Gib die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{AB}$ an

Es ist $\overrightarrow{m}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -2\end{array}\right)\Rightarrow M(-3|3|-2)$

Die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{AB}$ sind $M(-3|3|-2)$.

Bestimme eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$, die parallel zur $x_1{x}_3$-Ebene verläuft

Wenn die Gerade parallel zur $x_1{x}_3$-Ebene verläuft, dann ist $x_2$-Koordinate des Richtungsvektors gleich null.

Der Richtungsvektor der Geraden hat dann die allgemeine Form $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ b\end{array}\right)$ und die Gleichung der Mittelsenkrechten ist dann:

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ b\end{array}\right)$ mit $s\in ℝ$.

Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ wird berechnet:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Der Richtungsvektor der Geraden muss senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{AB}$ stehen, d.h. das Skalarprodukt ist gleich null.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}\circ \left(\begin{array}{l}a\\ 0\\ b\end{array}\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{l}a\\ 0\\ b\end{array}\right)=0\iff 4a+2b=0$ liefert $a=-1$ und $b=2$ als geeignete Werte von $a$ und $b$.

Somit ist $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ mit $s\in ℝ$ eine Gleichung der gesuchten Mittelsenkrechten.