Zeige, dass $f(x)={\displaystyle \frac{x^3-3x+2}{x^2}}$ zu jedem der beiden folgenden Terme äquivalent ist

1. Term

${\displaystyle \frac{(x-1{)}^2(x+2)}{x^2}}={\displaystyle \frac{(x^2-2x+1)\cdot (x+2)}{x^2}}={\displaystyle \frac{x^3+2x^2-2x^2-4x+x+2}{x^2}}={\displaystyle \frac{x^3-3x+2}{x^2}}✓$

2. Term

Bringe auf Hauptnenner $x^2$.

$x-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}={\displaystyle \frac{x^3-3x+2}{x^2}}✓$

Gib die Nullstellen von $f$ mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an

Benutze $f(x)={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2(x+2)}{x^2}}$.

Der Zähler wird gleich null für $x=1$ (doppelte Nullstelle) und $x=-2$ (einfache Nullstelle).

Gib zu jeder Asymptote von $G_f$ deren Art und Gleichung an

Es gibt eine senkrechte Asymptote bei $x=0$, hier ist es ein Pol 2. Ordnung ohne Vorzeichenwechsel.

Betrachte den 2. Term: $x-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}$.

Dabei gilt: $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }(-{\displaystyle \frac{3}{x}})=0}$$ und $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x^2}}=0}$$

$\Rightarrow y=x$ ist eine schräge Asymptote.

Ermittle die maximalen Monotonieintervalle von $G_f$ und gib die Art seines einzigen lokalen Extrempunktes an

Berechne die 1. Ableitung:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x^2\cdot (3x^2-3)-(x^3-3x+2)\cdot 2x}{x^4}}={\displaystyle \frac{x\cdot (3x^2-3)-(x^3-3x+2)\cdot 2}{x^3}}$

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x\cdot (3x^2-3)-(x^3-3x+2)\cdot 2}{x^3}}={\displaystyle \frac{3x^3-3x-2x^3+6x-4}{x^3}}={\displaystyle \frac{x^3+3x-4}{x^3}}$

Aus Aufgabe b) ist $x=1$ eine doppelte Nullstelle und damit ein Kandidat für eine Extremstelle.

Prüfe, ob es weitere Extremstellen gibt:

$\begin{array}{l}\phantom{}(x^3+0x^2+3x-4):(x-1)=x^2+x+4\\ -\underline{(x^3-x^2)}\\ \phantom{-(x^3-}{x}^2+3x\\ \phantom{(x-}-\underline{(x^2-x)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-}4x-4\\ \phantom{(x3+3x^2}-\underline{(4x-4)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-4x-}0\end{array}$

$\Rightarrow x^2+x+4=0$

Die Diskriminante $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 4=-15<0\Rightarrow$es gibt keine weiteren Nullstellen.

Also ist $x=1$ die einzige Extremstelle.

Berechne:

$f^{\prime }(-1)={\displaystyle \frac{(-1{)}^3+3\cdot (-1)-4}{(-1{)}^3}}=8>0$

$f^{\prime }(\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{(\mathrm{0,5}{)}^3+3\cdot (\mathrm{0,5})-4}{(\mathrm{0,5}{)}^3}}=-19<0$

$f^{\prime }(2)={\displaystyle \frac{2^3+3\cdot 2-4}{2^3}}={\displaystyle \frac{10}{8}}>0$

Erstelle eine Monotonietabelle.

$G_f$ ist sms in $]-\infty ,0[$ bzw. in $[1,+\infty [$.

$G_f$ ist smf in $]\mathrm{0,1}]$.

$\Rightarrow$ relativer $TP$ bei $x=1$.

Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts

Berechne $${\displaystyle {\int }_{-3}^{-2}f(x)\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_{-3}^{-2}(x-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}})\mathrm{d}x={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-3\ln |x|-{\displaystyle \frac{2}{x}}]}_{-3}^{-2}=}}$$

$\begin{array}{l}({\displaystyle \frac{(-2{)}^2}{2}}-3\ln |-2|-{\displaystyle \frac{2}{(-2)}})-({\displaystyle \frac{(-3{)}^2}{2}}-3\ln |-3|-{\displaystyle \frac{2}{(-3)}})=\\ (2-3\ln 2+1)-(\mathrm{4,5}-3\ln 3+\frac{2}{3})=-{\displaystyle \frac{13}{6}}+3\ln \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\approx -\mathrm{0,95}\end{array}$

$A=|-\mathrm{0,95}|=\mathrm{0,95}$

Die Maßzahl seines Flächeninhalts beträgt rund $\mathrm{0,95}\mathrm{FE}$.