durchmessers der Grundfläche des Kegels

$d=2\cdot r=2\cdot 30=60d\; =\; 2\; \backslash cdot\; r\; =\; 2\; \backslash cdot\; 30\; =\; 60$

Durchmesser $dd$ entspricht der minimalen Seitenlänge des Quadrats.

Auswertung der Maße

Höhe des Quaders: mindestens Höhe des Kegels $h=80\text{ cm}h\; =\; 80\backslash cm$

Länge und Breite: Jeweils mindestens $60\text{ cm}60\backslash cm$

Die kleinstmögliche Verpackung ist $61\text{ cm}\cdot 61\text{ cm}\cdot 81\text{ cm}61\backslash cm\; \backslash cdot\; 61\backslash cm\; \backslash cdot\; 81\backslash cm$.

Berechnung des Zylinder-Volumens

$V_{\text{Zylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h=\pi \cdot (\mathrm{30,5}{)}^2\cdot 81=236\mathrm{719,79}V\_\{\backslash text\{Zylinder\}\}\; =\; \backslash pi\backslash cdot\; r^2\; \backslash cdot\; h\; =\; \backslash pi\; \backslash cdot\; (30\{,\}5)^2\; \backslash cdot\; 81\; =\; 236~719\{,\}79$

Berechnung des Kegel-Volumens

$V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (30{)}^2\cdot 80=75\mathrm{398,22}V\_\{\backslash text\{Kegel\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^2\; \backslash cdot\; h\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot(30)^2\; \backslash cdot\; 80\; =\; 75~398\{,\}22$

Berechnung des Restvolumens

$V_{\text{Rest}}=V_{\text{Zylinder}}-V_{\text{Kegel}}=236\mathrm{719,79}-75\mathrm{398,22}=161\mathrm{321,57}V\_\{\backslash text\{Rest\}\}\; =\; V\_\{\backslash text\{Zylinder\}\}\; -\; V\_\{\backslash text\{Kegel\}\}\; =\; 236~719\{,\}79\; -\; 75~398\{,\}22\; =\; 161~321\{,\}57$

Es werden $161\mathrm{321,57}{\text{ cm}}^{3}161~321\{,\}57\; \backslash cm^3$ Füllmaterial benötigt.

Wenn das erste Kind seinen Zettel zieht, ist vorher noch kein Zettel gezogen worden, das heißt, es sind noch alle fünf Zettel da.

Es gibt genau einen Zettel, auf dem "Staubsauger" steht.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Kind diesen Zettel zieht, beträgt also:

$P={\displaystyle \frac{\text{Anzahl Zettel, auf denen "Staubsauger" steht}}{\text{Gesamtanzahl Zettel}}}={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}=\underset{‾}{\underset{‾}{20\mathrm{\%}}}P\; =\; \backslash dfrac\{\backslash text\; \{Anzahl\; Zettel,\; auf\; denen\; "Staubsauger"\; steht\}\}\{\backslash text\{Gesamtanzahl\; Zettel\}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{5\}\; =\; 0\{,\}2\; =\; \backslash underline\; \{\backslash underline\{\backslash ,\; 20\; \backslash \%\; \backslash ,\}\}$

Baumdiagramm ausfüllen

In der ersten Woche beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Benjamin den Joker zieht $\frac{1}{5}\backslash frac\{1\}\{5\}$, da nur eine der fünf Karten ein Joker ist.

Umgekehrt beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er keinen Joker zieht, $\frac{4}{5}\backslash frac\{4\}\{5\}$.

Da Benjamin auch in der zweiten Woche aus allen fünf Zetteln zieht, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht.

Benjamin zieht zweimal den Joker - Wahrscheinlichkeit

Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass Benjamin zweimal hintereinander den Joker zieht, schaut man in das vorher erstellte Baumdiagramm und multipliziert die Wahrscheinlichkeit, dass er in der ersten Woche den Joker zieht, mit der Wahrscheinlichkeit, dass er in der zweiten Woche den Joker zieht:

${\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{1\cdot 1}{5\cdot 5}}=\underset{‾}{\underset{‾}{{\displaystyle \frac{1}{25}}}}\backslash dfrac\{1\}\{5\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{5\}\; =\; \backslash dfrac\{1\; \backslash cdot\; 1\}\{5\; \backslash cdot\; 5\}\; =\; \backslash underline\{\backslash underline\{\backslash dfrac\{1\}\{25\}\}\}$

Damit Klara überhaupt die Möglichkeit hat, den Joker zu ziehen, darf Benjamin ihn vorher natürlich nicht ziehen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Benjamin nicht den Joker zieht, beträgt $\frac{4}{5}\backslash frac\{4\}\{5\}$.

