Da die Funktion $f(x)=4x+1$ eine lineare Funktion ist, muss man nur die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse herausfinden, um den Graphen zeichnen zu können.

Die Steigung kann man am Funktionsterm ablesen, sie beträgt $4$.

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln, setzt man für $x$ in die Funktion $0$ ein:

$f(0)=4\cdot 0+1=1$

Der Schnittpunkt $\text{P}$ der Funktion mit der y-Achse liegt also bei $(0|1)$.

Jetzt kann man den Graphen zeichnen:

Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunktes

Um den Graphen der Funktion skizzieren zu können, braucht man die Koordinaten des Scheitelpunktes. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes ist bei quadratischen Funktionen $f(x)=a{x}^2+bx+c$ immer bei $-\frac{b}{2a}$.

$x_S=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{0}{2\cdot 1}}=0$

Um die $y$-Koordinate zu ermitteln, setzt man jetzt den errechneten $x$-Wert in die Funktion ein:

$p(0)=0^2-4=-4$

Der Scheitelpunkt $S$ hat also die Koordinaten $S(0|-4)$.

Erstellung einer Wertetabelle

Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, setzt man jetzt die x-Werte links und rechts vom Scheitelpunkt in die Funktion ein:

Einzeichnen in das Koordinatensystem

Jetzt markiert man diese Punkte im Koordinatensystem und verbindet sie miteinander:

Um herauszufinden, ob der Punkt $T$ auf der Parabel $p$ liegt, setzt man die $x$-Koordinate von $T$ in die Funktion ein und prüft, ob der errechnete Funktionswert der y-Koordinate des Punktes entspricht:

$p(-5)=(-5{)}^2-4=25-4=21$

$21\ne 20$, also liegt der Punkt $T$ nicht auf der Parabel $p$.

Funktionen gleichsetzen

Um die Schnittpunkte der beiden Funktionen zu berechnen, setzt man die Funktionsterme gleich und stellt die Gleichung so um, das auf einer Seite $0$ steht:

Nach x auflösen

Um $x$ zu bestimmen, verwendet man nun die Mitternachtsformel:

$x_1={\displaystyle \frac{4+6}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5$

$x_2={\displaystyle \frac{4-6}{2}}={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1$

Berechnen der y-Koordinaten

Jetzt setze diese $x$-Werte in eine der beiden Funktionen ein. Weil die Rechnung für $f$einfacher ist, benutze diese Funktion.

$f(5)=4\cdot 5+1=21$

$f(-1)=4\cdot (-1)+1=-3$

Die Koordinaten der Schnittpunkte sind also $S_1=(5|21)$ und $S_2=(-1|-3)$.