🎓 Ui, schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Teil 2 Analysis II: mit Hilfsmitteln

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion ff durch die Gleichung f(x)=x33x+2x2f(x)=\dfrac{x^3-3x+2}{x^2} mit ihrer maximalen

    Definitionsmenge Df=RD_f=\mathbb{R} \{00} . Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Zeigen Sie, dass f(x)f(x) zu jedem der beiden folgenden Terme äquivalent ist:

      (x1)2(x+2)2\displaystyle\frac{(x-1)^2(x+2)}{2}

      x3x+2x2\displaystyle-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}

      Hinweis: Für alle drei Darstellungsformen der Funktion ff gilt: Df=RD_f=\mathbb{R}\{00}

      (Nachweis nicht erforderlich) (3 BE)

    2. Geben Sie die Nullstellen von ff mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an. (2 BE)

    3. Geben Sie zu jeder Asymptote von GfG_f deren Art und Gleichung an. (2 BE)

    4. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von GfG_f und geben Sie die Art seines einzigen lokalen Extrempunktes an.

      [[ mögliches Teilergebnis: f(x)=x3+3x4x3\displaystyle f'(x)=\frac{x^3+3x-4}{x^3} ]] (9 BE)

    5. Die Abbildung zeigt ein endliches Flächenstück AA, das unter anderem von Gf G_f\ begrenzt wird. Berechnen

      Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.

      Hinweis: Die ganzzahligen

      Grenzen des Flächenstücks

      dürfen der Abbildung

      entnommen werden.

      (4 BE)

      Bild
  2. 2

    Gegeben ist die Funktion h:x2,25[ln(x)]2 h:x\rightarrow2{,}25\cdot[\ln(x)]^2\ mit ihrer maximalen Definitionsmenge Dh=R+ D_h=\mathbb{R}^+. Der Graph von hh wird mit GhG_h bezeichnet.

    1. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von hh bei Annäherung an die Ränder von DhD_h. (3 BE)

    2. Ermitteln Sie die Art und die Koordinaten des relativen Extrempunktes und die exakten Koordinaten des Wendepunktes von GhG_h.

      [[ mögliches Teilergebnis: h(x)=4,5ln(x)x\displaystyle h'(x)=\frac{4{,}5\ln(x)}{x} ]] (8 BE)

    3. Zeigen Sie mithilfe partieller Integration, dass die Funktion HH mit

      H(x)=2,25x[ln(x)]24,5xln(x)+4,5x  H(x)=2{,}25\cdot x\cdot\left[\ln\left(x\right)\right]^2-4{,}5\cdot x\cdot\ln\left(x\right)+4{,}5\cdot x\ \ und DH=R+D_H=\mathbb{R}^+ eine Stammfunktion von hh ist. (5 BE)

    4. Nun wird zusätzlich die Funktion ss mit der Definitionsmenge Ds=[1;12]D_s=[1;12] und der

      Gleichung s(x)=1,5ln(x)s(x)=1{,}5\cdot\ln(x) betrachtet. Es gilt also [s(x)]2=h(x)   [s(x)]^2=h(x)\ \ \ für alle xDsx\in D_s. Der Graph von ss wird mit GsG_s bezeichnet. Lässt man GsG_s um die x-Achse rotieren, entsteht ein Rotationskörper (siehe Abbildung), welcher als Modell für den Kelch eines Saftglases dient. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Zentimeter. Auf die Mitführung der Einheiten kann bei den folgenden Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei

      Nachkommastellen.

      Bild

      1) Die Volumenmaßzahl VV des obigen Rotationskörpers kann mit dem Integral

      V(s)=π112[s(x)]2dxV(s)=\pi\cdot\displaystyle\int_1^{12}\left[s\left(x\right)\right]^2\mathrm{d}x berechnet werden. Zeigen Sie rechnerisch, dass das Saftglas ein maximales Flüssigkeitsvolumen von ca. 257 ml257 \ml aufnehmen kann. (4 BE)

      2) Die Standfläche des Saftglases soll kreisförmig sein und den gleichen Durchmesser wie die Querschnittsfläche des Rotationskörpers für x=12x=12 haben. Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Standfläche. (3 BE)

      Bild

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?