Wenn Benjamin gezogen hat, sind nur noch $44$ Zettel da, von denen einer der Joker ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Klara dann den Joker zieht, beträgt also $\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$.

Jetzt multipliziert man noch diese beiden Wahrscheinlichkeiten:

${\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{4\cdot 1}{5\cdot 4}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\backslash dfrac\{4\}\{5\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{4\}\; =\; \backslash dfrac\{\{\backslash color\; \{orange\}\; 4\}\; \backslash cdot\; 1\}\{5\; \backslash cdot\; \{\backslash color\; \{orange\}4\}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{5\}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Klara den Joker zieht, beträgt also $\frac{1}{5}\backslash frac\{1\}\{5\}$.

Aus der Zeichnung kannst du sehen, dass der Windel $\mathrm{\angle }AFB\backslash angle\; AFB$ ein rechter Winkel ist. Ebenfalls ist die Länge der Hypotenuse und einer Kathete gegeben.

Mit diesen Werten kannst du die Länge der Strecke $\overline{FA}\backslash overline\{FA\}$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Satz des Pythagoras anwenden

Länge der Hypotenuse (c): $384\text{ m}384\backslash m$

Länger einer Kathete (a): $255\text{ m}255\backslash m$

Der Höhenunterschied $\overline{FA}\backslash overline\{FA\}$ beträgt $\approx \mathrm{287,11}\text{ m}\backslash approx\; 287\{,\}11\backslash m$.

Der Winkel ${\beta }_1\backslash beta\_1$ kann mit der Seiten-Winkel-Beziehung des Sinus berechnet werden.

$\Rightarrow {\beta }_1={\sin }^{-1}(\mathrm{0,7477})\approx {\mathrm{48,39}}^{\circ }\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash beta\_1=\backslash sin^\{-1\}(0\{,\}7477)\backslash approx48\{,\}39^\backslash circ$

Die Größe des Winkels ${\beta }_1\backslash beta\_1$ beträgt ${\mathrm{48,39}}^{\circ }48\{,\}39^\backslash circ$.

Wir wissen von der Formel für die Geschwindigkeit $vv$, dass sie gegeben ist als die Länge eines Weges geteilt durch die Dauer, die für diesen Weg benötigt wird:

In diesem Fall ist die Streckenlänge $\mathrm{\Delta }s\backslash Delta\; s$ gegeben durch $\mid \overline{AB}\mid =384\text{ m}\backslash left|\backslash overline\{AB\}\backslash right|=384\backslash m$. Das können wir zusammen mit der in der Aufgabenstellung gegebenen Geschwindigkeit einsetzen.

Mittels Umformen erhalten wir:

Also dauert ein Fahrt mit der Seilbahn $120120$ Sekunden, was $22$ Minuten entspricht.

Wir bestimmen zuerst den Winkel $\mathrm{\measuredangle }ACB\backslash measuredangle\; ACB$, da dieser Winkel der Strecke $\overline{AC}\backslash overline\{AC\}$ gegenüberliegt, von welcher wir die Länge kennen. Weil dieser Winkel bei $CC$ liegt, bezeichnen wir ihn im Folgenden mit $\gamma \backslash gamma$.

Da die Innenwinkelsumme im Dreieck ${180}^{\circ }180^\{\backslash circ\}$ beträgt und wir die beiden anderen Winkel im Dreieck, nämlich $\alpha \backslash alpha$ und ${\beta }_2\backslash beta\_2$, kennen, können wir $\gamma \backslash gamma$ wie folgt berechnen:

Weil $\alpha \backslash alpha$ der Strecke $\overline{BC}\backslash overline\{BC\}$ gegenüberliegt, können wir jetzt den Sinussatz anwenden:

Die Länge der Seilbahnstrecke von $BB$ nach $CC$ beträgt also ungefähr $\mathrm{422,8}\mathrm{m}422\{,\}8\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$.

