A1

Begründe, dass der Graph von $f_{2}f\_\{2\}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist

Es ist $f_2(x)=x^4+(2-2)\cdot x^3-2\cdot x^2=x^4-2x^{2}f\_2(x)=x^\{4\}+(2-2)\; \backslash cdot\; x^\{3\}-2\; \backslash cdot\; x^\{2\}=x^4-2x^2$.

Der Funktionsterm von $f_{2}f\_2$ enthält nur Potenzen von $xx$ mit geraden Exponenten, d.h. der Graph von $f_{2}f\_2$ ist symmetrisch zur y-Achse

Berechne diesen Wert von $kk$

Gegeben ist $f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^{2}f\_\{k\}(x)=x^\{4\}+(2-k)\; \backslash cdot\; x^\{3\}-k\; \backslash cdot\; x^\{2\}$.

Berechne die 1. und 2. Ableitung:

$f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+3\cdot (2-k)\cdot x^2-2kxf\_\{k\}\text{'}(x)=4x^\{3\}+3\backslash cdot\; (2-k)\; \backslash cdot\; x^\{2\}-2k\; x$

$f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x^2+2\cdot 3\cdot (2-k)\cdot x-2kf\_\{k\}\text{'}\text{'}(x)=12x^\{2\}+2\backslash cdot\; 3\backslash cdot\; (2-k)\; \backslash cdot\; x-2k$

Bekannt ist: Es gibt einen Wert von $kk$, für den $x=1x=1$ eine Wendestelle von $f_{k}f\_\{k\}$ ist.

Demnach muss $f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0f\_\{k\}\text{'}\text{'}(1)=0$ sein.

$\Rightarrow f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=12+6\cdot (2-k)-2k=0\Rightarrow 24-6k-2k=0\Rightarrow 24-8k=0\backslash Rightarrow\backslash ;f\_\{k\}\text{'}\text{'}(1)=12+6\backslash cdot\; (2-k)\; -2k=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;24-6k-2k=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;24-8k=0$

$\Rightarrow k=3\backslash Rightarrow\backslash ;k=3$

Der Wert von $kk$ ist gleich $33$.

Zeige rechnerisch: $f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=(-k\cdot x+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}f\_\{k\}^\{\backslash prime\}(x)=\backslash left(-k\; \backslash cdot\; x+\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\; \backslash cdot\; x\}$

Gegeben ist $f_k(x)=\frac{1}{k}\cdot x\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}f\_\{k\}(x)=\backslash frac\{1\}\{k\}\; \backslash cdot\; x\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\; \backslash cdot\; x\}$.

Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:

$f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{k}(1\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}+x(-k^2)\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x})f\_\{k\}\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash left(\; 1\; \backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\; \backslash cdot\; x\}+x(-k^2)\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\backslash cdot\; x\}\backslash right)$

$f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{k}\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}(1-k^{2}x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}f\_\{k\}\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\backslash cdot\; x\}(1-k^2x)=(-kx+\backslash frac\{1\}\{k\})\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\backslash cdot\; x\}$

Also ist $f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}f\_\{k\}\text{'}(x)=(-kx+\backslash frac\{1\}\{k\})\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\backslash cdot\; x\}$.

Zeige, dass $\frac{1}{k^2}\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist

Gegeben ist $f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{k^2}\right)=-k\cdot {\mathrm{e}}^{-1}f\_\{k\}^\{\backslash prime\; \backslash prime\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\backslash right)=-k\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-1\}$.

Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei $x={\displaystyle \frac{1}{k^2}}x=\backslash dfrac\{1\}\{k^2\}$ ist $f_k^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{k^2}\right)=0f\_\{k\}^\{\backslash prime\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\backslash right)=0$.

Es ist $f_k^{\mathrm{\prime }}=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}f\_\{k\}^\{\backslash prime\}=(-kx+\backslash frac\{1\}\{k\})\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\backslash cdot\; x\}$ (Aufgabe a).

