Prüfungsaufgaben Mathematik 2024

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Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Aufgabe 6: Seilbahn

Eine Seilbahn verbindet die beiden Orte $A$ und $B$ .

Die Strecke $\overline{FA}$ kennzeichnet den Höhenunterschied zwischen den Orten $B$ und $A$ .

Berechnen Sie diesen Höhenunterschied. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Aus der Zeichnung kannst du sehen, dass der Windel $\angle AFB$ ein rechter Winkel ist. Ebenfalls ist die Länge der Hypotenuse und einer Kathete gegeben.

Mit diesen Werten kannst du die Länge der Strecke $\overline{FA}$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Satz des Pythagoras anwenden

Länge der Hypotenuse (c): $384\m$

Länger einer Kathete (a): $255\m$

$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle a^2 + b^2$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$\displaystyle 384^2$	$=$	$\displaystyle 255^2 + \overline{FA}^2$
$\displaystyle \overline{FA}^2$	$=$	$\displaystyle 384^2-255^2$
$\displaystyle \overline{FA}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{384^2-255^2}$
$\displaystyle \overline{FA}$	$\approx ≈$	$\displaystyle 287{,}11$

Der Höhenunterschied $\overline{FA}$ beträgt $\approx 287{,}11\m$ .

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Verwende den Satz des Pythagoras

Bestimmen Sie die Größe des Winkels $\beta_1$ , mit der die Seilbahn von $B$ nach $A$

fährt. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens

Der Winkel $\beta_1$ kann mit der Seiten-Winkel-Beziehung des Sinus berechnet werden.

$\displaystyle \sin(\beta_1)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Gegenkathete von\ }\beta_1}{\text{Hypotenuse}}$
	↓	Werte Einsetzen
$\displaystyle \sin(\beta_1)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{287{,}11}{384}$
$\displaystyle \sin(\beta_1)$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}7477$

$\;\Rightarrow\;\beta_1=\sin^{-1}(0{,}7477)\approx48{,}39^\circ$

Die Größe des Winkels $\beta_1$ beträgt $48{,}39^\circ$ .

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Verwende eine trigonometrische Funktion zur Berechnung des Winkels

Die Seilbahn fährt von $B$ nach $A$ mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit

von 3 $,2\frac{m}{s}$ .

Ermitteln Sie die Dauer für eine Fahrt mit der Seilbahn.

Geben Sie das Ergebnis in Minuten an. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geschwindigkeit (Grundlagen)

Wir wissen von der Formel für die Geschwindigkeit $v$ , dass sie gegeben ist als die Länge eines Weges geteilt durch die Dauer, die für diesen Weg benötigt wird:

\displaystyle v=\frac{\Delta s}{\Delta t}

In diesem Fall ist die Streckenlänge $\Delta s$ gegeben durch $\left|\overline{AB}\right|=384\m$ . Das können wir zusammen mit der in der Aufgabenstellung gegebenen Geschwindigkeit einsetzen.

Mittels Umformen erhalten wir:

$\displaystyle 3{,}2$	$=$	$\displaystyle \frac{384}{\Delta t}$	$\displaystyle \cdot\Delta t$
$\displaystyle 3{,}2\cdot\Delta t$	$=$	$\displaystyle 384$	$\displaystyle \div3{,}2$
$\displaystyle \Delta t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{384}{3{,}2}$
	$=$	$\displaystyle 120$

Also dauert ein Fahrt mit der Seilbahn $120$ Sekunden, was $2$ Minuten entspricht.

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$\large *$ Der Ort $B$ und der Ort $C$ sind mit einer weiteren Seilbahn verbunden.

Folgende Angaben sind bekannt:

$\alpha=38°$ und $\beta_2=108°$ .

Berechnen Sie die Länge der Seilbahnstrecke von $B$ nach $C$ . (4P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

Wir bestimmen zuerst den Winkel $\measuredangle ACB$ , da dieser Winkel der Strecke $\overline{AC}$ gegenüberliegt, von welcher wir die Länge kennen. Weil dieser Winkel bei $C$ liegt, bezeichnen wir ihn im Folgenden mit $\gamma$ .

Da die Innenwinkelsumme im Dreieck $180^{\circ}$ beträgt und wir die beiden anderen Winkel im Dreieck, nämlich $\alpha$ und $\beta_2$ , kennen, können wir $\gamma$ wie folgt berechnen:

\displaystyle v=\frac{\Delta s}{\Delta t}

Weil $\alpha$ der Strecke $\overline{BC}$ gegenüberliegt, können wir jetzt den Sinussatz anwenden:

$\displaystyle \frac{\left\|\overline{BC}\right\|}{\sin\left(\alpha\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left\|\overline{AB}\right\|}{\sin\left(\gamma\right)}$
	↓	Einsetzen der bekannten Werte
$\displaystyle \frac{\left\|\overline{BC}\right\|}{\sin\left(38^{\circ}\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{384}{\sin\left(34^{\circ}\right)}$	$\displaystyle \cdot\sin\left(38^{\circ}\right)$
$\displaystyle \left\|\overline{BC}\right\|$	$=$	$\displaystyle \sin\left(38^{\circ}\right)\frac{384}{\sin\left(34^{\circ}\right)}\approx422{,}8$

Die Länge der Seilbahnstrecke von $B$ nach $C$ beträgt also ungefähr $422{,}8\ \mathrm{m}$ .

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Bei dieser Aufgabe kann der Sinussatz hilfreich sein.
Um den fehlenden Winkel zu bestimmen, kannst Du zuvor verwenden, dass die Innenwinkelsumme eines Dreieckes $180^{\circ}$ beträgt.