A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gegeben sind die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}), r \in ℝ$ und die Ebene $E : \vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}), s, t \in ℝ$ .

Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft. (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Weise nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft
Wenn die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft, dann muss der Richtungsvektor ${\vec{u}}_{g}$ der Geraden $g$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ${\vec{v}}_{E}$ und ${\vec{w}}_{E}$ der Ebene $E$ verlaufen. Für das Skalarprodukt gilt dann:
${\vec{u}}_{g} \circ {\vec{v}}_{g} = 0$ und ${\vec{u}}_{g} \circ {\vec{w}}_{g} = 0$
$\Rightarrow$ $(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + (- 2) \cdot 3 = 0 ✓$
und
$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = 1 \cdot 2 + 0 - 2 = 0 ✓$
Somit verläuft $g$ senkrecht zu $E$ .
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Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$
Setze $g = E$ :
$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{l} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{l} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Man erhält dann das folgende Gleichungssystem:
$\begin{array}{ccccc} I & - 1 \cdot r & + & 4 \cdot s & + & 2 \cdot t & = 2 \\ II & - 1 \cdot r & + & 2 \cdot s & + & 0 \cdot t & = 0 \\ III & 2 \cdot r & + & 3 \cdot s & + & 1 \cdot t & = - 5 \end{array}$
Aus Gleichung $II$ folgt: $r = 2 s$
Setze $r = 2 s$ in Gleichung $I$ und $III$ ein:
$\begin{array}{ccccc} I & - 1 \cdot 2 s & + & 4 \cdot s & + & 2 \cdot t & = 2 \\ III & 2 \cdot 2 s & + & 3 \cdot s & + & 1 \cdot t & = - 5 \end{array}$
Zusammengefasst folgt:
$\begin{array}{ccccc} I^{'} & 2 \cdot s & + & 2 \cdot t & = 2 \\ I I I^{'} & 7 \cdot s & + & 1 \cdot t & = - 5 \end{array}$
Rechne $I^{'} + (- 2) \cdot I I I^{'} :$
$\begin{array}{rrrrrcrr} I^{'} : & 2 \cdot s & + & 2 \cdot t & = & 2 \\ + (- 2) \cdot I I I^{'} : & - 14 \cdot s & - & 2 \cdot t & = & 10 \\ - 12 \cdot s & + & 0 & = & 12 \end{array}$
Damit ist $s = \frac{12}{- 12} = - 1$ . Dann folgt $r = 2 \cdot s = 2 \cdot (- 1) = - 2$ und $t = 1 - s = 1 - (- 1) = 2$
Setze $r = - 2$ in $g$ ein:
$\vec{O D} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + (- 2) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow D (0 | - 1 | 3)$
Die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ lauten $D (0 | - 1 | 3)$ .
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Setze $g = E$ und löse das Gleichungssystem $\Rightarrow r, s, t$ .
Setze das Berechnete $r$ in $g$ ein $\Rightarrow D$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Weise nach, dass die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft

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Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes D der Geraden g mit der Ebene E

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Weise nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$