Setze $x={\displaystyle \frac{1}{k^2}}x=\backslash dfrac\{1\}\{k^2\}$ ein: $f_k^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{k^2}\right)=(-k\cdot \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot \frac{1}{k^2}}=(-\frac{1}{k}+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-1}=0\cdot {\mathrm{e}}^{-1}=0f\_\{k\}^\{\backslash prime\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\backslash right)=\backslash left(-k\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}+\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\}=\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{k\}+\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-1\}=0\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-1\}=0$ für alle $k\mathrm{\ne }0k\; \backslash neq\; 0$.

Wegen $f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{k^2}\right)=-k\cdot {\mathrm{e}}^{-1}\mathrm{\ne }0f\_\{k\}^\{\backslash prime\; \backslash prime\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\backslash right)=-k\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-1\}\; \backslash neq\; 0$ für alle $k\mathrm{\ne }0k\; \backslash neq\; 0$ ist $\frac{1}{k^2}\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar.

Untersuche, für welche Werte von $kk$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}$ ein Minimum besitzen

Für ein Minimum muss $f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{k^2}\right)>0f\_\{k\}^\{\backslash prime\; \backslash prime\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\backslash right)>0$ sein.

.

Damit besitzen genau die $f_{k}f\_\{k\}$ mit ein Minimum an der Extremstelle $\frac{1}{k^2}\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}$.

Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $ff$ und $hh$

$f(x)=h(x)\iff (x-3)\cdot {\mathrm{e}}^x=x-3\iff (x-3)\cdot ({\mathrm{e}}^x-1)=0\iff x-3=0\vee {\mathrm{e}}^x-1=0\iff x=3\vee x=0f(x)=h(x)\; \backslash Leftrightarrow(x-3)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}=x-3\; \backslash Leftrightarrow(x-3)\; \backslash cdot\backslash left(\backslash mathrm\{e\}^\{x\}-1\backslash right)=0\; \backslash Leftrightarrow\; x-3=0\; \backslash vee\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}-1=0\backslash Leftrightarrow\; x=3\; \backslash vee\; x=0$

Die Graphen der Funktionen $ff$ und $hh$ schneiden sich an den Stellen $x=3x=3$ und $x=0x=0$.

.

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $hh$ und $ff$ eingeschlossen wird

Für den Flächeninhalt gilt:

${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x=D(3)-D(0)=((4-3)\cdot {\mathrm{e}}^3+\mathrm{0,5}\cdot 3^2-3\cdot 3)-4\cdot {\mathrm{e}}^0}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{3\}\; d(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=D(3)-D(0)=\backslash left((4-3)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{3\}+0\{,\}5\backslash cdot\; 3^2-3\backslash cdot\; 3\backslash right)-4\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{0\}$

${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^3+\mathrm{4,5}-9-4=e^3-\mathrm{8,5}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{3\}\; d(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash mathrm\{e\}^\{3\}+4\{,\}5-9-4=e^3-8\{,\}5$

Der Flächeninhalt beträgt $({\mathrm{e}}^3-\mathrm{8,5})\mathrm{F}\mathrm{E}(\backslash mathrm\{e\}^\{3\}-8\{,\}5)\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Bestimme den Wert des Integrals ${\displaystyle {\int }_1^{7}f(x)\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{1\}^\{7\}\; f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x$

Die Stammfunktion hat die Funktionswerte (abgelesen aus der Abbildung):

• $F(7)=5F(7)=5$

• $F(1)=1F(1)=1$

Das Integral ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Der Wert des Integrals ist gleich $44$.

Bestimme grafisch näherungsweise den Funktionswert von $ff$ an der Stelle $11$

Laut dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

Die Ableitung von $FF$ ist die Funktion $ff$.

Der Funktionswert $f(1)f(1)$ ist damit die Steigung, die $FF$ an der Stelle $x=1x=1$ hat.

Mithilfe des Schaubilds gilt: $F^{\mathrm{\prime }}(1)=f(1)\approx {\displaystyle \frac{4}{1}}=4F\text{'}(1)=f(1)\backslash approx\backslash dfrac41=4$

Der Funktionswert von $ff$ an der Stelle $11$ beträgt ungefähr $44$.

