A1

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_{k}$ mit
$f_{k}(x)=x^{4}+(2-k) \cdot x^{3}-k \cdot x^{2} \text { mit } k \in \mathbb{R}$ .
1. Begründen Sie, dass der Graph von $f_{2}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
  Begründe, dass der Graph von $f_{2}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist
  Es ist $f_2(x)=x^{4}+(2-2) \cdot x^{3}-2 \cdot x^{2}=x^4-2x^2$ .
  Der Funktionsterm von $f_{2}$ enthält nur Potenzen von $x$ mit geraden Exponenten, d.h. der Graph von $f_{2}$ ist symmetrisch zur y-Achse
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  Notiere $f_{2} (x)$ und schau Dir die Exponenten an.
2. Es gibt einen Wert von $k$ , für den $x = 1$ eine Wendestelle von $f_{k}$ ist.
  Berechnen Sie diesen Wert von $k$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Berechne diesen Wert von $k$
  Gegeben ist $f_{k}(x)=x^{4}+(2-k) \cdot x^{3}-k \cdot x^{2}$ .
  Berechne die 1. und 2. Ableitung:
  $f_{k}'(x)=4x^{3}+3\cdot (2-k) \cdot x^{2}-2k x$
  $f_{k}''(x)=12x^{2}+2\cdot 3\cdot (2-k) \cdot x-2k$
  Bekannt ist: Es gibt einen Wert von $k$ , für den $x = 1$ eine Wendestelle von $f_{k}$ ist.
  Demnach muss $f_{k}''(1)=0$ sein.
  $\Rightarrow\;f_{k}''(1)=12+6\cdot (2-k) -2k=0\;\Rightarrow\;24-6k-2k=0\;\Rightarrow\;24-8k=0$
  $\Rightarrow\;k=3$
  Der Wert von $k$ ist gleich $3$ .
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  Berechne die 1. und 2. Ableitung von $f_{k} (x)$ .
  Bekannt ist: Es gibt einen Wert von $k$ , für den $x = 1$ eine Wendestelle von $f_{k}$ ist.
  Demnach muss $f_{k}''(1)=0$ sein.
  Löse die Gleichung nach $k$ auf.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Eine Funktionenschar $f_{k}$ ist gegeben durch die Gleichung
$f_{k}(x)=\frac{1}{k} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}, x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{R}, k \neq 0$ .
1. Zeigen Sie rechnerisch: $f_{k}^{\prime}(x)=\left(-k \cdot x+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Zeige rechnerisch: $f_{k}^{\prime}(x)=\left(-k \cdot x+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}$
  Gegeben ist $f_{k}(x)=\frac{1}{k} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}$ .
  Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:
  $f_{k}'(x)=\frac{1}{k}\left( 1 \cdot\mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}+x(-k^2)\cdot\mathrm{e}^{-k^{2}\cdot x}\right)$
  $f_{k}'(x)=\frac{1}{k}\cdot\mathrm{e}^{-k^{2}\cdot x}(1-k^2x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot\mathrm{e}^{-k^{2}\cdot x}$
  Also ist $f_{k}'(x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot\mathrm{e}^{-k^{2}\cdot x}$ .
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  Berechne die 1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel.
2. Im Folgenden können Sie verwenden: $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1}$ .
  Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^{2}}$ ein Minimum besitzen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Zeige, dass $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist
  Gegeben ist $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1}$ .
  Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei $x=\dfrac{1}{k^2}$ ist $f_{k}^{\prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=0$ .
  Es ist $f_{k}^{\prime}=(-kx+\frac{1}{k})\cdot\mathrm{e}^{-k^{2}\cdot x}$ (Aufgabe a).
  Setze $x=\dfrac{1}{k^2}$ ein: $f_{k}^{\prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=\left(-k \cdot \frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot \frac{1}{k^{2}}}=\left(-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-1}=0 \cdot \mathrm{e}^{-1}=0$ für alle $k \neq 0$ .
  Wegen $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1} \neq 0$ für alle $k \neq 0$ ist $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar.
  Untersuche, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^{2}}$ ein Minimum besitzen
  Für ein Minimum muss $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)>0$ sein.
  $\;\Rightarrow\;f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1}>0 \Leftrightarrow k<0$ .
  Damit besitzen genau die $f_{k}$ mit $k < 0$ ein Minimum an der Extremstelle $\frac{1}{k^{2}}$ .
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  Teil 1
  Weise nach: Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei $x=\dfrac{1}{k^2}$ ist $f_{k}^{\prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=0$ . Beachte $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1} \neq 0$ .
  Teil 2
  Es ist $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1}$ .
  Für ein Minimum muss $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)>0$ sein.
  Was folgt daraus für den Wert von $k$ ?
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& f(x)=(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}, \quad x \in \mathbb{R}, \\& h(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R} .\end{aligned}$
1. Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h$ .
  $[$ Zur Kontrolle: Die Schnittstellen sind $x = 0$ und $x = 3$ . $]$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h$
  $f(x)=h(x) \Leftrightarrow(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}=x-3 \Leftrightarrow(x-3) \cdot\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)=0 \Leftrightarrow x-3=0 \vee \mathrm{e}^{x}-1=0\Leftrightarrow x=3 \vee x=0$
  Die Graphen der Funktionen $f$ und $h$ schneiden sich an den Stellen $x = 3$ und $x = 0$ .
  .
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  Löse die Gleichung $f (x) = h (x)$ .
2. Zwischen den Schnittstellen verläuft der Graph von $h$ oberhalb des Graphen von $f$ .
  Die Funktion $D(x)=(4-x) \cdot \mathrm{e}^{x}+0{,}5 \cdot x^{2}-3 \cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d (x) = h (x) - f (x)$ .
  Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird
  Für den Flächeninhalt gilt:
  $\displaystyle\int_{0}^{3} d(x) \;\mathrm{d} x=D(3)-D(0)=\left((4-3) \cdot \mathrm{e}^{3}+0{,}5\cdot 3^2-3\cdot 3\right)-4 \cdot \mathrm{e}^{0}$
  $\displaystyle\int_{0}^{3} d(x) \;\mathrm{d} x=\mathrm{e}^{3}+4{,}5-9-4=e^3-8{,}5$
  Der Flächeninhalt beträgt $(\mathrm{e}^{3}-8{,}5)\;\mathrm{FE}$ .
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  Berechne mit der Stammfunktion $D (x)$ das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3} d(x) \;\mathrm{d} x$ .