Für die erste Gleichung schaut man sich den Satz "Im Geschäft A kosten eine Rose und eine Tulpe zusammen 3,80€" an.

Das formuliert man nun in eine Gleichung um:

"$\text{Preis einer Rose }\mathrm{"}+\mathrm{"}\text{ Preis einer Tulpe }\mathrm{"}=\mathrm{3,80}\text{ €}\backslash text\{Preis\; einer\; Rose\}\backslash \; "+"\backslash \; \backslash text\{Preis\; einer\; Tulpe\}\backslash \; "=3\{,\}80\backslash \; €$

Jetzt setzt man die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Variablen ein:

$x+y=\mathrm{3,80}\text{ €}x+y=3\{,\}80\backslash \; €$

Für die zweite Gleichung braucht man den Satz "Für 6 Rosen und 5 Tulpen zahlt Daniel insgesamt 21,20€."

Er hat also sechsmal den Preis einer Rose und fünfmal den Preis einer Tulpe bezahlt:

$6\cdot \mathrm{"}\text{Preis einer Rose}\mathrm{"}+5\cdot \mathrm{"}\text{Preis einer Tulpe}\mathrm{"}=\mathrm{21,20}\text{ €}6\backslash cdot"\backslash text\{Preis\; einer\; Rose\}"+5\backslash cdot"\backslash text\{Preis\; einer\; Tulpe\}"=21\{,\}20\backslash \; €$

Jetzt setzt man wieder die Variablen ein:

$6\cdot x+5\cdot y=\mathrm{21,20}\text{ €}6\backslash cdot\; x+5\backslash cdot\; y=21\{,\}20\backslash \; €$.

Das lineares Gleichungssystem sieht dann so aus:

$\text{I.}\backslash text\{I.\}$ $x+y=\mathrm{3,80}x+y=3\{,\}80\backslash$

$\text{II.}\backslash text\{II.\}$ $6x+5y=\mathrm{21,20}6x+5y=21\{,\}20\backslash$

Erklärung der zweiten Gleichung

Zunächst könnte man davon ausgehen, dass die Gleichung die Summe der Preise für eine Rose und eine Tulpe beschreibt.

Da die Einzelpreise der beiden Blumenarten aber angegeben sind, zeigt eine schnelle Rechnung, dass das nicht stimmen kann:

$\text{"Preis einer Rose"}+\text{"Preis einer Tulpe"}=\mathrm{2,30}\text{ €}+\mathrm{1,70}\text{ €}=\mathrm{4,00}\text{ €}\backslash text\{"Preis\; einer\; Rose"\}\; +\; \backslash text\{"Preis\; einer\; Tulpe"\}\; =\; 2\{,\}30\; \backslash \; €\; +\; 1\{,\}70\; \backslash \; €\; =\; 4\{,\}00\; \backslash \; €$

Schaut man sich auch die erste Gleichung an, fällt auf, dass $rr$ und $tt$ nicht für die Preise der Blumen stehen, da die beiden Variablen mit den Preisen multipliziert werden.

Die Variablen $rr$ und $tt$ stehen also für die Anzahl der Rosen bzw. Tulpen, die gekauft werden.

Die Gleichung sagt aus, dass insgesamt $1313$ Blumen gekauft wurden.

Lösung des Gleichungssystems

Zuerst löst man eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf. Dabei wählt man am besten die einfachere der Gleichungen:

$\text{II.}\backslash text\{II.\}$ $r+t=13\mathrm{\mid }-rr+t=13\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; |-r$

$t=13-rt\; =\; 13\; -\; r$

Das setzt man jetzt in die andere Gleichung ein:

Diesen Wert setzt man jetzt in die zweite Gleichung ein:

$\text{II.}\backslash text\{II.\}$ $t=13-8=5t\; =\; 13\; -\; 8\; =\; 5$

Es wurden also $88$ Rosen und $55$ Tulpen gekauft.