Da die Funktion $f(x)=4x+1f(x)\; =\; 4x+1$ eine lineare Funktion ist, muss man nur die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse herausfinden, um den Graphen zeichnen zu können.

Die Steigung kann man am Funktionsterm ablesen, sie beträgt $44$.

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln, setzt man für $xx$ in die Funktion $00$ ein:

$f(0)=4\cdot 0+1=1f(0)\; =\; 4\; \backslash cdot\; 0\; +\; 1\; =\; 1$

Der Schnittpunkt $\text{P}\backslash text\; P$ der Funktion mit der y-Achse liegt also bei $(0\mathrm{\mid }1)(0\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; 1)$.

Jetzt kann man den Graphen zeichnen:

Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunktes

Um den Graphen der Funktion skizzieren zu können, braucht man die Koordinaten des Scheitelpunktes. Die $xx$-Koordinate des Scheitelpunktes ist bei quadratischen Funktionen $f(x)=a{x}^2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c$ immer bei $-\frac{b}{2a}-\; \backslash frac\{b\}\{2a\}$.

$x_S=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{0}{2\cdot 1}}=0x\_S\; =\; -\; \backslash dfrac\; \{b\}\{2a\}\; =\; -\; \backslash dfrac\{0\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}\; =\; 0$

Um die $yy$-Koordinate zu ermitteln, setzt man jetzt den errechneten $xx$-Wert in die Funktion ein:

$p(0)=0^2-4=-4p(0)\; =\; 0^2\; -\; 4\; =\; -4$

Der Scheitelpunkt $SS$ hat also die Koordinaten $S(0\mathrm{\mid }-4)S(0\; \backslash ,\; |\; -4)$.

Erstellung einer Wertetabelle

Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, setzt man jetzt die x-Werte links und rechts vom Scheitelpunkt in die Funktion ein:

Einzeichnen in das Koordinatensystem

Jetzt markiert man diese Punkte im Koordinatensystem und verbindet sie miteinander:

Um herauszufinden, ob der Punkt $TT$ auf der Parabel $pp$ liegt, setzt man die $xx$-Koordinate von $TT$ in die Funktion ein und prüft, ob der errechnete Funktionswert der y-Koordinate des Punktes entspricht:

$p(-5)=(-5{)}^2-4=25-4=21p(-5)\; =\; (-5)^2\; -4\; =\; 25\; -\; 4\; =\; 21$

$21\mathrm{\ne }2021\; \backslash neq\; 20$, also liegt der Punkt $TT$ nicht auf der Parabel $pp$.

Funktionen gleichsetzen

Um die Schnittpunkte der beiden Funktionen zu berechnen, setzt man die Funktionsterme gleich und stellt die Gleichung so um, das auf einer Seite $00$ steht:

Nach x auflösen

Um $xx$ zu bestimmen, verwendet man nun die Mitternachtsformel:

$x_1={\displaystyle \frac{4+6}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5x\_1\; =\; \backslash dfrac\{4+6\}\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{10\}\{2\}\; =\; 5$

$x_2={\displaystyle \frac{4-6}{2}}={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1x\_2\; =\; \backslash dfrac\{4-6\}\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{-2\}\{2\}\; =\; -1$

Berechnen der y-Koordinaten

Jetzt setze diese $xx$-Werte in eine der beiden Funktionen ein. Weil die Rechnung für $ff$einfacher ist, benutze diese Funktion.

$f(5)=4\cdot 5+1=21f(5)\; =\; 4\; \backslash cdot\; 5\; +\; 1\; =\; 21$

$f(-1)=4\cdot (-1)+1=-3f(-1)\; =\; 4\; \backslash cdot\; (-1)\; +\; 1\; =\; -3$

Die Koordinaten der Schnittpunkte sind also $S_1=(5\mathrm{\mid }21)S\_1\; =\; (5\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; 21)$ und $S_2=(-1\mathrm{\mid }-3)S\_2\; =\; (-1\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; -3)$.