Aufgabe 4

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$ , wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_{F}$ von $F$ .

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1}^{7} f(x)\;\mathrm{d} x$ . (2 P)

Bestimmen Sie grafisch näherungsweise den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ .
(3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Bestimme grafisch näherungsweise den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$
Laut dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:
Die Ableitung von $F$ ist die Funktion $f$ .
Der Funktionswert $f (1)$ ist damit die Steigung, die $F$ an der Stelle $x = 1$ hat.
Mithilfe des Schaubilds gilt: $F'(1)=f(1)\approx\dfrac41=4$
Schaubild mit Steigungsdreieck
Der Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ beträgt ungefähr $4$ .
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Der Funktionswert $f (1)$ ist damit die Steigung, die $F$ an der Stelle $x = 1$ hat.
Zeichne ein Steigungsdreieck bei $x = 1$ ein und bestimme die Steigung.

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Gegeben sind die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right), r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $\def\arraystretch{1.25} E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), s, t \in \mathbb{R}$ .
1. Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Weise nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft
  Wenn die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft, dann muss der Richtungsvektor $\vec u_{g}$ der Geraden $g$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren $\vec v_E$ und $\vec w_E$ der Ebene $E$ verlaufen. Für das Skalarprodukt gilt dann:
  $\vec u_{g}\circ \vec v_{g}=0$ und $\vec u_{g}\circ \vec w_{g}=0$
  $\Rightarrow\;$ $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)=1\cdot4+1\cdot 2+(-2)\cdot 3=0\;\checkmark$
  und
  $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=1\cdot 2+0 -2=0\;\checkmark$
  Somit verläuft $g$ senkrecht zu $E$ .
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2. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$
  Setze $g = E$ :
  $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
  $\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\;\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix}=r\cdot \left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
  $\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\0\\-5\end{pmatrix}=r\cdot \left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
  Man erhält dann das folgende Gleichungssystem:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&-1\cdot r&+&4\cdot s&+&2\cdot t&=2\\\mathrm{II}&-1\cdot r&+&2\cdot s&+&0\cdot t&=0\\\mathrm{III}&2\cdot r&+&3\cdot s&+&1\cdot t&=-5\end{array}$
  Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt: $r = 2 s$
  Setze $r = 2 s$ in Gleichung $\mathrm{I}$ und $\mathrm{III}$ ein:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&-1\cdot 2s&+&4\cdot s&+&2\cdot t&=2\\\mathrm{III}&2\cdot 2s&+&3\cdot s&+&1\cdot t&=-5\end{array}$
  Zusammengefasst folgt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I'}&2\cdot s&+&2\cdot t&=2\\\mathrm{III'}&7\cdot s&+&1\cdot t&=-5 \end{array}$
  Rechne $\mathrm{I'}+(-2)\cdot\mathrm{III'}:$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{I'}:&2\cdot s&+&2\cdot t&=&2\\&+(-2)\cdot\mathrm{III'}:&-14\cdot s&-&2\cdot t&=&10 \\ \hline &&-12\cdot s&+&0&=&12&\end{array}$
  Damit ist $s=\dfrac{12}{-12}=-1$ . Dann folgt $r=2\cdot s=2\cdot (-1)=-2$ und $t = 1 - s = 1 - (- 1) = 2$
  Setze $r = - 2$ in $g$ ein:
  $\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}+(-2) \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;D(0|-1|3)$
  Die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ lauten $D (0 ∣ - 1 ∣ 3)$ .
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  Setze $g = E$ und löse das Gleichungssystem $\;\Rightarrow\;r,s,t$ .
  Setze das Berechnete $r$ in $g$ ein $\;\Rightarrow\;D$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 6
Gegeben sind die Punkte $A (- 5 ∣ 5 ∣ - 3)$ und $B (- 1 ∣ 1 ∣ - 1)$ .
Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{A B}$ an und bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von $\overline{A B}$ , die parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verläuft.
(1 P + 4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Gib die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{A B}$ an
Es ist $\vec m=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\begin{pmatrix}-5\\5\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-3\\3\\-2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;M(-3|3|-2)$
Die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{A B}$ sind $M (- 3 ∣ 3 ∣ - 2)$ .
Bestimme eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von $\overline{A B}$ , die parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verläuft