Weise nach, dass die Gerade $gg$ senkrecht zur Ebene $EE$ verläuft

Wenn die Gerade $gg$ senkrecht zur Ebene $EE$ verläuft, dann muss der Richtungsvektor ${\vec{u}}_g\backslash vec\; u\_\{g\}$ der Geraden $gg$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ${\vec{v}}_E\backslash vec\; v\_E$ und ${\vec{w}}_E\backslash vec\; w\_E$ der Ebene $EE$ verlaufen. Für das Skalarprodukt gilt dann:

${\vec{u}}_g\circ {\vec{v}}_g=0\backslash vec\; u\_\{g\}\backslash circ\; \backslash vec\; v\_\{g\}=0$ und ${\vec{u}}_g\circ {\vec{w}}_g=0\backslash vec\; u\_\{g\}\backslash circ\; \backslash vec\; w\_\{g\}=0$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)=1\cdot 4+1\cdot 2+(-2)\cdot 3=0\mathrm{✓}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; -2\backslash end\{array\}\backslash right)\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}4\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; 3\backslash end\{array\}\backslash right)=1\backslash cdot4+1\backslash cdot\; 2+(-2)\backslash cdot\; 3=0\backslash ;\backslash checkmark$

und

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 2+0-2=0\mathrm{✓}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; -2\backslash end\{array\}\backslash right)\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}2\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\backslash end\{array\}\backslash right)=1\backslash cdot\; 2+0\; -2=0\backslash ;\backslash checkmark$

Somit verläuft $gg$ senkrecht zu $EE$.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $DD$ der Geraden $gg$ mit der Ebene $EE$

Setze $g=Eg=E$:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}2\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; -1\backslash end\{array\}\backslash right)+r\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; -2\backslash end\{array\}\backslash right)=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 4\backslash end\{array\}\backslash right)+s\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}4\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; 3\backslash end\{array\}\backslash right)+t\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}2\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\backslash end\{array\}\backslash right)$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash Rightarrow\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}2\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; -1\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 4\backslash end\{pmatrix\}=r\backslash cdot\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}-1\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; 2\backslash end\{array\}\backslash right)+s\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}4\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; 3\backslash end\{array\}\backslash right)+t\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}2\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\backslash end\{array\}\backslash right)$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash Rightarrow\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 0\backslash \backslash -5\backslash end\{pmatrix\}=r\backslash cdot\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}-1\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; 2\backslash end\{array\}\backslash right)+s\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}4\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; 3\backslash end\{array\}\backslash right)+t\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}2\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\backslash end\{array\}\backslash right)$

Man erhält dann das folgende Gleichungssystem:

Aus Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ folgt: $r=2sr=2s$

Setze $r=2sr=2s$ in Gleichung $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{III\}$ ein:

Zusammengefasst folgt:

Rechne ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}+(-2)\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}:\backslash mathrm\{I\text{'}\}+(-2)\backslash cdot\backslash mathrm\{III\text{'}\}:$

Damit ist $s={\displaystyle \frac{12}{-12}}=-1s=\backslash dfrac\{12\}\{-12\}=-1$. Dann folgt $r=2\cdot s=2\cdot (-1)=-2r=2\backslash cdot\; s=2\backslash cdot\; (-1)=-2$ und $t=1-s=1-(-1)=2t=1-\; s=1-(-1)=2$

Setze $r=-2r=-2$ in $gg$ ein:

$\overrightarrow{OD}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)+(-2)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 3\end{array}\right)\Rightarrow D(0\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }3)\backslash overrightarrow\{OD\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; -1\backslash end\{pmatrix\}+(-2)\; \backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; -2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash -1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;D(0|-1|3)$

Die Koordinaten des Schnittpunktes $DD$ der Geraden $gg$ mit der Ebene $EE$ lauten $D(0\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }3)D(0|-1|3)$.