Wenn die Gerade parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verläuft, dann ist $x_{2}$ -Koordinate des Richtungsvektors gleich null.
Der Richtungsvektor der Geraden hat dann die allgemeine Form $\begin{pmatrix}a\\0\\b\end{pmatrix}$ und die Gleichung der Mittelsenkrechten ist dann:
$\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\3\\-2\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}a\\0\\b\end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ .
Der Vektor $\overrightarrow{A B}$ wird berechnet:
$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}$
Der Richtungsvektor der Geraden muss senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{A B}$ stehen, d.h. das Skalarprodukt ist gleich null.
$\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\;\overrightarrow{A B} \circ\left(\begin{array}{l}a \\ 0 \\ b\end{array}\right)=0 \Leftrightarrow\left(\begin{array}{c}4 \\ -4 \\ 2\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{l}a \\ 0 \\ b\end{array}\right)=0 \Leftrightarrow 4 a+2 b=0$ liefert $a = - 1$ und $b = 2$ als geeignete Werte von $a$ und $b$ .
Somit ist $\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\3\\-2\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ eine Gleichung der gesuchten Mittelsenkrechten.
Teil 1
Berechne $\vec m=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O B}\right)$ .
Teil 2
Der Richtungsvektor der Geraden hat die allgemeine Form $\vec v=\begin{pmatrix}a\\0\\b\end{pmatrix}$ und die Gleichung der Mittelsenkrechten ist dann: $\vec{x}=\overrightarrow{OM}+s \cdot \vec v$ .
Der Richtungsvektor der Geraden $\begin{pmatrix}a\\0\\b\end{pmatrix}$ muss senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{A B}$ stehen, d.h. das Skalarprodukt ist gleich null $\;\Rightarrow\;a$ und $b$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \displaystyle\int_1^7f(x)\;dx$	$=$	$\displaystyle F\left(7\right)-F\left(1\right)$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle 5-1$
	$=$	$\displaystyle 4$

A1

Aufgabe 1

Begründe, dass der Graph von f2f_{2}f2​ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist

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Berechne diesen Wert von kkk

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Aufgabe 2

Zeige rechnerisch: fk′(x)=(−k⋅x+1k)⋅e−k2⋅xf_{k}^{\prime}(x)=\left(-k \cdot x+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}fk′​(x)=(−k⋅x+k1​)⋅e−k2⋅x

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Zeige, dass 1k2\frac{1}{k^{2}}k21​ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist

Untersuche, für welche Werte von kkk die Funktionen der Schar an der Stelle 1k2\frac{1}{k^{2}}k21​ ein Minimum besitzen

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Aufgabe 3

Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen fff und hhh

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Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen hhh und fff eingeschlossen wird

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Aufgabe 4

Bestimme den Wert des Integrals ∫17f(x) dx\displaystyle\int_{1}^{7} f(x)\;\mathrm{d} x∫17​f(x)dx

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Bestimme grafisch näherungsweise den Funktionswert von fff an der Stelle 111

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Aufgabe 5

Weise nach, dass die Gerade ggg senkrecht zur Ebene EEE verläuft

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Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes DDD der Geraden ggg mit der Ebene EEE

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Aufgabe 6

Gib die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke AB‾\overline{A B}AB an

Bestimme eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von AB‾\overline{A B}AB, die parallel zur x1x3x_{1} x_{3}x1​x3​-Ebene verläuft

Begründe, dass der Graph von $f_{2}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist

Berechne diesen Wert von $k$

Zeige rechnerisch: $f_{k}^{\prime}(x)=\left(-k \cdot x+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}$

Zeige, dass $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist

Untersuche, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^{2}}$ ein Minimum besitzen

Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h$

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird

Bestimme den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1}^{7} f(x)\;\mathrm{d} x$

Bestimme grafisch näherungsweise den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$

Weise nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$

Gib die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{A B}$ an

Bestimme eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von $\overline{A B}$ , die parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verläuft